1. ГОРБАТОВА Ю.В.
ГОРБАТОВ В.В.
Классическая логика
предикатов

2. Содержание
Язык КЛП
Синтаксис КЛП
Семантика КЛП
Основные законы КЛП

3. Что такое логика предикатов?
КЛП – это теория, изучающая
логическую форму не только
сложных, но и простых
суждений
В КЛП значение простого
суждения есть функция от
значений входящих в него
имен
Б.Рассел (1872-
1970)

4. I. Язык КЛП
Нелогические символы:
a, b, c … – предметные константы
x, y, z … – предметные переменные
f, g, h ... – функторы
P, Q, R, S ... – (нелогические) предикаторы

5. I. Язык КЛП
Логические символы:
= – предикатор равенства
∀, ∃ – кванторы
¬, &, V, V, ⊃, ≡ – пропозициональные связки
( , ) – скобки

6. Кванторы
Логику предикатов вообще часто называют
«теорией квантификации»
Кванторы позволяют формализовать
количественную характеристику
высказываний
Квантор общности («все», «каждый») Квантор существования
(«существует», «некоторый»)
A Ell xist
A E

7. Определение правильно построенного терма
(1) Всякая предметная константа является ппт;
(2) Всякая предметная переменная является ппт;
(3) если t – ппт, а Ф – предметный функтор, то
Ф(t) также является ппт;
(4) ничто другое не является ппт.

8. Определение правильно построенной формулы
(1) Если t – терм, а П – предикатор, то П(t)
является ппф;
(2) Если А – ппф, а α – предметная переменная,
то ∀αА и ∃αА являются ппф;
(3) Если А и В – ппф, то ¬А, А&В, АVВ, АVВ,
А⊃В и А≡В являются ппф;
(4) ничто другое не является ппф.

9. Какие из этих выражений являются
правильно построенными формулами?
1. P(∀x ⊃ ¬f(x))
2. ∀¬x(P(x) & Q(y)) ∃y
3. ∀x∃y(Q(x) & P(y))
4. ∀∃x(Q(x) ⊃)
5. ∃x(P(x) ⊃ ∀y Q(x))

10. Пример формализации
Примем обозначения:
a – Ромео
b – Джульетта
f( ) – отец (кого-то)
P( ) – храбрец (кто-то)
R( , ) – любит (кто-то кого-то)

11. Пример формализации
Запишите на языке КЛП:
Ромео храбр и любит Джульетту
P(a) & R(a,b)
Отец Джульетты не любит Ромео
¬R(f(b),a)
Не все любят своего отца
¬∀xR(x,f(x))

12. Пример формализации
Некоторые храбрецы любят Джульетту
∃x (P(x) & R(x,b))
Джульетта любит только храбрецов
∀x (R(b,x) ⊃ P(x))
Ромео не любит всех тех, кого любит Джульетта
∀x (R(b,x) ⊃ ¬R(a,x))

13. КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
II.Основные синтаксические
понятия

14. Область
В формулах вида ∀αА и ∃αА
формула А называется
областью действия
квантора ( или )∃ ∀ по
переменной α.

15. Переменные
Вхождение предметной переменной в некоторую
формулу называется связанным, если оно следует
непосредственно за квантором или же находится в
области действия квантора по данной переменной. В
противном случае вхождение переменной называется
свободным.
Предметная переменная называется свободной в
некоторой формуле, если существует по крайней мере
одно ее свободное вхождение в эту формулу.
Переменная называется связанной в формуле, если
существует по крайней мере одно ее связанное
вхождение в эту формулу.

16. Термы
Местность терма есть число
входящих в него различных
предметных переменных.
Терм, не содержащий в своем
составе предметных переменных,
называется замкнутым.

17. Формулы
Местность формулы есть число
входящих в нее различных
свободных предметных переменных.
Формула, не содержащая свободных
переменных, называется
замкнутой. Замкнутые формулы
есть предложения.

18. ∀x(P(x,y)) yQ(y,z,x)⊃∃
∃x( yQ(y) R(x,y)) ( zQ(z) R(z,x))∀ ⊃ ∨ ∀ ∨
Определите, какие переменные
являются свободными и какие
связанными в формуле:

19. III. Семантика КЛП
Символы Значение
Предм. константы и
переменные
Отдельные предметы
Функторы Предметно-предметные
функции
Предикаты Предметно-истинностные
функции
Связки Истинностно-истинностные
функции

20. «Ромео», «Джульетта» и др.
a b
х

21. «Отец»
a b
c
d
Кто отец а? – d
Кто отец b? – c

22. «Храбрец»
a b
0
1
Храбрец ли b? – Нет
Храбрец ли a? – Да

23. «Любит»
1
a b
c
d
0
b любит c? – Да
а любит d? – Нет

24. III. Основные законы КЛП
Закон подчинения
∀αA ⊃ ∃αA
Закон непротиворечия
¬(∀αA & ∀α¬A)
Закон непустоты предметной области
∃αA ∨ ∃α¬A

25. III. Основные законы КЛП
Законы отрицания кванторов
¬∀αA ≡ ∃α¬A
Если не все вороны черные, то некоторые
вороны – не черные
¬∃αA ≡ ∀α¬A
Если не существует крылатых лошадей, то
все лошади являются бескрылыми

26. III. Основные законы КЛП
Законы перестановки кванторов
∀α∀βA ≡ ∀β∀αA
Если каждый знает всё, то всё известно
каждому
∃α∃βA ≡ ∃β∃αA
Если кто-то кому-то завидует, то кому-то
завидует кто-то

27. III. Основные законы КЛП
Законы перестановки кванторов
∃α∀βA ⊃ ∀β∃αA
Если кто-то любит всех, то каждого любит
кто-то
∀β∃αA ⊃ ∃α∀βA

28. III. Основные законы КЛП
Законы дистрибутивности кванторов
∀α(A&B) ≡ (∀αA & ∀αB)
∃α(A&B) ⊃ (∃αA & ∃αB)
(∀αA ∨ ∀αB) ⊃ ∀α(A∨B)
∃α(A∨B) ≡ (∃αA ∨ ∃αB)
∀α(A⊃B) ⊃ (∀αA ⊃ ∀αB)
(∃αA ⊃ ∃αB) ⊃ ∃α(A⊃B)