2. RELACIÓN DE TIEMPOS
Para la resolución de este tipo de ejercicios se puede sugerir como regla, la
siguiente analogía, dándole valores a los días como sigue.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Siendo lunes el mañana de ayer, ¿Qué día será el ayer de pasado mañana?
a) Jueves b) Martes c) Domingo d) Lunes e) Miércoles
Resolución:
Considerando la siguiente analogía:
Ahora, Según dato:
Lunes <> el mañana de ayer
Nos preguntan:
El ayer de pasado mañana
Entonces: Hoy <> Lunes
Mañana de lunes <> Martes
Respuesta: Martes, Alternativa b
Anteayer Ayer Hoy Mañana Pasado mañana
(- 2) (- 1) (0) (2)(1)
Anteayer Ayer Hoy Mañana Pasado mañana
(- 2) (- 1) (0) (2)(1)
…………….…………..
+1 -1
Lunes <> 0
-1 +2
+1 <> Mañana
3. 2. ¿Cuál es el día que está del anterior al siguiente día del que subsigue al
posterior día del que esta después del día que precede al anterior día de hoy
viernes?
a) Jueves b) Martes c) Domingo d) Lunes e) Miércoles
Resolución:
Considerando la siguiente analogía como el ejemplo anterior:
Según dato se tiene:
Cuál es el día que esta del anterior al
Siguiente día del que subsigue al posterior
Día del que está después del día que
Precede al anterior día de hoy viernes
Entonces nos queda:
-1 +1 +2 +1 +1 -1 -1 de viernes
Respuesta Domingo. Alternativa C
…………….
Anteayer
Ayer
Antes
Anterior
Precede Hoy
Mañana
Siguiente
Después
Posterior
Pasado mañana
Subsiguiente
(- 2) (- 1) (0) (2)(1)
…………..
+2 de viernes <> Domingo
-1
+1 +2 +1
+1
-1 -1
4. Ejercicios Propuestos
1. Si el ayer del anteayer del
pasado mañana es domingo ¿Qué
día será el mañana del pasado
mañana de anteayer?
a) Sábado b) viernes
c) lunes d) martes
e) jueves
2. Si el anteayer del mañana de
pasado mañana es viernes. ¿Qué
día fue ayer?
a) Lunes b) martes
c) miércoles d) jueves
e) domingo
3. Siendo lunes el mañana de ayer.
¿Qué día será el ayer de pasado
mañana?
a) Domingo b) lunes
c) martes d)miércoles
e) jueves
4. Siendo martes el ayer de pasado
mañana. ¿Qué día será el pasado
mañana del ayer de hoy?
a) Sábado b) viernes
c) martes d)miércoles
e) jueves
5. Si el anteayer del mañana de
pasado mañana es viernes. ¿Qué
día fue ayer?
a) lunes b) miércoles
c) martes d) jueves
e) viernes
6. Si el pasado mañana del ayer del
anteayer del pasado mañana al
día anterior del ayer del día
posterior del ayer del mañana es
lunes, ¿Qué día es hoy?
a) lunes b) sábado
c) martes d) jueves
e) domingo
7. Si el ayer del pasado mañana del
ayer, de antes de ayer es
martes, ¿qué día será el mañana
de pasado mañana de ayer?
a) Sábado b) domingo
c) martes d) jueves
e) viernes
8. Si el ayer del anteayer de
mañana es lunes, ¿Qué día será
el pasado mañana del mañana de
anteayer?
a) Lunes b) miércoles
c) martes d) jueves
e) viernes
9. Siendo martes el mañana de
ayer, que día será el pasado
mañana de ayer
a) domingo b) miércoles
c) martes d) Jueves
e) sábado
10. Si el anteayer del pasado
mañana es viernes. ¿Qué día fue
ayer?
a) lunes b) miércoles
c) martes d) jueves
e) viernes
5. METODOS ESPECIALES DE SOLUCION
MÉTODO DEL CANGREJO
Este método nos permite encontrar las soluciones de un problema, en
forma directa; para lo cual se realizan las operaciones inversas en cada
caso, empezando desde el final hacia el comienzo.
En este método se procede realizando la operación inversa a lo que
se indica en el problema, por eso se le llama método del cangrejo por
que empieza del final al principio.
OPERACION INVERSO
Adición (+) Sustracción (-)
Multiplicación (x) División (:)
Potenciación Radicación
Ejemplo 1
A un cierto número se eleva al cuadrado, a este resultado se le resta 3,
a este nuevo resultado se multiplica por 7, luego dividimos entre 14, a
este nuevo resultado lo elevamos al cubo, luego le agregamos 9;
finalmente extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como resultado final
6. Hallar dicho número.
Solución:
Aplicamos el método del cangrejo:
Finalmente se obtiene 6
Extraemos raíz cuadrada 62
= 36
Le agregamos 9 36 – 9 = 27
Lo elevamos al cubo 3
27 = 3
Dividimos entre 14 3 x 14 = 42
Se multiplica por 7 42 : 7 = 6
Se le resta 3 6 + 3 = 9
Se eleva al cuadrado 9 = 3
El número inicial es 3
Ejemplo 2.
Con un cierto número se realizan las siguientes operaciones: se eleva al
cubo, al resultado se le agrega 9, y se le extrae la raíz cuadrada, al
número así obtenido se lo divide entre 3 para luego restarle 1 y por
último al resultado se lo eleva al cuadrado, obteniéndose como resultado
final 16. Hallar el número inicial.
Solución:
Resultado final 16
Se lo eleva al cuadrado
6. 16 = 4
Para luego restarle 1
4 + 1 =5
Se divide entre 35 x 3 = 15
Extraemos raíz cuadrada 152
= 225
Se le agrega 9 2 25 – 9 = 216
Se eleva al cubo 3
216 = 6
El número inicial es 6
Ejercicios propuestos
1. A un número se lo multiplica
por 9, al resultado se le añade 12 y
a dicha suma se lo divide entre 5,
obteniendo finalmente 6. ¿Cuál es
el número?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
2. A un cierto número le
restamos 13, al resultado hallado
lo dividimos entre 5 a este nuevo
resultado lo elevamos al cuadrado,
a este resultado le sumamos 6,
obteniendo finalmente 22. ¿Cuál es
el número inicial?
a) 22 b) 33
c) 44 d) 54
e) 65
3. Una piscina se ha estado
desocupando durante 3 días hasta
que solamente ha quedado 10
galones de agua. En cada día se
extraía la mitad más 4 galones de
lo que había el día anterior. ¿Cuál
es el volumen total de la piscina?
a) 126 b) 136
c) 146 d) 156
e) 166
4. Un número es multiplicado por 3,
luego se le resta 8, a este
resultado se le divide por 2, para
luego al resultado sumarle 8.
¿Cuál es el número inicial, sui se
obtuvo 49?
a) 20 b) 30
c) 40 d) 50
e) 60
5. A un tanque que está lleno de agua
se le abre el sistema de desagüe.
Si cada hora se vacía la mitad de lo
que quedó la hora anterior más 4
litros, y queda luego de tres horas
8 litros, determinar la cantidad de
litros que había antes de la primera
hora.
a) 120 b) 130
c) 140 d) 150
e) 160
6. Multiplicamos por 6 a la edad de
Fernando, añadiendo al resultado
28, dividiendo el nuevo resultado
por 4 obtenemos por fin 25. ¿Cuál
es la edad de Fernando?
a) 12 b) 11
c) 25 d) 15
e) 27
7. Si a un número lo multiplicamos
por 9 y al resultado le quitamos 13,
obtenemos otro número que
dividido por 10 nos da como
resultado 5. ¿Cuál es el número
inicial?
a) 12 b) 10
c) 7 d) 8
e) 15
8. Si a un número lo multiplico por
8, luego lo divido por 10 y el
cociente lo multiplico por 3
añadiendo enseguida 36,
entonces obtendría 180. ¿Cuál
es el número inicial?
7. a) 42 b) 58
c) 40 d) 52
e) 60
9. Carlos tiene una cantidad de
nuevos soles a la que le agrega
S/. 25. Si se triplica la nueva
cantidad y al resultado se le
resta S/. 20, al nuevo resultado
dividido por 20 personas hace
que cada una reciba S/. 5.
¿Cuántos nuevos soles tenía
Carlos al principio?
a) S/. 12 b) S/. 20
c) S/. 18 d) S/. 25
e) S/. 15
10. Multiplicamos un número por
4, producto al que luego
restamos 12, dividiendo
enseguida el resultado por 3,
para volver a multiplicar por 6
añadiendo luego 3 al resultado,
dividiendo finalmente por
3resulta 89. ¿Cuál es el número
inicial?
a) 48 b) 40
c) 36 d) 58
e) 60
8. MÉTODO DEL ROMBO
Este método se aplica a los problemas de cuatro operaciones, que
presentan las características siguientes:
El problema debe tener dos incógnitas.
Valor unitario de cada una de las incógnitas.
Que tenga un valor numérico, que es la suma de las dos incógnitas
(Dato de entrada)
Además de tener otro valor numérico como resultado del número
total de elementos (Dato de salida)
Para su mejor comprensión haremos una descripción del esquema que
se utiliza:
Donde:
n = Número total de elementos
N = Recaudación total originada por el número total de elementos.
M = mayor valor unitario.
M = menor valor unitario.
Ejemplo 1
En un corral hay cuyes y gallinas que total son 44 cabezas y 134 patas.
¿Cuál es la diferencia entre el número de cuyes y gallinas existentes?
Solución:
Como se puede observar, hay dos incógnitas:
#de cuyes y # de gallinas
Entonces el valor unitario de cada incógnita es:
En 1 cuy hay 4patas
En una gallina hay 2 patas
El lado de entrada, 44 cabezas; se coloca en el vértice izquierdo del
rombo.
El dato de salida, 134 patas, se coloca en el vértice derecho del rombo.
M
N
n
m
x -
-
9. En la representación gráfica, se va a calcular el número de gallinas.
Número de gallinas = 21
2
42
2
134176
24
134)444(
Luego se tiene:
# de gallinas + # de cuyes = # de cabezas
Sustituyendo datos:
21 + # de cuyes = 44
# de cuyes = 23
Como nos piden, la diferencia entre el número de cuyes y gallinas es:
23 – 21 = 2
Ejemplo 2.
En un examen César gana 3 puntos por respuesta correcta, pero pierde
1 punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 25
preguntas obtiene 47 puntos, ¿Cuántas preguntas contestó mal?
Solución:
En este caso debemos hallar el número de preguntas erradas
Número de preguntas erradas =
)1(3
47)325(
4 patas (cuyes)
134 patas
44 cabezas
x -
-
2 patas (gallinas
4 puntos (correcta)
47 puntos25 preguntas
x -
-
-1 punto (errada)
10. Número de preguntas erradas =
4
28
13
4775
Número de preguntas erradas = 7
MÉTODO DE LA FALSA SUPOSICIÓN
Este método es el mismo que el Método del Rombo, es decir, la misma
aplicación para los mismos tipos de ejercicios.
Este método consiste en suponer un resultado como verdadero, luego
determinar el error total (Et) cometido; a continuación calcular el error
unitario (Eu); entonces el número de objetos (N) esta dada por la
siguiente relación:
Eu
Et
N
Ejemplo 1
En un ómnibus interprovincial viajan 65 pasajeros entre adultos y niños.
Si el pasaje de cada adulto es S/. 8 y S/. 5 el de un niño. ¿Cuántos
niños viajaron en total, si la recaudación fue de S/. 445?
Solución:
Del problema se tiene:
Total de pasajeros : 65
Total de recaudación : S/. 445
Pasaje de cada adulto : S/. 8
Pasaje de cada niño : S/. 5
Total de niños : N
Vamos a suponer que los 65 pasajeros son adultos, entonces la
recaudación sería:
65 x S/. 8 = S/. 520
Pero el total de la recaudación es sólo S/. 445, entonces el error total
cometido es:
Et = S/. 520 – S/. 445 = S/. 75
Por otra parte al suponer que todos los pasajeros son adultos, se ha
cometido un error unitario de:
Eu = S/. 8 – S/. 5 = S/. 3
11. Luego el número de niños (N) que viajaron, se obtiene de la fórmula
respectiva:
25
3./
75./
S
S
Eu
Et
N
Rpta. Viajaron 25 niños.
Ejemplo 2
Un policía de vigilancia, durante 30 días trabaja para la empresa
“Seguridad total”, resguardando una tienda y una casa, Por cuidar la
tienda recibe S/. 15 cada día y por cuidar la casa recibe S/. 10. Si al
final recibió S /. 400. ¿Cuántos días trabajó cuidando la tienda y cuántos
la casa?
Solución:
Vamos a suponer que trabajó los 30días cuidando la tienda, por lo cual
recibirá:
30 x S/. 15 = S/. 450
Pero él sólo recibe S/. 400, entonces hay un error total de :
Et = S/. 450 – S/. 400 = S/. 50
Por otra parte el error unitario de lo que recibe por día es:
Et = S/. 15 – S/. 10 = S/. 5
Entonces el número de días que trabajó cuidando la casa es de:
10
5./
50./
S
S
Eu
Et
N
Luego:
o 10 días cuidó la casa
o 20 días cuidó la tienda.
12. Ejercicios propuestos.
1. En una granja donde existen
conejos y palomas se cuentan
115 cabezas y 370 patas
(extremidades ¿Cuántas palomas
hay en la granja?
a) 35 b) 45
c) 55 d) 65
e) 70
2. Se desea pagar una deuda de
142 soles con 50 monedas de 5 y
2 soles. ¿Cuántas monedas de
S/. 5 debo emplear?
a) 18 b) 16
c) 12 d) 14
e) 10
3. En el examen de Razonamiento
Matemático que consiste en 30
preguntas, por cada pregunta
bien contestada se gana dos
puntos y por cada pregunta
errada se pierde un punto. Si la
nota de Brayan es de 42 puntos.
¿Cuántas preguntas contestó
mal?
a) 8 b) 7
c) 9 d) 6
e) 10
4.Orlando ha sido contratado por el
colegio “San Luis” por 3 años,
con la siguiente condición:; por
cada mes que trabaje le pagan
300 soles y por cada mes que no
trabaja debe pagar 320 soles.
¿Cuántos meses ha trabajado si
recibió S/. 2120?
a) 14 b) 22
c) 24 d) 26
e) 28
4. Un Docente de Matemática por
resolver 80 problemas entre
Lógico Matemática y
Razonamiento Matemático recibe
un total de S/. 2500. Por cada
problema desarrollado de Lógico
Matemática y Razonamiento
Matemático, son de 35 y 25 soles
respectivamente. ¿Cuántos
problemas de Lógico Matemática
ha desarrollado?
a) 30 b) 45
c) 50 d) 60
e) 40
6. Un profesor de Matemáticas le da
a su hijo Juan 3 soles por cada
problema bien resuelto y por
cada problema mal resuelto el
hijo tiene que dar al profesor 1
sol. Ha resuelto 50 problemas y
obtuvo S/. 66 ¿Cuántos
problemas bien resueltos ha
hecho?
a) 29 b) 28
c) 22 d) 21
e) 32
7. En el Colegio “La Merced”
trabajan 45 personas entre
profesores y administrativos, los
sueldos de un mes ha importado
un total de S/. 21 000. El sueldo
de un profesor es de S/. 500 y el
de un administrativo es de S/.
350. ¿Cuántos administrativos
trabajan en el Colegio “La
Merced”?
a) 5 b) 15
c) 12 d) 14
e) 10
8. Carlos y Jampol llevan juntos 120
libros de Razonamiento
13. Matemático, para vender, Carlos
vende a S/. 20 cada libro, Jampol
a S/. 14; recibiendo juntos en
total S /. 2 130. La diferencia del
número de libros que ha vendido
entre Carlos y Jampol es:
a) 25 b) 45
c) 35 d) 40
e) 30
9. Un obrero trabaja durante 30 días
encasa de dos patrones. El
primero le paga por día S/. 2,20.
y el segundo S/. 2,52. Si en total
recibe S/. 69,84. ¿Cuántos días
trabajó para el segundo patrón?
a) 18 b) 20
c) 16 d) 14
e) 22
10. En un zoológico hay leones y
palomas, si en total hay 20
cabezas y 52 patas Cuántos
leones hay
a) 16 b) 6
c) 15 d) 8
e) 12
14. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS
Denominado también como el método de la diferencia total y
diferencia unitaria, que se refiere a los problemas donde se
relacionan cantidades unitarias con sus respectivos totales,
presentándose dos casos:
A. Cuando se trate de hallar el número de objetos, conociendo sus
valores unitarios y totales, se puede utilizar la siguiente fórmula:
sUnitariasDiferencia
sTotalesDiferencia
N
B. Cuando se trate de distribuir cantidades sobre objetos o costos,
donde se presentan cantidades sobrantes y faltantes, entonces
aplicamos la siguiente fórmula:
S + F = A x N
Donde:
S = Cantidad que sobra
F = Cantidad que falta
A = Diferencia de costos
N = Número de elementos u objetos a hallar
Ejemplo 1.
La librería “Alex” oferta cierto número de textos. Si los vende cada uno a
S/. 15 recauda S/. 600, Pero si los vendiera a S/. 20 cada uno
recaudaría S/ 800. ¿Cuál es le número de textos?
Solución:
Valores unitarios : S/. 15 y S/. 20
Valores totales : S/ 600 y S /. 800
Número de textos : N
Aplicando la primera fórmula tenemos:
sUnitariasDiferencia
TotalessDiferencia
N
5
200
15./20./
600./800./
SS
SS
N
N = 40
Rpta. La librería ofertó 40 libros
15. Ejemplo 2.
En un orfanato se desea repartir cierta suma de dinero entre los niños.
Si se da S/. 18 a cada uno faltaría S/. 20; pero si se da S/. 15 sobraría
S/. 25 ¿Cuántos niños son los beneficiados?
Solución:
Cantidad que sobra : S = S/. 25
Cantidad que falta : F = S/. 20
Diferencia de montos : A = S/. 18 – S/. 15
= S/. 3
Número de niños : N
Aplicando la segunda fórmula se tiene:
S + F = A x N
S/. 25 + S/. 20 = (S/.3)N
45 = 3N
Luego: 15
3
45
N
Rpta. Hay 15 niños.
Ejemplo 3.
La promoción del sexto grado desea realizar una rifa de un DVD con
cierto número de boletos. Vendiendo cada boleto a S/: 5, perdería S/. 40
y si vendiera a S/: 8 ganaría S/. 140. Hallar el número de boletos y el
precio del DVD
Solución:
Cantidad que sobra : S = S/. 140
Cantidad que falta : F = S/. 40
Diferencia de costos : A = 8 – 5 = S/. 3
Número de boletos = N
Aplicando fórmula:
S + F = A x N
S/. 140 + S/. 40 = (S/.3) N
16. 180 = 3N
Luego: 60
3
180
N
Para determinar el precio del DVD, podemos aplicar dos planteamientos:
.
DVD = 60 (5) + 40 = S/. 340
DVD = 50 (8) - 140 = S/. 340
Rpta. Número de boletos 60 y el precio del DVD es S/. 340
MÉTODO DEL RECTÁNGULO
Este método, no es más que la aplicación práctica del método de las
diferencias.
Para aplicar este método deben participar dos cantidades excluyentes,
una mayor que la otra a consecuencia se tiene dos enunciados, un
sobrante (o ganancia) y otro faltante (o pérdida).
Ejemplo 1
Si pago S/. 12 a cada uno de mis empleados me faltan S/. 340; p ero si
sólo les pago S/. 4, me sobrarían S/.100. ¿Cuántos empleados tengo?
Solución:
Aplicando el método del rectángulo se tiene:
Podemos decir que:
# de empleados
8
440
412
100340
Rpte: # de empleados= 55
Ejemplo 2
Si compro 9 cuadernos me sobrarían S/.7; Pero si compro 13 cuadernos
me faltarían S/. 41. ¿De cuánto dinero dispongo?
Solución:
SOBRA S/. 100
FALTA S/. 340
S/. 4
S/. 12
- +
17. Aplicando el método del rectángulo se tiene:
Podemos decir que:
Precio de cada cuaderno:
4
48
913
741
Rpta: Precio de cada cuaderno= S/. 12
Ejercicios propuestos.
1. Una institución benéfica
distribuye dinero entre un
número determinado de personas
pobres; si da S/. 25 a cada uno
sobraría S/. 200, pero si da a
cada uno S/.40, faltará S/. 400.
¿Cuál es el número de pobres?
a) 25 b) 30
c) 40 d) 50
e) 35
2. Un comerciante desea vender a
S/. 11 cada calculadora para
ganar S/. 75, pero si los vendiera
a S/. 6 tendría una pérdida de
S/. 50. ¿Cuántas calculadoras
desea vender?
a) 28 b) 20
c) 18 d) 25
e) 15
3. Al rifar un televisor bajo cierto
número de boletos. Si se vende a
S/. 4 el boleto, se perdería S/. 60
y si se vende a S/. 6 el boleto se
ganaría S/.100. ¿Cuál es el
precio del Televisor?
a) S/. 300 b) S/. 360
c) S/. 380 d) S/. 400
e) S/. 350
4. Si se vende cada lapicero a S/. 4
se gana S/. 18, pero si se vende
en S/. 2 cada uno, se pierde S/.
4. ¿Cuántos lapiceros están en
venta?
a) 11 b) 8
c) 15 d) 9
e) 12
5. En una feria cierto ganadero
indicaba lo siguiente. “si vendo
mis borregos a S/.20, podré
comprar un caballo y me quedan
S/. 90; pero si los vendo a S/.
18, comprando el caballo me
quedaría S/. 6. ¿Cuál es el precio
del caballo?
a) S/. 84 b) S/. 240
c) S/. 360 d) S/. 750
e) S/. 350
6. Si le pago S/. 15 a cada uno de
los obreros me faltaría S/. 400;
pero si sólo les pago S/. 8, me
sobrarían S/. 160. ¿cuántos
obreros tengo?
a) 50 b) 60
c) 70 d) 55
e) 80
7. Para ganar S/. 560 en la rifa de
una grabadora, se imprimieron
SOBRA S/. 7
FALTA S/. 41
9 cuadernos
13 cuadernos
- +
18. 600 boletos, sin embargo; sólo
se vendieron 210 boletos;
originándose una pérdida de S/.
220. ¿Cuánto cuesta la
grabadora?
a) S/. 620 b) S/. 640
c) S/. 650 d) S/. 660
e) S/. 600
8. Elmer quiere repartir cierto
número de caramelos entre sus
sobrinos. Si les da 10 caramelos
a cada uno le sobran 6
caramelos. Y si les da 11
caramelos a cada uno le faltan
6caramelos. ¿Cuántos caramelos
quiere repartir?
a) 120 b) 122
c) 124 d) 126
e) 128
9. Si vendo a S/. 12cadapelota
gano S/. 25; pero si las vendiera
a S/.10 perdería S/. 9 ¿Cuántas
pelotas deseo vender?
a) 20 b) 17
c) 19 d) 18
e) 21
10. Al comprar 20 naranjas, me
sobran S/. 4,80; pero al adquirir
24 naranjas, me faltarían S/.
1,20. ¿Cuánto cuesta cada
naranja?
a) S/. 1,50 b) S/. 0,30
c) S/. 3,00 d) S/. 0,15
e) S/. 0,25
