1. El documento presenta una tarea de cálculo multivariado que incluye problemas de optimización, aproximación lineal, polinomios de Taylor, puntos críticos, minimización de funciones de costo sujetas a restricciones, distribución de producción, integrales múltiples, cambio de coordenadas, campos vectoriales, y volúmenes rotacionales. 2. Se piden resolver 29 problemas que involucran diversos temas de cálculo multivariado como derivadas parciales, optimización con restricciones, series de

1. 1
Tarea departamental # 2 de Cálculo Multivariado
Área de Ciencias Básicas, Coordinación de Matemáticas
Facultad de Ingeniería, Universidad Anáhuac México Norte
OPTIMIZACIÓN
1. Determine las ecuaciones de los planos
tangentes al gráfico de la función
22
y-x-16=)y,x(f en los puntos (0,0)
y (1,1). Ilustre gráficamente sus resultados
2. Calcule usando la aproximación lineal (o
sea, el plano tangente), el valor
aproximado de 32 cos59 
sen .
Sugerencia: Visualice la expresión como
(30 2 )cos(60 1 )sen     
y considere la
función ( , ) cosf x y senx y .
3. Determine el polinomio de Taylor de
orden 2 alrededor del punto ( , ,0)
2


para la función 2
3
:
( ) ( )cos( )


 
 z
f
f x e sen x y
4. Encontrar el punto más cercano al origen
sobre la curva de intersección de el plano
x + y + z = 1 y el cono z2
= 2x2
+ 2y2
5. Una productora de leche desea
comercializar su producto en paquetes de
cartón con base cuadrada y lados
rectangulares. Minimiza la función costo
dependiente de las dimensiones de los
lados de la base x y de la altura y . Dicha
función es la siguiente:
2
( , ) 12 16C x y x xy 
Asume además la condición de que cada
envase debe contener 10 decímetros
cúbicos. Utiliza multiplicadores de
Lagrange.
6. Se desea construir una caja rectangular
cerrada, fabricada con diferentes
materiales, de tal forma que le quepan 63
litros de un aceite industrial. Si los costos
de material de la tapa y de la base son de
300 y 400 pesos por cada metro cuadrado,
respectivamente, mientras que el de las
paredes laterales es de 150 pesos por metro
cuadrado, calcule las dimensiones y el
costo de la caja más económica posible, sin
utilizar el método de multiplicadores de
Lagrange.
7. La producción total P de cierto producto
depende de la cantidad L de mano de obra
empleada y de la cantidad K de capital
invertido. El modelo de Cobb-Douglas
1
P bL K 
 se sigue de ciertas
suposiciones económicas, donde b y 
son constantes positivas y 1  . Si el
costo por unidad de mano de obra es m y
el costo por unidad de capital es n y la
compañía solo puede gastar p dólares
como su presupuesto total, entonces el
maximizar la producción P está sujeto a la
restricción mL nK p  . Demuestre que la
máxima producción se obtiene cuando
p
L
m


y
(1 )p
K
n



.
8. Distribución de la producción.
Una empresa fabrica dos productos los
cuales deben procesarse en los
departamentos 1 y 2. El producto A requiere
3 horas por unidad en el departamento 1 y 4
horas por unidad en el departamento 2,
mientras que para el producto B se necesitan
2 horas por unidad en el departamento 1 y 6
horas por unidad en el departamento 2. La
capacidad de trabajo semanal es de 120 horas
para el departamento 1 y 260 horas para el
departamento 2. El margen respectivo de
utilidad es de $50 por unidad del producto A
y $60 pesos por unidad del producto B.
Determinar el número de unidades que hay
que fabricar de cada producto, con objeto de
maximizar la aportación total a los costos
fijos y a las utilidades.
Sugerencia: Asocie las variables ,x y al
número de unidades fabricadas y vendidas
respectivamente, de los productos A y B.
9. La temperatura Celsius T en un punto
( , , )x y z de la esfera con centro el origen y

2. 2
Tarea departamental # 2 de Cálculo Multivariado
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de radio uno, viene dada por
2
( , , ) 10T x y z xy z . Halle los puntos de
la esfera en los que la temperatura es
máxima y los puntos en que es mínima.
Calcule la temperatura en cada uno de esos
puntos.
10. Una empresa fabrica tres productos
distintos. La fabricación de , ,x y z miles de
unidades, respectivamente, le reporta unos
beneficios de ( , , ) 4 8 6  P x y z x y z
miles de euros. Ciertas limitaciones del
proceso de producción imponen la
restricción 2 2 2
4 2 800  x y z . Calcular
el máximo beneficio posible para esa
empresa.
11. Dieta nutricional: Un dietista está planeando el menú de la cena de un comedor universitario.
Se servirán tres alimentos principales, todos ellos con diferente contenido nutricional. El dietista
quiere suministrar por lo menos la ración mínima diaria de las tres vitaminas en la cena. En la
tabla se sintetiza el contenido vitamínico por onza de cada tipo de alimento, el costo de una onza
de cada alimento y la ración diaria mínima de las tres vitaminas. Puede seleccionarse cualquier
combinación de los tres comestibles con la condición de que el tamaño de la porción total sea de
9 onzas por lo menos.
Vitamina
Alimento 1 2 3 Costo por onza $
1 50mg 20mg 10mg 10
2 30mg 10mg 50mg 15
3 20mg 30mg 20mg 12
Ración diaria mínima 290mg 200mg 210mg
El problema radica en determinar el número de onzas de cada alimento que habrá de incluirse en la
cena y el objetivo es minimizar el costo de cada alimento a fin de satisfacer las raciones diarias
mínimas de las tres vitaminas, así como la restricción impuesta al tamaño de cada porción.
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE
VARIAS VARIABLES
12. Calcule las siguientes integrales:
b)
12
0 0
( cos 2)y x dydx

 
d)    2
0,1 0,1 
xy
Q
x ye dxdy Q
a)
0 2
1 1
( log )x y dydx

 
b)
2
3
1
0
x
x
ydydx 
c)
1
0 1
( )
x
e
x y dydx
1 1
2 2
0 0 1
xy
dxdy
x y 

1
, [1,2] [0,1]
R
R
x y
 

13. Resuelve la integral
1 1
0
x
x
ye dy dx
 
  
 
  de
dos maneras diferentes usando diferentes
órdenes de integración.
14. Calcula el volumen entre la
esfera 2 2 2
4x y z   y el paraboloide

3. 3
Tarea departamental # 2 de Cálculo Multivariado
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2 2
z x y   . Utiliza coordenadas
cilíndricas.
15. Realiza la integral triple de la función
2
cos( )
( , , )
1
z yz
f x y z
x


en el
paralelogramo  , 0, 0,1
4 2 2
     
       
.
16. Dibuje la región de integración
R asociada a las siguientes integrales,
después escriba la integral iterada
correspondiente si se intercambia el orden
de integración.
a)
1
2 20.5(4 )2
2 0
( , )


 
x
dx f x y dy
b)
1 10 (10 )/9
0 0 1 0
( , ) ( , )

   
x x
dx f x y dy dx f x y dy
17. Encuentra el volumen limitado por los
planos 0, 0, 0x y z   y 1x y z  
18. Expresa la integral triple xyzdV


en coordenadas cilíndricas, donde
2 2
{( , , ): 3 ,1 3}x y z x y x z      .
Para determinar límites de integración
utiliza que cos( /3) cos( /3) 1/ 2    .
No evaluar la integral.
19. Evaluar la siguiente integral cambiando a
coordenadas polares :

1
1




2
2
1
1
22
)1ln(
x
x
dydxyx
20. Halle el volumen del sólido que se
encuentra debajo del paraboloide
2 2
z x y  y arriba de la región
delimitada por la recta 2y x y la
parábola 2
.y x
21. Utiliza coordenadas cilíndricas para
calcular el volumen de una media naranja
de radio 2. Asume que las media naranja
esta centradas en (0,0,0) y se encuentran en
la región 0.x 
22. Hallar el volumen del cuerpo en 3

limitado por las superficies indicadas.
a) 2 2
, 1  z x y z
b) 2 2
6, 1, 0, 0, 0       x y z x y x y z
c) 2 2 2 2 2 1/ 2
2 3 6, (2 3 ) , 0     x y z z x y z
23. Demuestra usando integración múltiple
que el volumen de la esfera de radio r es
34
3
r .
24. Demuestra usando integración múltiple
que el volumen del cono de altura h y radio
r en la base es 21
3
r h .
25. Demuestra usando la integral de arco que
la longitud de la circunferencia de radio r
es 2r .
26. Determina las coordenadas cilíndricas del
punto (2,1,1)
27. Escribe la ecuación del cono
2 2 2 2
( ) z a x y en coordenadas
esféricas.
28. Determina las coordenadas cartesianas del
siguiente punto dado en coordenadas
esféricas; (2, , )
2 2
 
29. Escribe la ecuación de la esfera
x2
+y2
+z2
=r2
en coordenadas cilíndricas.
30. Para la flor mostrada en la figura, dada en
coordenadas polares por 1 sin(4 )r t  ,
calcula el área de en un pétalo.

4. 4
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31. Utilizando coordenadas cartesianas,
calcular el volumen del sólido que es
acotado arriba por el cilindro z = 4 – x2
, a
los lados por el cilindro x2
+ y2
= 4 , y
abajo por el plano xy.
32. Evaluar la siguiente integral doble :

2
0
dydxsenxyy
x

2
2
2
Ojo ¡ : La integral no es inmediata ¡
33. Intercambia el orden de integración en la
siguiente integral. No se necesita evaluar.
2
2 4
1
( , )
y
f x y  dxdy.
CAMPOS VECTORIALES
34. Calcule la divergencia y el rotacional
asociado al siguiente campo vectorial:
2 2 3
( , , ) ( , , )

F x y z xyz x y z yz
35. Demuestre que si  es una función escalar
con segundas derivadas continuas entonces
el rotacional del gradiente de  es el
vector cero; es decir, ( ) 0   

.
36. Demuestre que si en el campo vectorial
1 2 3( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))

F x y z F x y z F x y z F x y z
sus componentes tienen segundas
derivadas continuas, entonces la
divergencia del rotacional de

F es cero; es
decir, ( ) 0  

F .
37. Haz la integral de línea del campo:
2
( , ) (2 , 1)F x y xy x  .
38. Demuestra que considerando
2
:f   , entonces la integral del
campo vectorial ,
f f
V
x y
  
  
  
a lo largo
de una curva cerrada que encierre una
región  donde todas las parciales de
segundo orden estén definidas y sean
continuas es cero.
39. Demuestra que la integral del campo
( , , )F z y x z y x    a lo largo de la
frontera del triángulo formado por los
puntos (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) es igual a
2 3 veces el área del triángulo.
40. Hallar la masa total de una lámina
cuadrada de longitud 2, cuya masa en el
punto P es proporcional al cuadrado de la
distancia de P a la esquina inferior
izquierda. Encuentra el centro de masa de
la lámina.
41. Considera el campo vectorial
4
3
( , , ) ( , ,1)
4
x
F x y z x y y la curva
2 3
( ) ( , , )c t t t t . Calcula el trabajo de t=1
a t=2.
Indica qué es un campo conservativo y da un
ejemplo de uno de dichos campos.