La medida

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bc
LAS MEDIDAS EN CIENCIA
Los conceptos utilizados en la ciencia
están relacionados con la vida cotidiana y con la
observación directa,
pero deben refinarse para poder ser utilizados.
Conceptos como caliente o frío, rápido o lento,
pesado o ligero, como términos contrapuestos,
son demasiado imprecisos para analizar y
formular problemas científicos.
La observación directa también lleva a
resultados engañosos.

¿Son iguales de largas las
cubiertas de los barcos?
La ciencia ha intentado resolver estos problemas
utilizando números que ayudan a comparar con
mucha mayor precisión
y que permiten aplicar el razonamiento deductivo
matemático.

La necesidad de medir es evidente en
la mayoría de las actividades técnicas
o científicas.
Pero además contar con medidas hay
que saber si dichas medidas son
válidas.
Para ello debemos recordar la
definición de medición:
determinación de la proporción entre
la dimensión de un objeto y una
determinada unidad de medida.

Metrología
Ciencia de la medición
Sistema
de unidades
Instrumentos
de medición
Procedimientos
y métodos de
medición
(Magnitudes,
patrones y
unidades)
(Apropiados y
especializados) (Normas y
manuales)

La medición
Es comparar la cantidad desconocida que
queremos determinar y una cantidad conocida
de la misma magnitud, que elegimos como
unidad.
Al resultado de medir lo llamamos Medida.
Este resultado se expresará mediante
un número seguido de la unidad que
hemos utilizado: 4m, 200 Km, 5 Kg.

Para medir debemos diseñar el instrumento de
medida y escoger una cantidad de esa magnitud
que tomamos como unidad.
Una medida es el número de veces que una
magnitud contiene a la unidad.
Magnitud es todo aquello que se puede medir,
que se puede representar por un número y que
puede ser estudiado en ciencias experimentales
(que observan, miden, representan....).

Unidades de medida
Al patrón de medir le llamamos también Unidad de
medida.
Debe cumplir estas condiciones:
1º. Ser inalterable, esto es, no ha de cambiar con el
tiempo ni en función de quién realice la medida.
2º. Ser universal, es decir utilizada por todos los
países.
3º. Ha de ser fácilmente reproducible.

La medida y los patrones surgieron como una
necesidad para los hombres.
Además, por razones comerciales necesitaban
cuantificar el oro, el grano, el aceite , o el tiempo
que transcurría entre recolección y recolección

Las primeras unidades fueron antropométricas.
"El hombre es la medida de todas las cosas",
Protágoras. s. V a.C.
El ritmo día/noche, la longitud de un paso, la
temperatura del cuerpo humano, etc.

Mano
Era el ancho de la mano, aun se usa en algunos países
para medir la alzada de un caballo. Equivale a 4 dedos.
Pie
Esta medida vale: 30,5cm. y se usa para medir, por
ejemplo, las chapas de los techos.
Cuarta
Se extiende o abre la mano y la medida entre la punta
del pulgar y el meñique equivale a un palmo o cuarta.
Braza
Equivale a 1.67 m. y es el resultado de extender ambos
brazos.

Pulgada
Medida inglesa y vale, luego de un acuerdo
internacional: 2,54 cm. Muy usada actualment
Paso
Equivale a la medida entre un pie y el próximo, al
efectuar un paso.
Milla
Deriva de mille passuum y significa unos 1000 pasos.

En muchos casos la elección fue harto caprichosa.
El rey Enrique I ( año 1100), estableció la yarda
como la distancia de su nariz hasta la punta de
sus dedos de la mano.
Su valor equivale a 91,44 cm.
Luis XIV eligió la longitud de su pie como unidad
patrón.
Jorge III de Inglaterra eligió en hacia 1770 como
unidad de volumen patrón la capacidad de su
orinal (Galón Imperial),
Envió como patrón secundario a las colonias
americanas el orinal de su mujer (Galón USA).

Patrones de medida
Material: centímetro de modista
a- Para cada integrante del grupo, deteminar la medida
de.
Una pulgada
Un codo
Una palma
Una braza
Una yarda
b- Obtener un promedio para cada unidad
c- Comparar con los valores de tablas
d-Discutir los resultados

Una pulgada – 2,54 cm
Un codo -45 a 50 cm
Una palma -22,5 cm
Una braza - 1,776 m.
Una yarda – 91, 44 m
Un pie -28 cm

”La batalla mas grande que la ciencia ha
librado através del siglo del siglo XVIII, ha sido
haber vencido a la naturaleza,
tomando el SISTEMA DE PESAS Y MEDIDAS.”
Napoleón Bonaparte
Es por esta razón que surge la necesidad de
establecer un Sistema de unidades estándar para
realizar mediciones.
Un sistema de unidades es un conjunto consistente
de unidades de medida.

El sistema anárquico de medidas que existía
antes de la Revolución Francesa,
frenaba el comercio y el progreso científico
y propiciaba abusos en los impuestos y pequeños
intercambios.
La mayor parte de las mediciones se hacían
comparando volúmenes y el fraude más corriente
era cambiar el volumen de la medida.
La implantación del “sistema métrico decimal” es
uno de los mayores logros revolucionarios.

Se establecieron leyes de regulación de pesos y
medidas, para favorecer las relaciones comerciales .
.
Pero la diversidad de medidas en las diferentes
naciones llevó a dificultades y conflictos, para
llegar a una unificación de la medida.

Pero en 1789 se produjo la
revolución francesa, y se decidió
crear un sistema único de medidas.
Si había un rey y una ley igual para
todos, también debía hacer una sola
medida para todos.
Se formó una comisión con lo mejor
de la ciencia francesa y en 1790 se
creó un sistema de pesas u
medidas."

Se decidió que las nuevas medidas, incluyendo las
de monedas, serían decimales. lo que simplificaría
enormemente los cálculos tanto científicos como
comerciales o fiscales.
Esto ahora nos parece obvio, pero en esa época
una toesa se dividía en 6 píes de 12 pasos ,
y una libra se dividía en 2 marcos de 8 onzas de 8
gruesas cada uno.

En 1792 dos astrónomos, Pelambre y Mechain
midieron una porción del meridiano
comprendida entre, Dunquerque y Barcelona
para determinar la longitud de la nueva
medida, a la que se llamó metro.
Se eligió como unidad base de
longitud la diezmillonésima
parte de un cuadrante del
meridiano terrestre.

El progreso de unificación fue lento debido a la no
concordancia de algunos gobernantes, hasta la
implantación del "Sistema métrico Decimal", que
fue el definitivo ya que unificó el peso y la medida.
Para conseguir esta unificación fue importante el
papel de distintas ciencias como las matemáticas,
la física o la química, que aportaron definiciones
basadas en realidades y fenómenos físicos

Se intentó crear un sistema de pesos y medidas
cuyos patrones no pudieran perderse con el
tiempo, y fueran inalterables.
En 1795, en Francia, se estableció por decreto el
Sistema Métrico Decimal, tomando al diez como
base (de ahí el nombre de decimal). La primera
unidad fue el metro.
La propuesta de Francia se adoptó finalmente en
la Convención del Metro (1875), por parte de los
países y se difundió paulatinamente en todo el
mundo.

Inicialmente la Conferencia General se circunscribía a
las unidades de peso y longitud.
Pero fue difícil la implantación del metro como medida
universalmente aceptada , debido a la resistencia que
tuvieron todos los países a abandonar sus sistemas de
medidas.
Inglaterra, al igual que otros países que no asistieron a
la convención, siguió utilizando el sistema de medición
inglés, también llamado imperial, en el que usan la
yarda, el pie, la pulgada y la libra, entre otros

El sistema inglés de unidades
Se basa en el antiguo
sistema de medidas
romano.
Se extendió por muchos
países en el siglo XIX, en la
revolución industrial.
Fue desplazado en el siglo
XX por el Internacional.
En el Perú aún se utiliza
conjuntamente con el SI.
Magnitud Unidad Símbolo
Longitud pulgada in
Peso libra lb
Tiempo segundo s

Por suerte no es necesario buscar patrones paraPor suerte no es necesario buscar patrones para
cada magnitud física.cada magnitud física.
Algunas magnitudes elementales pueden ser másAlgunas magnitudes elementales pueden ser más
fáciles de establecer como patrones,fáciles de establecer como patrones,
y las magnitudes más complejas pueden a menudoy las magnitudes más complejas pueden a menudo
expresarse en función de las unidades elementales.expresarse en función de las unidades elementales.
El problema básico es elegir el número másEl problema básico es elegir el número más
pequeño posible de magnitudes físicas comopequeño posible de magnitudes físicas como
fundamentales y fijar patrones para su medición.fundamentales y fijar patrones para su medición.
Estos patrones deben ser tanto accesibles comoEstos patrones deben ser tanto accesibles como
invariables.invariables.

MAGNITUD NOMBRE DE SÍMBOLO
LA UNIDAD
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de
corriente eléctrica ampere A
Temperatura kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia mol mol

Se definió originalmente como una diezmillonésima
parte de la distancia entre el ecuador y el polo norte a
lo largo del meridiano de París.
Se consideró que la Tierra era una esfera perfecta,
EL METRO
Pero se descubrió que la Tierra no
es esférica, y el metro se definió
como la distancia entre dos líneas
finas en una barra de aleación de
platino e iridio, el metro patrón
conservado en París
Luego se demostró que la barra
estaba sujeta a cambios de longitud.

Después, la conferencia de 1960 redefinió el metro
como 1.650.763,73 longitudes de onda de la luz
anaranjada-rojiza emitida por el isótopo criptón 86.
Para ser más precisos el metro se definió en 1983
como
la longitud del espacio recorrido por la luz en el vacío
durante un intervalo de tiempo de 1/299.792.458 de
segundo.
EL METRO

El kilogramo Internacional se
guarda en el vacío de tres
campanas de vidrio,
para protegerlo de la corrosión
y abrasión.
" No tocado por manos
humanas" se maneja con
tenazas.
Inclusive la grasa de la piel podría alterar su masa
de modo apreciable.
El patrón y sus duplicados estan hechos de metal,
para asegurar su durabilidad.

El kilogramo fue definido al principio como la
masa de un cubo de agua de 10 centimetros de
lado.
10 cm

Unidad de tiempo
Segundo: se define como la duración de 9 192
631 770 períodos de la radiación
correspondiente a la transición entre los
niveles hiperfinos del estado base del átomo
de cesio 133.

Unidad de corriente eléctrica
Ampere: es la intensidad de una
corriente constante, que
mantenida en dos conductores
paralelos, rectilíneos, de longitud
infinita, de espesor despreciable,
a 1 m de distancia entre sí en el
vacío,
produciría entre los conductores
una fuerza igual a 2.10-7 newton
por metro de longitud.

Unidad de temperatura
termodinámica
Kelvin: es la fracción de 1/273,16 de la
temperatura termodinámica del punto triple
del agua.

°C °F Descripción
100 212 El agua hierve
40 104 Un baño caliente
37 98.6 Temperatura corporal
10 50 Día fresco
0 32 Punto de congelación del agua
-40 -40
Día extremadamente frío
(el mismo número en las dos escalas)

Unidad de cantidad de substancia
Mol: es la cantidad de substancia que contiene
tantas entidades elementales como existan
átomos en 0,012 kg de carbono 12.

Unidad de intensidad luminosa
La candela es la intensidad luminosa en una
dirección dada,
de una fuente que emite una radiación
monocromática
de frecuencia 540×1012
herz y de la cual la
intensidad radiada en esa dirección es 1/683 W

10n
Prefijo Símbolo Escala larga
1024
yotta Y Cuatrillón
1021
zetta Z Mil trillones
1018
exa E Trillón
1015
peta P Mil billones
1012
tera T Billón
109
giga G Mil millones
106
mega M Millón
103
kilo k Mil / Millar
102
hecto h Cien / Centena
101
deca da Diez / Decena
100
ninguno Uno / Unidad
MULTIPLOS

10n
Prefijo Símbolo Escala larga
100
ninguno Uno / Unidad
10−1
deci d Décimo
10−2
centi c Centésimo
10−3
mili m Milésimo
10−6
micro µ Millonésimo
10−9
nano n Milmillonésimo
10−12
pico p Billonésimo
10−15
femto f Milbillonésimo
10−18
atto a Trillonésimo
10−21
zepto z Miltrillonésimo
−24
SUBMULTIPLOS

a) Los virus más pequeños son polígonos de 20 lados
que miden entre 18 y 20 nanómetros de ancho.
Exprese el tamaño ern mm, cm y metros.
b) La masa de un electrón es 9, 109. 10-31 kg .
Exprésela en g y en yoctogramos .
c) La masa de Plutón es 1,25·1022
kg.
En qué unidades convendría expresarla
d) La Vía Láctea, tiene un diámetro de unos 350.000
años luz. Un año luz es una unidad de distancia que
equivale aproximadamente a 9,46 × 1012
km .
Exprese en m el diámetro de la Vía Láctea.

UNIDADES DERIVADAS
Las unidades fundamentales son aquellas que no
pueden ser definidas en términos más elementales.
En cambio, las unidades definidas en términos de
dos o más unidades fundamentales se llaman
unidades derivadas.
El área o superficie es una magnitud derivada que
se describe en términos de dos longitudes. En el SI,
la unidad de área es el metro cuadrado (m2
).
El volumen es una magnitud que se describe en
términos de tres longitudes. La unidad de volumen
del metro es el metro cúbico (m3
).
La densidad se describe en términos de masa y
volumen, su unidad en el SI es kg/m3
.

CANTIDAD FÍSICA UNIDAD DIMENSIÓN
Área m2
L2
Volumen m3
L3
Densidad kg/m3
ML-3
Velocidad (rapidez) m/s LT-1
Aceleración m/s2
LT-2
Fuerza kg.m/s2
= newton (N) MLT-2
Trabajo y energía kg.m2
/s2
= joule (J)
ML2
T-2
Potencia kg.m2
/s3
= watt (W)
ML2
T-3
ALGUNAS CANTIDADES DERIVADAS DEL SI

TIPOS DE MEDICIÓN
Medición Directa
Se asigna para una magnitud
valores sin hacer uso de
medidas previas, es decir,
directamente.
Ej. Masa medida por una
balanza
Las medidas indirectas calculan el valor de la medida
mediante una fórmula , a partir de las magnitudes
que intervienen en la fórmula por medidas directas.
Un ejemplo sería calcular el volumen de una
habitación

Un instrumento de medición es un aparato que se
usa para comparar magnitudes físicas mediante un
proceso de medición.
INSTRUMENTO DE MEDICIÓN

APRECIACIÓN DE UN INSTRUMENTO
Apreciación es la mínima cantidad que el instrumento
puede medir (sin estimaciones) de una determinada
magnitud y unidad,
o sea es el intervalo entre dos divisiones sucesivas de su
escala.
Cuál es la apreciación del centímetro de
modista y de la regla?

SENSIBILIDAD
Sensibilidad es la relación que existe entre la
variación del instrumento y la del efecto medido.
Es decir el cociente que resulta del cambio en la
indicación del instrumento dividido por el cambio en
la variable medida que causa al primero.
Por ejemplo, un termómetro de mercurio en vidrio en
el que la escala vaya de 0 ºC a 100 ºC en una longitud
de 25 cm, tiene una sensibilidad de 25 cm / 100 ºC, la
cual puede expresarse también como 2.5 mm / ºC..
La sensibilidad con que se fabrican los aparatos de
medida depende de los fines a los que se destina.

PRECISIÓN
Es la capacidad de un instrumento de dar el mismo
resultado en mediciones diferentes realizadas en las
mismas condiciones.
La Precisión es un parámetro relevante, especialmente
en la investigación de fenómenos físicos.
En esta área los resultados se expresan como un número
más una indicación del error máximo estimado para la
magnitud.
Es decir, se indica una zona dentro de la cual está
comprendido el verdadero valor de la magnitud.

Exactitud: es la capacidad de un instrumento de
medir un valor cercano al valor de la magnitud
real. Es lo cerca que el resultado de una medición
está del valor verdadero.
Exactitud baja
Precisión alta
Exactitud alta
Precisión baja
Exactitud alta
Precisión alta

Sesgo
Si medimos algo varias veces y los valores están
cerca unos de otros, pueden estar todos
equivocados si hay "sesgo".
Un sesgo es un error sistemático (pasa siempre)
que hace que todas las medidas estén desviadas
en una cierta cantidad.

Grado de exactitud
La exactitud depende del instrumento de medida.
Instrumentos de poca precisión son una balanza de
cocina o la cinta de modista (muy elastica y que se
deforma por el uso).
Pero por regla general: El grado de exactitud es la
mitad de la unidad de medida.
Ejemplos: Si tu instrumento mide en "unidades"
entonces cualquier valor entre 6½ y 7½ se mide
como "7"
Lo que se expresaría como : 7 ± 1/2

ACTIVIDAD 3
Medir el tamaño de los objetos y expresar el
resultado.

ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO
Se define el error absoluto Ea, como la diferencia
entre el resultado de la medida M y el verdadero
valor m de la magnitud a medir.
Ea = M – m
El concepto de error absoluto no da una idea clara de
la bondad de la medición.
Es muy distinto cometer un error de 10 V al medir
13200 V, que al medir 220 V.

El error típico de una medición destinada a un tablero
eléctrico ronda el 1,5 %,
el de un laboratorio de ensayos fabriles es del 0,5 % y
el de un laboratorio de calibración es menor del 0,1
%.
El error relativo Er es el cociente entre el error
absoluto Ea y el verdadero valor.
Expresado en % es:

Errores en las medidas directas
El origen de los errores de medición es muy diverso,
pero podemos distinguir:
Errores sistemáticos:
-se producen siempre
-conservar la magnitud y el sentido,
-se deben a desajustes del instrumento, desgastes etc.
-dan lugar a sesgo en las medidas.

Errores en las medidas directas
Errores aleatorios:
se producen de un modo no regular,
variando en magnitud y sentido de forma aleatoria,
 son difíciles de prever,
 dan lugar a la falta de calidad de la medición.

Errores Personales o humanos
En observadores experimentados, se constata
siempre que, cada uno tiene una manera particular
de apreciar determinado fenómeno.
Por ejemplo, la demora en poner enmarcha un
cronómetro al comienzo de un experimento
o la tendencia permanente a leer desde la izquierda
(o la derecha) sobre una escala con paralaje.
Es notable que cada observador repite este error con
regularidad casi mecánica.
Es decir, son los causados por los hábitos
individuales del observador.

El "medidor" (observador) puede originar errores
sistemáticos por una mala forma de medir, y este
error va siempre en el mismo sentido.
Si hay errores por una imperfección de los sentidos,
estos errores van a veces en un sentido y a veces en
otro y se pueden compensar haciendo el promedio.
Los Errores groseros consisten en equivocaciones en
las lecturas y registros de los datos.
En general se originan en la fatiga del observador,
en el error al transcribir los valores medidos, etc.
Estos errores son de gran magnitud, y pueden
detectarse comparando varias mediciones.
Por ello se aconseja al menos 3 (tres) mediciones.

Factores ambientales
La temperatura, la presión, la humedad, etc,
pueden alterar las medidas.
Es necesario fijar las condiciones externas o
conocer cuales son. S
Las condiciones varían aleatoriamente durante la
medida, unos datos pueden compensar a los otros
y el error accidental que introducen puede ser
eliminado hallando la media de todos ellos.
En algunos casos es posible realizar correcciones,
por ejemplo las de la pesada, por la presión y la
temperatura.

Los instrumentos de medida
Los instrumentos pueden introducir error sistemático
por un defecto de construcción o de calibración.
Sólo se elimina el error cambiando de aparato o
calibrándolo bien.
Debemos conocer el rango de medida del aparato,
entre que valores, máximo y mínimo, puede medir.

INCERTIDUMBRE
Cada medida lleva asociada una incertidumbre.
Esto determina un rango o cota en la cual no se
puede asegurar donde está el valor real.
Medimos con una cinta métrica ¿qué valor será
válido?.
A la incertidumbre se le asignará la mitad de la
apreciación. El valor se expresa: 3.25 cm ± 0.05 cm
El resultado de una medida lo indicaremos en la
forma:
x ± Δx (.Δx = sensibilidad del instrumento) con las
unidades que correspondan.

Cifras significativas
Los datos experimentales deben expresarse según las
condiciones de medida en los que fueron obtenidos.
Por ello se debe tener cuidado en el número de cifras
con que expresar el resultado de una medida.
Una cifra es significativa cuando se conoce con una
precisión aceptable.
Así, cuando se mide con un termómetro que aprecia
hasta las décimas de grado no tiene ningún sentido que
se escriban resultados del tipo 36,25 ºC o 22,175 ºC.

Medidas de longitud
Material
Una moneda -Centímetro de modista -Regla
Ruleta o flexo metro
• Tomar un mínimo de 3 medidas del diámetro de la
moneda con cada instrumento.
•Registrar los valores. Obtener un valor promedio
•Repetir la medida para cada persona del grupo
•Comparar los resultados.
•Calcular el volumen de la moneda.
•Discutir los resultados
•Analizar los conceptos de medida directa e
indirecta.

Material volumétrico
Material:
Balanza -Vasos de precipitación o de plástico
Pipeta –Bureta -Matraz aforado-Probeta -Agua
Utilizando el material volumétrico, medir 20 mL de
agua y colocar cada porción en vasos de
precipitación previamente tarados.
Pesar cada vaso 4 veces. Registrar los valores.
Obtener un valor promedio para cada vaso.
Calcular la densidad del agua a partir de la
fórmula ρ= m / v.
Anotar los resultados
Estimar la apreciación de cada recipiente
Comparar y discutir los resultados

CALCULO de ERRORES
Si el error es aleatorio, es decir unas veces por
exceso y otras por defecto, el valor más
aproximado al verdadero es el valor medio.
Al promediar los resultados, los errores por exceso
se compensan con los errores por defecto
y ello será más cierto cuanto mayorl número de
veces se repita la medida.
Para establecer un valor fiable de la cantidad M y
de su incertidumbre correspondiente el
procedimiento es el siguiente:

1. Repetir n veces la operación de medida de M y
anotar los resultados M1, M2 ... Mn
2. Calcular la media aritmética M de todos ellos
M = (M1 + M2 + ... + Mn)/n
Ejemplo
R.R. se pesa varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J V
Masa (kg) 73 72 74 72 73
kgM 8,72
5
)7372747273(
=
++++
=

3. Calcular la desviación media ΔM, la media
aritmética de los valores absolutos de las desviaciones
de los resultados respecto de su media M.
ΔM =[ (73-72,8) + …………..]/ 5 = 0,64
4. Considerar ΔM como límite del error, de modo que
el verdadero valor M de la magnitud medida estará
comprendido entre los valores extremos M - ΔM y M +
ΔM
M - ΔM < M < M + ΔM
M – 0,64 kg < M < M + 0,64 kg
5. Expresar el resultado en la forma:
M ± ΔM (72,8 ± 0,6 kg)

Si una de las medidas está claramente apartada
de las demás, se desprecia (es evidente que viene
de un error de medida y no merece estra
representada en la media).
La imprecisión que acompaña al resultado es la
que tiene mayor valor entre:
* la imprecisión absoluta (Ea)
* la sensibilidad del aparato (menor división).
Incorrectos Correctos
453 ± 0,51 453, 0 ± 0, 5
0, 0237 ± 0,01 0, 02 ± 0, 01

Norma Ejemplo
Son significativos todos los
dígitos distintos de cero.
8723 tiene cuatro
cifras significativas
Los ceros entre dos cifras
significativas son significativos.
105 tiene tres cifras
significativas
Los ceros a la izquierda no son
significativos.
0,005 tiene una
cifra significativa
Para números mayores que 1,
los ceros a la derecha de la
coma son significativos.
8,00 tiene tres
cifras
significativas

Para números sin coma decimal,
los ceros posteriores a la última
cifra distinta de cero pueden o no
considerarse significativos.
Así, para el número 70 podríamos
considerar una o dos cifras
significativas.
7 · 102
tiene una
cifra significativa
7,0 · 102
tiene dos
cifras significativas
- Al sumar o restar dos números decimales, el
número de cifras decimales del resultado es igual
al de la cantidad con el menor número de ellas.

En operaciones como multiplicación o división hay
que considerar las cifras significativas .
Ejemplo: Calcular la superficie de una tira de papel.
Se mide su longitud y ancho con una regla aprecia
hasta los milímetros y se obtiene 18.2 y 4,1 cm
respectivamente. Multiplicando resulta:
18.2 cm .4,1 cm =74,62 cm2
El número de cifras significativas de un producto (o
de un cociente) no puede ser superior al de
cualquiera de los factores.
En el presente caso 4,1 tiene dos cifras significativas,
luego el resultado en rigor se escribiría como: 75 cm2

Usando una balanza se mide 5 veces la masa
de una esfera de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide
calcular su densidad.
n0
1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1

84
gEEM AS 282022
.=+=∆
gES 05.0=
ggEA 2780
5
2240
782 .
.
. ==
n0
1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
gM 400.14=
gM 282040014 .. ±=

85
Ejemplo (casi) completo III
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera
de radio r = 1.0 ±0.1 cm. Se pide calcular su densidad.
3
3
4
rV π= rrr
r
V
V ∆=





∆
∂
∂
=∆ 2
2
4π
3
3,12,4 cmV ±=
r
r
V
V
E VR
∆
==
∆
= 33.0,

86
?0335,14377,3 3
cm
g
±=ρ
V
M
=ρ
22





∆
+




∆
=∆
V
V
M
M
ρρ

87
INTERPOLACIÓN
Interpolación y Extrapolación.
Una función puede venir dada de varias formas:
•Como enunciado tipo problema de álgebra.
•Como una ecuación que nos relaciona dos variables.
•Como una tabla de valores.
•Como una gráfica.
•Si nos la dan en forma de ecuación, podemos calcular
cualquier dato que nos interese saber.
•Si nos la dan en forma de Tabla puede que el valor que
queremos saber no se encuentre en dicha tabla. Tendremos
entonces que INTERPOLAR o EXTRAPOLAR.

88
Ejemplo:
Sea la población de Palencia en los últimos 16 años, dado
en forma de tabla y en miles de habitantes.
Año 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004
Habitantes 71 72 73 74 75 76 77 78
GRAFICAR
¿Qué población tenía Palencia en 1995 ?
Podemos suponer que en 1995 había (75+76) / 2 = 75,5
millones de habitantes.
Eso es lo que se llama INTERPOLAR.
Como el crecimiento de la población es lineal, el error
cometido al calcular así es nulo.
Pero el crecimiento podría haber sido exponencial o
cuadrático.

89
EXTRAPOLACIÓN
¿Qué población tenía Palencia en 1980 ?
¿Qué población tendrá Palencia en 2010 ?
Podemos suponer que en 1980 había ( 69 - 1 - 1 ) =
67 millones de habitantes.
Podemos suponer que habrá en 2010 ( 78 + 10 ) =
88 millones de habitantes.

De torta o por
sectores
De puntos

Histograma: muestra el
comportamiento de los
valores agrupados en
clases
De dispersión

96
gEEM AS 282022
.=+=∆
gES 05.0=
ggEA 2780
5
2240
782 .
.
. ==
n0
1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
gM 400.14=
gM 282040014 .. ±=

97
Ejemplo (casi) completo III
3
3
4
rV π= rrr
r
V
V ∆=





∆
∂
∂
=∆ 2
2
4π
3
3,12,4 cmV ±=
r
r
V
V
E VR
∆
==
∆
= 33.0,

98
?0335,14377,3 3
cm
g
±=ρ
V
M
=ρ
22





∆
+




∆
=∆
V
V
M
M
ρρ

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