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- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior Universidad Politécnica Territorial " Andrés Eloy Blanco" Barquisimeto - Estado – Lara Expresiones Algebraica Integrante: Juan M. Alvarez Matemática Trayecto Inicial-GRUPO-A PNF en Informática
- 2. Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras ó letras y números unidos por medio de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación ó radicación, de manera finita. Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc. si no se dice otra cosa, representan valores fijos en la expresión. Estas letras también se pueden llamar parámetros. Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros símbolos, representan variables que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales. Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas. En álgebra la suma es una de las operaciones fundamentales y la más básica, sirve para sumar monomios y polinomios. La suma algebraica sirve para sumar el valor de dos o más expresiones algebraicas. Como se trata de expresiones que están compuestas por términos numéricos y literales, y con exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas: Suma de monomios: La suma de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio. Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4x, el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin exponente). En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x: 2x + 4x = (2+4)x = 6x Cuando las expresiones tienen signos diferentes, se respeta el signo. Si es necesario, escribimos la expresión entre paréntesis: (–2x) + 4x; 4x + (–2x). Aplicando la ley de los signos, al sumar una expresión conserva su signo, positivo o negativo: 4x + (–2x) = 4x – 2x = 2x. En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la suma algebraica es un polinomio, formado por los dos sumandos. Para distinguir la suma de su resultado, podemos escribir los sumandos entre paréntesis:
- 3. (4x) + (3y) = 4x + 3y (a) + (2a2) + (3b) = a + 2a2 + 3b (3m) + (–6n) = 3m – 6n Cuando en la suma hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas literales y del mismo grado, se suman entre sí, y se escribe la suma con los demás términos: (2a) + (–6b2) + (–3a2) + (–4b2) + (7a) + (9a2) = [(2a) + (7a)] + [(–3a2) + (9a2)] + [(–6b2) + (–4b2)] = [9a] + [ 6a2] + [ –10b2] = 9a + 6a2 – 10b2 Suma de polinomios: Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos: Sumaremos 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 con c + 6b2 –3a + 5b Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el signo de cada término: 4a +3a2 + 6b – 8b2 –3a + 5b + 6b2 + c Agrupamos las sumas de los términos comunes: [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser suma, cata término del polinomio conserva su signo en el resultado: [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c = a + 3a2 + 11b – 2b2 + c Otra forma de ilustrar esto, es haciendo la suma en forma vertical, alineando los términos comunes y realizando las operaciones:
- 4. “Suma de monomios y polinomios: Como podemos deducir de lo ya explicado, para sumar un monomio con un polinomio, seguiremos las reglas revisadas. Si existen términos comunes, el monomio se sumará al término; si no hay términos comunes, el monomio se agrega al polinomio como un término más” Si tenemos (2x + 3x2 – 4y) + (–4x2 ) Alineamos los términos comunes y realizamos la suma: Ejemplos: (3x) + (4x) = 7x (3x) + (–4x) = –x (–2x) + (–2x2 ) = –2x – 2x2 (4x2 + 6y + 3y2 ) + (x + 3 x2 + y2 ) = x + 7x2 + 6y + 4y2 Resta algebraica: Se dice que la resta algebraica es el proceso inverso de la suma algebraica. Lo que permite la resta es encontrar la cantidad desconocida que, cuando se suma al sustraendo (el elemento que indica cuánto hay que restar), da como resultado el minuendo (el elemento que disminuye en la operación). Ejemplo: (x) – (4x) = – 3x Ejemplo: (4x2 + 6y + 3y2) - (x + 3x2 + y2) = x - 1x2 - 6y - 2y2 Cuando en una expresión algebraica sustituimos las letras por los valores que nos dan y luego resolvemos las operaciones, el resultado que se obtiene se llama valor numérico de una expresión algebraica. De esta forma, las variables podrán tomar una infinidad de valores y aun así podremos determinar cuánto vale la expresión.
- 5. Ejemplo: 5 a-2 donde a=3 Sustituimos el valor de a en la expresión y decimos 5*3-2, es decir 15-2 = 13 Entonces decimos que 13 es el valor numérico de esa expresión algebraica cuando a = 3 Ahora bien, si a valiera -5, tendríamos que cambiar la a por el valor dado, es decir 5(-5)-2. En esta ocasión se coloca el valor entre paréntesis, dado que es negativo. Finalmente, esta operación sería igual a -27 Multiplicación y División de Expresiones algebraicas. La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en otras palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamada multiplicando y multiplicador. Ejemplo: Multiplicación de monomios Multiplicar 3ab por 3b2c. Se multiplican los coeficientes (+3)(+3) = +9 y a continuación, se hace la multiplicación de las letras (ab)(b2c) = ab(1 + 2)c= ab3c, por lo tanto, el resultado será: (3ab) (3b2 c) = 9ab3 c Multiplicación de monomios por polinomios Multiplicar 2a por (b + a2), en este caso lo que se tiene es (2a)(b + a2), se tiene una multiplicación de 2a por el primer término del polinomio que es “b” y otra multiplicación de 2a por el segundo término que es “a2", por lo tanto se tendría: (2a)(b + a2 ) = (2a)(b) + (2a)(a2 ) = 2ab + 2a3 Multiplicación de polinomios por polinomios Se recomienda acomodar en forma de columnas, se multiplican los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en consideración “la ley de los signos”, y el acomodo de los términos semejantes. Multiplicar (a + 3) por (3 – a) (a + 3) x (3 - a) = – a2 – 3a + 3a + 9 = – a2 + 0 + 9
- 6. El resultado de (a + 3) (3 – a) es –a2 + 9 que es lo mismo 9 – a2 . División de monomios Para dividir monomios se resta los exponentes de las potencias de misma base siguiendo la ley de los exponentes. Ejemplo: División de un polinomio por un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del dividendo entre el término del divisor. Ejemplo: restando los exponentes de las potencias de la misma base se obtiene el resultado: División de polinomios entre polinomios La división algebraica se realiza de manera semejante a la numérica; Si se tiene la división 1. Se ordenan de manera decreciente los términos de los polinomios, quedando la división: 2. Se obtiene el primer término del cociente dividiendo el primer término del dividendo (– 2x 2 ) por el primer término del divisor (x):
- 7. 3. Se anota como cociente (-2x) y se multiplica por el divisor (x+4), se anotan los productos debajo del dividendo y se realiza la sustracción. 4. se vuelve a dividir el primer término que quedó en el dividendo (3x) por el primero del divisor (x) y se repite el proceso anterior. Se ha obtenido cociente –2x + 3 y resto 0 Productos Notables de Expresiones algebraicas. Los productos notables son expresiones algebraicas que vienen de un producto que conocemos porque sigue reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Estas operaciones son fáciles de recordar sin necesidad de efectuar la multiplicación correspondiente. 1. Cuadrado de la suma de dos cantidades Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya suma está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la suma por sí misma: Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
- 8. Regla del cuadrado de la suma de dos cantidades El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. Ejemplos: 1) Desarrolle (x+10)2. Cuadrado del primer término: x2 . Dos veces el primero por el segundo: 2(x) (10) =20x. Cuadrado del segundo término: 102 =100. Respuesta: 2) Desarrolle (7a2+5x3)2. Cuadrado del primer término: 72 (a2 )2 =49a4 . Dos veces el primero por el segundo: 2(7a2 ) (5x3 ) = 70a2 x3 . Cuadrado del segundo término: (5)2 (x3 )2 =25x6 . Respuesta: Factorización por Productos Notables Factorización. Es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma o diferencia de términos algebraicos en un producto. Factor común. Para obtener el factor común de un polinomio, se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes y la literal o literales con menor exponente que se repitan en cada uno de los términos algebraicos del polinomio a factorizar.
- 9. Ejemplos: 1.- Para factorizar a 3x 2 + 6x, Solución: ▪ Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes 3 y 6, el cual es 3. ▪ La literal que se repite en los términos del polinomio de menor exponente es x. ▪ El factor común es 3x. ▪ Se divide cada uno de los elementos del polinomio por el factor común: ▪ La factorización es: 3x 2 + 6x = 3x(x + 2) 2.- Para factorizar 24m3 + 16m2 − 4m, Solución: ▪ Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes 24, 16 y 4, que es 4. ▪ La literal que se repite en cada uno de los términos del polinomio con menor exponente es m. ▪ El factor común es 4m. ▪ La factorización es: 24m3 + 16m2 − 4m = 4m(6m2 + 4m − 1)