Física I: Tangente vertical Región de cambio media Movimiento Rectilíneo

1. Física I
Temas:
■ Tangente vertical
■ Razón de cambio media
■ Movimiento rectilíneo
Nombre: Juan Sebastian Silva Freire

2. Tangente vertical
La recta tangente a una
gráfica puede ser vertical,
en cuyo caso su pendiente
está indefinida. Las gráficas
de muchas funciones con
exponentes radicales tienen
tangentes verticales.
Si una función f(x) es continua
en el punto P(a, f(a)) si:
Entonces la recta vertical
x = a es tangente vertical a
la gráfica de y = f(x) en el
punto P.
Si aparte de que el
resultado sea ±∞ el límite
del cociente no existe, la
gráfica y=f(x) no tiene
tangente en el punto P .

3. Una Tangente que
no Puede Existir
■ La gráfica de una función f(x) que es continua en
el número a no tiene porque poseer una recta
tangente en el punto (a;f(a)).
■ Una recta tangente no existirá cuando la gráfica
de la función tenga un pico pronunciado en
(a;f(a)).
■ En este caso f es continua en a, pero las rectas
secantes que pasan por P y Q tienden a L2
cuando Q→P
■ Así mismo las rectas secantes que pasan por P y
Q tienden a una recta diferente L1 cuando Q’→P.
■ En otras palabras, el límite en (2) no existe
porque los límites laterales del cociente
diferencial son diferentes, cuando h→0- y

4. EJEMPLO 1
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = 𝑥2
+ 2 𝑒𝑛 𝑥 = 1
■ El paso inicial es el cálculo de 𝑓 1 𝑦 𝑓 1 + ℎ . 𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑓 1 = 12 + 2 = 3
■ Luego, por el resultado en el paso precedente, la diferencia es:
■ Ahora, el cálculo del cociente diferencial
𝑓 1+ℎ −𝑓(1)
ℎ
es directo. De nuevo, se usan
los resultados del paso precedente:
■ Ahora el último paso es fácil. Se observa que el límite en (2) es:

5. Ejemplo 2
Encuentre una ecuación de la recta tangente cuya pendiente se halló en el ejemplo 1
En el ejemplo 1 se conocía que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = 𝑥2
+ 2 en (1,3) es 2
Solución se conocen el punto de tangencia (1,3) y la pendiente mtan=2, de modo que por la ecuación
punto-pendiente de una recta se encuentra.
𝑦 − 3 = 2 𝑥 − 1 o bien 𝑦 = 2𝑥 + 1
■ Observe que la última ecuación es consistente con las intersecciones x y y de la recta roja
de la figura

6. Ejemplo 3
Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) =
2
𝑥
en x = 2
■ Solución: Se empieza por usar (2) para encontrar mtan con a identificada como 2. En el segundo de los cuatro pasos es necesario combinar dos fracciones simbólicas por
medio de un común denominador.
1.- Se tiene 𝑓 𝑥 =
2
2
= 1 y 𝑓 𝑥 = (2 + ℎ)=
2
2+ℎ
2.- 𝑓(2 + ℎ)-f(2)=
2
2+ℎ
− 1
=
2
2+ℎ
−
1
1
=
2−2−ℎ
2+ℎ
→ usando un denominador común(2 + ℎ).
=
−ℎ
2+ℎ
→ aquí está el factor de ℎ .
3.- El ultimo resultado debe dividirse para ℎ más exactamente para
ℎ
1
, se invierte y multiplicamos por
1
ℎ
.
𝑓(2+ℎ)−f(2)
ℎ
=
−ℎ
2+ℎ
×
1
ℎ
=
−1
2+ℎ
→ las ℎ se cancelan.
4.- Por (2) 𝑚𝑡𝑎𝑛 es :
𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim
ℎ→0
𝑓(2+ℎ)−f(2)
ℎ
= lim
ℎ→0
−1
2+ℎ
=
−1
2
Como 𝑓(2)=1 , el punto de tangencia es (2,1) y la pendiente de la recta tangente en (2,1) es
𝑚𝑡𝑎𝑛 = −
1
2
, con base en la ecuación punto pendiente de una recta, la recta tangente es:
𝑦 − 1 =
1
2
(𝑥 − 2) o 𝑦 = −
1
2
𝑥 + 2

7. Ejemplo 4
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 en x = 5.
1. 𝑓 5 = 5 − 1
𝑓 5 = 2
𝑓 5 + ℎ = 5 + ℎ − 1
𝑓 5 + ℎ = ℎ + 4
2. 𝑓 5 + ℎ − 𝑓 5 = 4 + ℎ − 2
4 + ℎ − 2 ×
4+ℎ+2
4+ℎ+2
4+ℎ−4
4+ℎ−2
ℎ
4+ℎ−2
3. EL COCIENTE DIFERENCIAL DE:
𝒇 𝟓+𝒉 −𝒇(𝒉)
𝒉
ℎ
4+ℎ−2
ℎ
1
4+ℎ+2
4. EL LIMITE EN (2) ES:
lim
ℎ→0
1
4 + ℎ + 2
=
1
2 + 2
=
1
4
Es decir, la pendiente de
la recta tangente a la
gráfica

8. Razón de cambio media
El símbolo h y 𝑎 menudo se escribe como ∆𝑥 y
:𝑥, 𝑥0 ,entonces ∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 y es lo mismo que
La pendiente de la recta secante que pasa por La pendiente de la
recta secante que pasa por los puntos.La pendiente de la recta
secante que pasa por los puntos 𝑥0, 𝑓(𝑥0) y se deno

9. 𝑥 = 10𝑘𝑚
𝑡 = 1ℎ 15 min(1,25ℎ)
Velocidad media
La velocidad media o rapidez media está definida por: o también

10. Movimiento Rectilíneo
𝑠 = 𝑠(𝑡)
𝑠 > 0
𝑠 < 0
El movimiento en línea recta se denomina movimiento
rectilíneo.

11. Si un objeto, como un automóvil de juguete, se mueve sobre una recta de
coordenadas horizontal, se trata de un punto P en el instante 𝑡𝑜y un punto
P en el instante t1, y entonces las coordenadas de los puntos, que se
muestran en la son 𝑠(𝑡𝑜) y s(t1). Por (4), la velocidad media del objeto en
el intervalo de tiempo [t0, t1] es
𝑣𝑝𝑟𝑜 =
𝑠 𝑡1 − 𝑠(𝑡𝑜)
𝑡1 − 𝑡𝑜

12. Ejemplo velocidad media
La altura (s) por arriba del suelo a que se suelta una pelota desde la parte superior del Arco de San Luis
Missouri está dada por𝑠 𝑡 = −16𝑡2 + 630,donde (s) se mide en pies y (t) en segundos. Encuentre la
velocidad media de la pelota que cae entre el instante en que se suelta la pelota y el instante en que golpea
el suelo
𝑡 = −16𝑡2
+ 630
t=0
En el instante en que se suelta la pelota
0= −16𝑡2 + 630
−630
−16
= 𝑡2
𝑡 =
315
8
≈ 6,27𝑠
𝑣𝑝𝑟𝑜 =
0 − 630
315
8
− 0
≈ −100,40
𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑠
En el instante en que la pelota llega al suelo