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Plano numérico
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO
ALUMNO:
JOSÉ COLOMBO MUJICA
CI: 31.111.539
SECCIÓN:0104
Plano Numérico
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a
dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan
en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto
en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las
cuales forman parte de la geometría analítica.
Característica:
 Los eje de coordenadas son perpendiculares entre si .
 Las escalas de los ejes son iguales.
 Los números positivos estan a la derecha del origen en el eje de
las X y por arriba del origen del eje de la y.
 Los puntos en los eje no pertenecen a ningún cuadrante.
 Es bidimensional.
Distancia:
La distancia entre dos puntos esta vinculada al plano cartesiano,
ya que este permite calcular la distancia que existe entre ambos
puntos, a partir de la ubicación de las coordenadas de ambos.
Formula de distancia entre dos puntos:
La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano se puede calcular mediante la
fórmula de la Distancia de Pitágoras: d = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2). Esta fórmula nos
permite calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera con coordenadas (x1,
y1) y (x2, y2).
Por ejemplo, para calcular la distancia entre los puntos A (2, 3) y B (6, 7), la fórmula
sería: d = √((62-22)2 + (72-32)2) = √(42 + 42) = √84 = 9,2.
La distancia entre dos puntos también se puede calcular mediante el Teorema de
Coordenadas. Esto se logra mediante el cálculo de los componentes en la
dirección x y en la dirección y de los dos puntos dados. La distancia entre los
puntos entonces se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de
los componentes x y y.
Ejemplo: para calcular la distancia entre los puntos A (2, 3) y B (6, 7), la distancia se
calcularía como: d = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2) = √((6-2)2 + (7-3)2) = √(42 + 42) =
√84 = 9,2.
Punto medio:
Antes debemos conocer que es un punto es una figura geométrica
adimensional : no tiene longitud , área, volumen, ni otro Angulo dimensional.
No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determina respecto
de un sistema de coordenadas preestablecido. Ahora bien, tenemos que el
punto es el que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los
extremos.
El punto medio del segmento AB, que llamaremos M, es un punto del
segmento que dista lo mismo de A que de B. Esto quiere decir que: Si es un
segmento acotado , el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales .
En caso, el punto medio es unico y equidista de los extremos del segmento. Por
cumplir esta ultima condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
El modo de obtener geométricamente el punto medio de un segmento,
mediante regla y compás, consiste en trazar dos arcos de circunferencia de
igual radio, con centro en los extremos, y unir sus intersecciones para obtener
la recta mediatriz. Esta corta al segmento en su punto medio.
Teorema sea A B un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(xA; yA) :
B(xB; yB) entonces las coordenadas del punto medio M(xM ; yM) de AB son:
Ecuaciones y trazado de circunferencias:
 Ecuaciones analítica de la circunferencia:
Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenada, las coordenadas de
cualquier punto de la circunferencia ( x, y) determina un triangulo rectángulo, y
por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la
distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la
circunferencia es constante e igual al radio r retendremos que: r2 = (x – a)2 + (y-
b)2 llamada canónica podemos 2 desarrollarla resolviendo los cuadrados
(trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos:
X^2 + Y^2 – 2ax – 2by – r^2 = 0.
Si reemplazamos: - 2a = D; -2b = E; F = a^2 + b^2 – r^2
Tendremos que: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo:
Si tenemos que: D = 6 P 6 = - 2a P a = -3
E = -8 P -8 = - 2b P b = 4
El centro de la circunferencia es (-3, 4). Hallemos el radio
F= (-3)^2 + 4^2 – r^2 P - 11 = (-3)^2 + 4^2 – r^2 P r = 6
La ecuación de la circunferencia queda: (x+ 3)^2 + (y – 4)^2 = 36
Elipse:
Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las distancias
desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F´) es
siempre la misma.
Los siguientes elementos se encuentran en cada elipse:
 Centro: Es el punto de intersección de los eje. Es, demás, centro de simetría.
 Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría.
 Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatriz del segmento que une
los focos.
 Vértices: Puntos de intersección de elipse con los ejes.
 Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2 c.
 Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.
 Semieje menor o principal : Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su
longitud es a.
 Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario.
Su longitud es b y cumple b= √a2 – c2
 Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los
segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x, y ) se
cumple que d(P, F) = a –e. x y d( P, F´)= a+e.x
Ecuación analítica de la elipse:
Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x,
situados en los puntos F (c, 0) y F´(-c, 0). Tomemos un punto cualquiera P de la
elipse cuyas coordenadas son (x, y).
En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF´ es igual al doble
del radio sobre el eje x.
Entonces: PF + PF´ = 2a .
Se representaría de la siguiente manera:
Hipérbola:
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
diferencia de distancia a los puntos fijos llamados focos es constante en
valor absoluto.
Ecuación analítica de la hipérbola:
La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O = (o1,
o2) como:
 En la hipérbola horizontal:
siendo (x, y) un punto de la hipérbola,(01, 02 )el centro y a y b el semieje real y
el semieje imaginario.
Si la Hipérbola horizontal tiene su centro en el origen, O = (O, O), su ecuación es:
Y se representaría así:
 En la hipérbola vertical:
Si la hipérbola vertical tiene su centro en el origen, O= (0, 0) su ecuación es:
Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de
la hipérbola
Ejemplo:
 Hipérbola de centro O= (1,2), semieje imaginario
b=4.
Parábola:
Una parábola es un lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del mismo plano llamada directriz.
La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto
con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una
generatriz g de la superficie cónica.
El foco y la directriz determina cómo va a ser la apariencia de la parábola ( en
el sentido que “parecerá” mas o menos abierta según sea la distancia entre F y la
directriz). Todas las parábolas son semejantes. Su excentricidad es 1 en todos los
casos. Solamente varia la escala.
Representación grafica de las Ecuaciones
de la cónicas:
Las cónicas son las figuras geométricas que
aparecen cuando hacemos la intersección de un cono
con un plano. Como podemos ver en la siguiente
imagen, según el Angulo de inclinación el plano, que
denotamos por B, podemos encontrarnos con las
siguientes figuras: una circunferencia, un elipse, una
parábola o una hipérbola, de mayor a menor
inclinación.
Ejemplo:
En el siguiente grafico vemos la cónica que
representa la ecuación cuadrática anterior
Bibliografía:
 https://www.significados.com/plano-
cartesiano/#:~:text=Se%20conoce%20como%20plano%20cartesiano%2C%20c
oordenadas%20cartesianas%20o,en%20un%20punto%20llamado%20origen%
20o%20punto%20cero.
 https://librosmexico.com.mx/distancia-entre-dos-puntos-en-el-plano-
cartesiano-ejercicios-
resueltos/#:~:text=La%20distancia%20entre%20dos%20puntos%20en%20el%2
0plano,x2%20e%20y2%20las%20coordenadas%20del%20segundo%20punto.
 https://objetos.unam.mx/matemáticas/leccionesMatematicas/02/2_012/index.h
tml
 http://www.pps.k12.or.us/distric/depts/edmedia/videoteca/probe/htmlb/SEC_3
9.HTM
 https://www.matematicatuya.com/GRAFICAecuaciones/S1a.html
 https://www.monografías.com/trabajos65/plano-cartesiano/plano-
cartesiano.shtml
 http://kambry.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de%20Matematicas/An
alisis_Algebra/matem/matemática/Conicas.htm

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  • 1. Plano numérico REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO ALUMNO: JOSÉ COLOMBO MUJICA CI: 31.111.539 SECCIÓN:0104
  • 2. Plano Numérico Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica. Característica:  Los eje de coordenadas son perpendiculares entre si .  Las escalas de los ejes son iguales.  Los números positivos estan a la derecha del origen en el eje de las X y por arriba del origen del eje de la y.  Los puntos en los eje no pertenecen a ningún cuadrante.  Es bidimensional.
  • 3. Distancia: La distancia entre dos puntos esta vinculada al plano cartesiano, ya que este permite calcular la distancia que existe entre ambos puntos, a partir de la ubicación de las coordenadas de ambos. Formula de distancia entre dos puntos: La distancia entre dos puntos en el plano cartesiano se puede calcular mediante la fórmula de la Distancia de Pitágoras: d = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2). Esta fórmula nos permite calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera con coordenadas (x1, y1) y (x2, y2). Por ejemplo, para calcular la distancia entre los puntos A (2, 3) y B (6, 7), la fórmula sería: d = √((62-22)2 + (72-32)2) = √(42 + 42) = √84 = 9,2. La distancia entre dos puntos también se puede calcular mediante el Teorema de Coordenadas. Esto se logra mediante el cálculo de los componentes en la dirección x y en la dirección y de los dos puntos dados. La distancia entre los puntos entonces se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los componentes x y y. Ejemplo: para calcular la distancia entre los puntos A (2, 3) y B (6, 7), la distancia se calcularía como: d = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2) = √((6-2)2 + (7-3)2) = √(42 + 42) = √84 = 9,2.
  • 4. Punto medio: Antes debemos conocer que es un punto es una figura geométrica adimensional : no tiene longitud , área, volumen, ni otro Angulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determina respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. Ahora bien, tenemos que el punto es el que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. El punto medio del segmento AB, que llamaremos M, es un punto del segmento que dista lo mismo de A que de B. Esto quiere decir que: Si es un segmento acotado , el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales . En caso, el punto medio es unico y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta ultima condición, pertenece a la mediatriz del segmento. El modo de obtener geométricamente el punto medio de un segmento, mediante regla y compás, consiste en trazar dos arcos de circunferencia de igual radio, con centro en los extremos, y unir sus intersecciones para obtener la recta mediatriz. Esta corta al segmento en su punto medio. Teorema sea A B un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(xA; yA) : B(xB; yB) entonces las coordenadas del punto medio M(xM ; yM) de AB son:
  • 5. Ecuaciones y trazado de circunferencias:  Ecuaciones analítica de la circunferencia: Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenada, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia ( x, y) determina un triangulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r retendremos que: r2 = (x – a)2 + (y- b)2 llamada canónica podemos 2 desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos: X^2 + Y^2 – 2ax – 2by – r^2 = 0. Si reemplazamos: - 2a = D; -2b = E; F = a^2 + b^2 – r^2 Tendremos que: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 Ejemplo: Si tenemos que: D = 6 P 6 = - 2a P a = -3 E = -8 P -8 = - 2b P b = 4 El centro de la circunferencia es (-3, 4). Hallemos el radio F= (-3)^2 + 4^2 – r^2 P - 11 = (-3)^2 + 4^2 – r^2 P r = 6 La ecuación de la circunferencia queda: (x+ 3)^2 + (y – 4)^2 = 36
  • 6. Elipse: Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F´) es siempre la misma. Los siguientes elementos se encuentran en cada elipse:  Centro: Es el punto de intersección de los eje. Es, demás, centro de simetría.  Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría.  Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatriz del segmento que une los focos.  Vértices: Puntos de intersección de elipse con los ejes.  Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2 c.  Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.  Semieje menor o principal : Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a.  Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y cumple b= √a2 – c2  Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x, y ) se cumple que d(P, F) = a –e. x y d( P, F´)= a+e.x
  • 7. Ecuación analítica de la elipse: Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c, 0) y F´(-c, 0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF´ es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF´ = 2a . Se representaría de la siguiente manera:
  • 8. Hipérbola: La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancia a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.
  • 9. Ecuación analítica de la hipérbola: La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O = (o1, o2) como:  En la hipérbola horizontal: siendo (x, y) un punto de la hipérbola,(01, 02 )el centro y a y b el semieje real y el semieje imaginario. Si la Hipérbola horizontal tiene su centro en el origen, O = (O, O), su ecuación es:
  • 10. Y se representaría así:  En la hipérbola vertical: Si la hipérbola vertical tiene su centro en el origen, O= (0, 0) su ecuación es: Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de la hipérbola
  • 11. Ejemplo:  Hipérbola de centro O= (1,2), semieje imaginario b=4.
  • 12. Parábola: Una parábola es un lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del mismo plano llamada directriz. La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una generatriz g de la superficie cónica. El foco y la directriz determina cómo va a ser la apariencia de la parábola ( en el sentido que “parecerá” mas o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz). Todas las parábolas son semejantes. Su excentricidad es 1 en todos los casos. Solamente varia la escala.
  • 13. Representación grafica de las Ecuaciones de la cónicas: Las cónicas son las figuras geométricas que aparecen cuando hacemos la intersección de un cono con un plano. Como podemos ver en la siguiente imagen, según el Angulo de inclinación el plano, que denotamos por B, podemos encontrarnos con las siguientes figuras: una circunferencia, un elipse, una parábola o una hipérbola, de mayor a menor inclinación. Ejemplo: En el siguiente grafico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior
  • 14. Bibliografía:  https://www.significados.com/plano- cartesiano/#:~:text=Se%20conoce%20como%20plano%20cartesiano%2C%20c oordenadas%20cartesianas%20o,en%20un%20punto%20llamado%20origen% 20o%20punto%20cero.  https://librosmexico.com.mx/distancia-entre-dos-puntos-en-el-plano- cartesiano-ejercicios- resueltos/#:~:text=La%20distancia%20entre%20dos%20puntos%20en%20el%2 0plano,x2%20e%20y2%20las%20coordenadas%20del%20segundo%20punto.  https://objetos.unam.mx/matemáticas/leccionesMatematicas/02/2_012/index.h tml  http://www.pps.k12.or.us/distric/depts/edmedia/videoteca/probe/htmlb/SEC_3 9.HTM  https://www.matematicatuya.com/GRAFICAecuaciones/S1a.html  https://www.monografías.com/trabajos65/plano-cartesiano/plano- cartesiano.shtml  http://kambry.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de%20Matematicas/An alisis_Algebra/matem/matemática/Conicas.htm