Raffo introducción a la estática y resistencia de materiales (11ª edición)
1.
2.
3.
4.
5.
6. CÉSAR M.
INGENIERO CIVIL, PROFESOR
RAFFO
717! �@o@o@.(fi)
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Telefax (054)(011) 4373-2942 y (054)(011) 4371-9309
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ARGENTINA
8. P ROLOGO
11
El presente libro se propone estudiar desde un punto de vista elemental
con finalidad aplicativa, el comportamiento de los cuerpos sólidos someti
dos a la acción de las fuerzas conocidas, en todo lo referente al equilibrio
mente distintas. Una, 'referente al equilibrio general de un cuerpo bajo la
estático o reposo, de los mismos. El problema comprende dos partes neta
acción de fuerzas solicitantes, es tema que corresponde a la Estática Gráfica,
según una denominaciún frecuentemente usada. La otra parte que introduce
las fuerzas desarrolladas en el interior del sólido y las inevitables deforma
ciones de éste, originadas a consecuencia de las fuerzas aplicadas, estudia el
equilibrio entre ambos sistemas de fuerzas, es la Resistencia de Materiales.
Su objeto es el análisis 'de las condiciones necesarias y suficientes a las cuales
debe satisfacer un conjunto de fuerzas actuantes sobre un sólido, supuesto
rígido, para mantenerlo inmóvil respecto de otro cuerpo, que generalmente
es el suelo. Como primer objeto de la Estática se presenta la elección de los
gido dos elementos "específicos", irreductibles uno al otro: fuerza y" cupla, ·
elementos básicos sobre los cuales aquélla gravita. En esta obra se han esco
asociándolos a sus respectivos efectos cinemáticos: traslación y rotación.
enunciadas en el Capitulo Il, que se desempeñan como postulados o princi
Introduciendo a continuación las cuatro operaciones invariantes elementale!J,
pios de la Estática; ésta podrá desarrollarse en un sistema deductivo, según
procedimientos puramente gráficos; o por vía analítica, si se proyectan fuer
zas y cuplas sobre ejes orientados.
Desde un principio separamos la Estática del punto material que 'implica
fuerzas copuntuales, de la Estática de cuerpos sólidos que origina fuerzas
no concun·entes. En la solución de este último problema (Cap. Ill) se ha
utilizado exclusivamente el polígono funicular o polígono de conexión, dese
chando otros polígonos tendientes al mismo fin: de las sucesivas resultantes
(caso particular de aquél); haz de conexión, etc., por ser el funicular fun
damento de múltiples problemas: determinación de momentos estáticos y de
inercia, construcción de elásticas y apreciación de flechas en las vigas rectas
a través de la carga ficticia, cálculo gráfico de integrales definidas, etc.
En razón de su carácter introductivo, nos limitamos a sistemas copla
nares de fuerzas, presentes en la ?nayoría de los elementos constructivos y
por la m·isma razón al estudiar el equilibrio de vigas, problema que ·prepara,
a la Resistencia de Materiales, utilizamos en su solució� (Cap. IX) el mé
todo elemental casi intuitivo y a menudo rápido y eficaz, fundado en el con
cepto de reacciones vinculares con p?·eferencia al basado en el principio de
los trabajos virtuales.
el Capítulo XII, exige, como es sabido, en prímer ténnino la sustitución del
El paso de la Estática a la Resistencia de Materiales que se inicia en
sólido ideal (rígido) propio de la Estática, por sólidos reales o sea defor
producidas en un determinado sólido, por acción de fuerzas conocidas. E71
mables; y en segundo término el conocimiento. de la variación de dimensiones
busca de la correlación entre fuerzas y deformaciones, la Resistencia
9. VIU PROLOGO
Materiales elemental, acude a ensayos dinámicos de laboratorio. El Capítulo
XIII, detalla el más simple de todos ellos: alargamiento experimentado por
un� barra solicitada a. la tracción y expone además, las importantes conse
cuencias implicadas en dicho ensayo, las cuales determinan postulados o
principios eaJperimentales de la Resistencia de Materiales. Como tales prin
cipios se han revelado insujicientes para elaborar una Resistencia de Ma
cipios suplementarios, destinados a simplificar los cálculos. Son éstos, el
teriales sin grandes dificultades analíticas, fue necesario agregar otros prin
principio de las pequeñas deformaciones y el de superposición de los efectos,
cuya legitimidad se comprueba al verificarse las consecuencias derivadas de
ellos.
El conjunto de todos los principios o hipótesis base de la Resistencia de
Materiales, e '.unciados en su forma más general, se encuentran en el Capí
tulo XIV. Los Capítulos XV y XIX " XXlli, estudian los distintos modos
de resistencias simples. En cada caso, un razonamiento matemático apoyado
en las hipótesis precedentes, unas experimentales, otras· simplificativas, con
ducen a fórmulas sencillas y aproximadas, pero suficientes para 'su aplica
ción a sólidos prismáticos y 'lases de materiales de frecuente utilización.
El Capítulo final expone, además de algunas propiedades complementarias ·
referentes al polígono funicular, el conjunto de problemas genéricamente
denominados de Zeuthen, y su aplicación al arco de tres articulaciones.
Destinada esta obra, en su finalidad didáctica, a los alumnos que inician
el estudio de la Estática y de la Resistencia de Materiales, se ha cuidado en
precisar las modalidades de utilización práctica de las fórmulas, señalando
los límites reales de su aplicación mediante numerosos ejemplos completa
mente desarrollados. La consideración de c1.soq particulares y el análisis
atento de la solución obtenida permite comphnder y asimilar los métodos ·
generales.
Agradezco a la Editorial A lsina, el esmero puesto en la publicación de
este libro.
CÉSAR MARTÍN RAFFO
Buenos Aires, agosto de 1961.
10. IN DICE
PÁG.
CAPÍTULO l.- E STRUCTURAS PLANAS . . . .. 1
CAPÍTULO
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . •
II. - OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA
ESTATICA
Representación gráfica de las fuerzas . . ...... . ..... .. .. . . . . . . . 4
Elementos fundamentales de la estática . .......... .. . ....... . .. 5
Sistemas de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . ... : . , . . . .... . . . . . . . . .. .
. 6
Transformación de sistemas de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Las cuatro operaciones elementales de la Estática . . . . . . . . . . . . . . . 7
Representación analítica de fuerzas . . . . . . . . . . .. .. ... ... .. .. . . . 11
CAPÍTULO
.
III. - COMPOSICION GRAFICA DE LAS FUERZAS
Composición de fuerzas concurrentes . . . . .... . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 14
Composición de fuerzas no concurrentes . . . . ... .. . ... . . . . . . . .. . . 15
CAPÍTULO IV.- CONDICIONES GRAFICAS D E EQU ILIBRIO
Equilibrio de un sistema de fuerzas . . . . . . .. . . . ... . . . . . . . . .. . . . 20
Interpretación cinemática de los polígonos vectorial y funicular . . 21
Momento estático de una fuerza . . . . . . . . . . . . : . .... .. . . .. .. .. .
Condiciones gráficas de equilibrio . . .. ...... . . .. .... . . . . . . ... . . 23
CAPÍTULO V. - MOMENTO DE FUERZAS . .CUPLAS
. . 26
Momento estático de un sistema de fuer;as . .. . . . .. . . . . .. . . . .... 27
Determinación gráfica del momento estático de fuerzas .. .. . . . . . . 28
Cuplas . . . . .. . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . .. . ... ...... .... . . . . .. . . ...
. 30
Operaciones cgn las- cuplaii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
. .. .. .
. . . ·. . 31
CAPÍTULO VI. - COMPOSICION ANALITICA D E FUERZAS
Composición de fuerzas concurrentes . . . . .. . .. . .. .... .... . . . .... 35
Composición de fuerzas no concurrentes . .. . . .. .. .... . . ... . . . .. . 36
CAPÍTULO
.
VII. - CONDICIONES ANALITICAS DE EQUILIBRIO
Fuerzas concurrentes . .. . . . . ... .. . . . . . . . .. . .. .... .. . ... .. ... . . 40
Fuerzas no concurrentes . .. . . . . . . . . .. . . .... . . .... ... . .. . . ... .. 41
CAPÍTULO VIII. - DESCOMPOSICION Y EQUILIBRIO DE
FUERZAS
Descomposición de una fuerza en otras dos . . ... . .. . ... .. .. . . . 45
Descomposición de un sistema de fuerzas en otras dos . . . .. . . . . . 47
Descomposición de una fuerza en otras tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza-cupla . . . .. . . . 51
CAPÍTULO IX. - REACCIONES VINCULARES
Vínculos . ... . . .. .. . . . . .. .. .. . . . ... . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . 53
Reaccioner vinculares . . . . . .. . ... . . . . . . . .. . . . . . .. . .. . ...... . . .
. 54
Determinacié>n de reacciores . . . .. . . . . . . .. ... ..... . . .. . . .. .....
. 55
14. r,APÍTULO I
ESTRUCTURAS PLANAS
1) formas lineales o piezas prismáticas o brevemente barras (viga,
Los elementos estructurales utilizados en la técnica constructiva
pueden agruparse en dos formas tipo :
columna ) , constituidas por sólidos de forma cilíndrica o prismática cu
yas dimensiones transversales son pequeñas en comparación con su lon
gitud.
2 ) •for'fnas superficiales (placas, bóvedas ) , pertenecen a éstas, los
s. ó lidos cuyo espesor es desprecia
ble con relación a sus restantes di
mensiones.
Sólo nos ocuparemos de piezas
prismáticas.
una figura plana S (fig. 1) con
Geométricamente u n a b a r r a
puede considerarse d e f i n i d a por
eje de .simetría yy, la cual se tras
lada a lo largo de una línea plana
AB, en posición siempre perpen
dicular a ésta y con su centro d e
gravedad G sobre AB.
1 .
La figura . plana se denomina
sección transversal o perfil de la
batra ; la línea AB (recta o cur-
Fig. 1
va) lugar de los centros de grave-
dad del perfil, eje de La barra o
nado por y, con AB, es el plano de simetría de .la pieza y en él se en
eje Longitudinal. El plano determi-
cuentran todas las fuerzas que gravitan sobre la pieza. Estas fuerzas
se llaman caroas.
Por consiguiente nada impide asimilar toda barra a una chapa
plana infinitamente delgada, materialización del plano de simetría de
la barra.
El perfil de la barra puede cambiar de forma o de tamaño de
modo continuo·· y ser lleno o con hu,ecos interiores. El radio de curva
versal de la barra medida en la dirección del eje de simetría y.
tura del eje AB debe s"er varias veces mayor que la dimensión trans
15. 2 RAFFO, C. M. - ESTAT. Y RESISTENCIA DE MA TERIALES
Toda línea paralela al eje longitudinal AB se llama fibra, siendo
el eje la fibra media. La representación gráfica de una barra se hará
trazando su eje.
La precedente definición de barra, debe corresponder, en Resisten
cia de Materiales, a la contextura material de la pieza. Si se trata de
materiales sean perpendiculares al perfil S.
metales laminados, la fibra media debe ser paralela al sentido del la
minado o al plano de clivaje. En la madera, es necesario que las fibras
En cuanto a las formas asignadas a los perfiles, la práctica co
rriente las limita a un número reducido de figuras planas que depen
den de la naturaleza del material utilizado : acero laminado, fundición,
madera, hormigón y aleaciones de aluminio.
Tratándm¡e de aceros laminados, razones estáticas y técnicas han
impuesto determinados perfiles fundamentales, que se conocen con la
denominación de perfiles normales (fig. 2 ) .
1!1
h
.Y .Y !/
b) e) ti)
Fig. 2
Ccnsta de alma y dos alas. Presenta dos ejes
de simetría x e y. Queda identificado por su altura h (medida en cen
a ) Perfil doble T.:-
tímetros) : es el número del perfil. La longitud del ala, espesor de éstas
y del alma, así como las diversas constantes mecánicas que lo definen,
figuran en tablas especiales. Para indicar un perfil normal doble T de
20 cm de altura se escribe PNT 20.
e) Perfil U.
b ) Perfil doble T de alas anchas. Differding, Grey, Peine. Tam
-
bién identificados por su altura.
- Tiene un solo eje xx de simetría. También en este
perfil el número corresponde a su altura h (en centímetros ) .
d ) Perfil ángulo o hierro ángulo. Formado por dos alas en án
-
gulo recto, cuyas longitudes a y b pueden ser iguales o distintas. Si son
desiguales, sus longitudes se presentan en la relación 1 : 1 1/2 y 1:2. La
notación usada para identificarlos consiste en escribir las dimensiones
en milímetros de ambas alas separadas por un punto y debajo de ellas
16. ESTRUCTURAS PLANAS 3
Reparada por una raya horizontal se escribe el espesor común de las
100 . 150
alas. Así :
12
e) Perfil de simple T. En el comercio se encuentran dos for
-
mas : T de ala ancha en la relación h/b = % y T de ala corta según
h' razón h/b = 111 (perfiles normales) . Se identifican por sus respec
on la fig. 3.
tivas medidas h y b, expresadas en milímetros, con la escritura h . b.
En hormigón armado los perfiles más frecuentes son los indicados
TI a) h) e)
L. d) e)
Fig. 3 r
Para piezas de madera los perfiles son el rectangular y el cuadrado.
Un conjunto resistente de barras enlazádas se denomin a estructura
lineal. Si todas las piezas que la forman tienen un plano de simetría
común y en él se encuentran las fuerzas incidentes en la estructura,
ésta se denomina estructura lineal plana.
Un conjunto de piezas no lineales orígina estructuras superfi
ciales.
En lo que sigue sólo se estudiarán estructuras planas. La Estática
de este tipo de estructuras se llama Estática de los sistemas planos,
que iniciamos en el capítulo siguiente.
17. CAPÍTULO li
OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTATICA
L 'Representación gráfica d e las -fuerzas. - Toda fuerza queda
determinada cuando se conozca (fig. 4) :
'
lt
a) su recta de acción o direct:J¡ iz: a.
EF=
!cm
tL
b) su magnitud o intensidad AB, que
e) su sentido, p u e s t o en evidencia
se aprecia en kilogramos (kg) o • tonela
das (t) .
por una flecha.
d) su punto de aplicación : A.
Para representar gráficamente una
fuerza es necesario utilizar una 'escala de
Fig. 4
fuerzas, abreviadamente expresada con la
P de la fuerza (kg ó t) y una longitud (cm) que sirve para represen
escritura : EF. Se entiend_e por escala de
fuerzas una rélación entre la intensidad
tarla en el papel. Así :
500 kg
EF =
1 cm
significa que cada centímetro del dibujo representa 500 kg. Conviene,
para facilitar los cálculos, poner en el denominador la unidad.
Supongamos que en la escala de fuerzas indicada, se quiera repre
sentar una fuerza de P = 1300 kg. Tendrá que ser:
500 kg 1300 kg
1 cm x cm
de donde
- 1300 kg . 1 cm
x cm · = = 2,6 cm :
500 kg
.
I nversamente -:r con la misma escala, para determinar la intensi
que es el segmento rept:e�nta.tivo de la fuerza dada.
dad P de f�erza c�rrespondiente a un segmento del dibujo igual a 2,5
·
cm, escribírl¡!mos :
' 500 kg p kg
=
1 cm 2,5 cm
18. OPERACIONES FUNDAMENT ALES DE LA ESTATICA 5
de donde :
500 kg 2,5 cm
p kg = = 1250 kg .
1 cm
2. Elementos fundamentales de la estática. Si una fuerza actúa
-
110bre un cuerpo rígido M, puede manifestar su acción mediante tres
efectos :
reposo y :!lO trabado en su movimiento.
a) un desplazamiento del cuerpo, siempre que éste se encuentre en
e) una deformación del cuerpo.
b) un cambio de velocidad, si M ya está en movimiento.
tica.
El primer efecto, que hace referencia a la propiedad cinemática de
toda fuerza de producir desplazamientos, es tema propio de la Está
Por último el e), que estable
El segundo, que implica vincular fuerzas y aceleraciones (variacio-.
nes de velocidad ) , pertenece a la Dinámica.
ce relaciones entre fuerzas y de
formaciones, es estudiado por la
Sea una chapa plana e infi
Resistencia de materiales.
nitamente delgada materializando
así cualquier superficie plana (fig.
5a) . Supongamos que está someti-
da a la acción de una fuerza P de
a)
su plano, aplicada en A. Si la cha- Fig. 5
pa no se encuentra impedida en su
movim�.:nto, la fuerza P origina una traslación de la chapa en el sen
tido y dirección de la fuerza actuante.
Por tanto el efecto cinemático de una fuerza es produci1· una tra s
lación.
En cambio si la chapa está empernada en O (fig. 5b) y sometida
a la acción conj'unta de dos fuerzas de igual intensidad P, opuestas y
actuando en dos rectas de acción paralelas, b, e, la chapa e gira en
torno de su único punto fijo O, en el sentido de la flecha curvilínea.
o par de fuerzas. Por tanto el efecto cinemático de una cupla es pro
El conjun,' de dos fuerzas como las indicadas, se denomina cupla
·ducir una rotación.
La rotación se mide por el momento del par que es el producto d(
la intensidad común P, por la distancia a entre las líneas de acción b,
e; distancia denominada brazo de palanca de la cupla. Este producto
está afectado del signo más o del menos, según que la rotación se rea
lice en el sentido del movimiento de las agujas del reloj o en sentido
contrario.
Su unidad de medida en las aplicaciones técnicas es el kilográme
. tro (kgm) o tonelámetro (tm) .
La Estática se propone contrarrestar los efectos cinemáticos : tras
lación y rotación, que las fuerzas y cuplas originan con el propósito de
alcanzar un estado de reposo o sea de equilibrio estático.
19. 6 RAFFO, C. M. - ESTA1'. Y Jü)>:>1.:3,'ENC!tl DE MA TERIALES
Como todos los desplazamientos planos sie.mpre se reducen a tras
laciones o rotaciones, la Estática se construye partiendo de fuerz(J;S y
de .;uplas. Éstos son los únicos elementos que necesita, como conceptos
de base ; son, además, irreductibles en el sentido que no pueden llevarse
a otros más simples .
3. Sistemas de fuer;¡;as. - Aparte la escala de fuerzas, en la Es
tática se necesita una escala de dibujo o escala lineal, para representar
el esquema acotado de la estructura, que fija las posiciones relativas /de
las fuerzas actuantes, entre sí y con aquélla. Lo denominaremos esquema
posicional o plano de posición.
Una escala lineal, abreviadamente EL, expresa la relación entre las
magnitudes lineales reales de una estructura (generalmente medidas en
metros) y la· longitud que la representa en el dibujo (cm) . Así :
2 m
EL =
1 cm
significa que 1 cm del dibujo representa 2 m de la magnitud real. Tam
bi'�n en el caso de la escala lineal, conviene eolocar en el denominador
la unidad de longitud (centímetro ) .
éL=�
P,
!cm
r
k
a
l EL=
!cm
tr.m
Fig. 6 Fig. 7
La_ fig. 6 es el esquema posicional según escala. correspondiente a
un soporte sometido a un sistema de fuerzas concurrentes, en O, y co
armadura mansarda ABC, sobre la cual inciden las fuerzas P11 P5,
Análogamente, el esquema posicional de la figo 7, representa una
planareso
o o o'
que forman un sistema de fuerzas no concurrentes, coplanareso
20. OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTATICA 7
solicitada por fuerzas verticales Pl> P2, P3 que forman un sistema de
Por último en la fig. 8 se tiene el esquema posicional de una viga
fuer :as paralelas.
4. Transformación de sistemas de fuerzas. Transformar un
-
sistema de fuerzas quiere decir sustituirlo por otro sistema que pro
duzca el mismo efecto cinemática que e) primero. Se dice entonces que
los dos sistemas son estáticamente equivalentes.
Generalmente la transformación de un sistema de fuerzas se pro
pone encontrar un sistema más sencillo que el primitivo ; en otros casos
se trata de obtener sistemas equivalentes que cumplan condiciones par
ticulares prefijadas.
5. Las cuatro operaciones fundamentales de la Estática. La ex -
periencia asegura que las cuatro operaciones siguientes permiten pasar
de un sistema de fuerzas, a otro, estáticamente equivalente.
lf!. operación: Traslación de una fuerza.
No se altera el esi uerzo cinemático producido por una fuerza
a,plicada en un punto de un sólido rígido, trasladando su punto
de aplicación a otTo punto cualquiera de su Tecta de acción.
Por ejemplo, en una barra (fig. 9 ) supuesta rígida, y sometida a
la acción dt la fuerza P aplicada en A, es indiferente suponerla apli
cada en A1, siempre que este punto pertenezca a la línea de acción de P.
w�R.
B
P,
..::::..
A
1
A
l
t a, az aJ a, p
1
EL=�
tcm
1 A
p
Fi�. 8 Fig . 9
La operación deja de ser válida, al suponer que la barra es defor
mable por la presencia de la f1:1.erza P; pues si ésta actúa en A la barra
rimenta deformación, el trozo de barra comprendido entre A 1 y B.
se deforma en toda su longitud, mientras que aplicada en A1 sólo expe
En la Estática de los cuerpos rígidos, que estamós considerando,
pudiendo prescindirse de él y por tanto las fuerzas quedan identificadas
será pues indif�::rente la posición del punto de aplicación de cada fuerza
conociendo tres parámetros :
3
1 Recta de acción.
-
2- Sentido.
- Intensidad.
21. 8 RAFFO, C. M. - E's TAT. Y RESISTENCIA DE MA TERIALES
2f! operación: Sustitución de dos fuerzas por una.
No se altera el efecto cinetnático de dos fuerzas concurrentes
al sustituirlas por una sola, según la diagonal del pamlelograma
construído con ellas.
Esta operación se conoce también con el nombre de principio del
paralelogramo.
Sean las fuerzas P 1 y P2 actuando en las líneas de acción 1 y 2
mos aplicar las dos fuerzas al punto A, intersección de 1 y 2.
sobre la chapa C (fig. lOa) . En virtud de la primera operación, pode
e) b)
d)
-e· �-�- e
-
e
•
o
2 A
/
'
.,.,
'/
Fig. 10
Elegido un punto O (fig. lOb) del plano de dibuJ'o, se traza a par
tir del origen O un vector representativo de la fuerza P 1 según la escala
de fuerzas adoptada ; y también por O otro vector que rep resenta la
fuerza P2• Completado el paralelograma como indica la figura, el vec
tor representado por la diagonal OC, en el sentido de l a flecha, apre
ciada su magnitud según la escala de fuerzas, representa la fuerza única
R que sustituye a las dos fuerzas Ph P2• La línea de acción de R es
la paralela a OC pasante por el f:Jnto A del esquema posicional (fig.
lOa) .
·
Como ya se ha dicho, la experiencia comprueba que los sistemas de
fuerias a) y e) de fig. 10 son estt.iticamente equivalentes. La fig. lOb
se denomina paralelogramo de las fuerzas.
1En la práctica la construcción de paralelogramo se limita al trazado
de uno solo de los dos triángulos que aparecen en la fig. lOb. Así re
sulta el diagrama de fig. lOd, denominado polígono vectorial de las
fuerzas P1 y P2, o brevemente vectorial.
El punto O es el origen del vectorial; C su extremo ; la fuerza R
se denomina resultante de las fuerzas P1, P2; éstas son las componentes
de ·R según las direcciones 1 y· 2.
El vectorial de la fig. lOd se denomina vectoria! abierto porque los
sentidos de las componentes . se dirigen al extremo C del vector de la
resultante R.
La operación descripta se denomina composición de fuerzas o deter
minación 4e la reBultante y es aplicable a toda clase de cuerpos : sólidos
·
rigidos o deformables, líquidos y gases.
22. Oi'E'RACIONES f'UNDAMEN1'ALES DE LA E$TA TICA 9
En resumen : el vectorial trazado, según la escala de fuerzas, a
tir de cualquier punto O del plano, sirve para obtener : la dirección
par
1" res ulta nte R, su intensid ad (segmento OC) y su sentido que se dirige
s de
clt•l origen O hacia el extremo C. Para ubicar la resultante R en su ver
clllll ra posición es necesario acudir al esquema posicional, trazañdo por
una paralela a OC que fija la recta de acción de R, siendo su sentido
cl,del vector OC.
La operación inversa de la composición se denomina descomposi
rión de fum·zas o determinación de componentes y su enunciado es el
Kiguiente : una fuerza es estáticamente equivalente a otras dos fuerzas
Sean : P la fuerza; 1 y 2 las direcciones fijadas a las dos fuerzas
11cgún direcciones previamente fijadas.
(jf;
Tcííl
EL=am éF =
státicamente equivalentes de l a P (fig. lla) . Trazado por O (fig. llb)
a) b) e)
!cm
1
o
(j)P-
�
p P,
el vector· OB representativo dé lli. fuerza P, según escala de fuerzas, ·
F ig. 11
digamos a la 1, y por el origen O una paralela a la otra ·dirección 2,
por el extremo B la recta BC paralela a una de las direcciones fijadas,
se obtien(. el triángulo OBC. Orientando los segmentos OC y CB como
·Los vectores P1 y P2 señalan el sentido y la mag�itud, ésta apre
·
indica la fig. llb, resulta un poiígono vectorial abierto análogo al de
la fig. lOd.
'V.alentes a la P, que estarán aplicadas en un punto A de la recta de .
ciada en la correspondiente escala de fuerzas, de las dos fuerzas equi
acción de P. Los sistemas e) de fig. 11 son pues estáticamente equiva
lentes.
En consecuencia :
No se altera el efecto cinemática de una fuerza al sustitu·irlo
por dos fuerzas de direcciones arbitrarias, pero concurrentes
co,r. la lí11Jea de acción de aquélla.
9f!.
P1 y P8 son iguales y opuestas, la 21!- operación de la Estática asegura
operación : Introducción o supresión de bifuerzas.
Supuesto que en el sistema de fuerzas de la fig. 12, las fuerzas
que su resultante es nula ; luego podrán suprimirse. Los sistemas a) y
b) de fig. 12 son pues estáticamente equivalentes.
23. 10 RAFFO, C. M. - ESTA T. Y RESISTENCIA DE MA TERIALES
Inv-ersamen te, si en
el sistema de fig. 12b :¡e
iguales y opuestas ac
introducen d o s fuerzas
tqando en una misma rec
=
ta de acción , el nuevo
sistema sigue s i e n d o
equivalente ,al primero.
Se den Ómina bifuer
za al con j u nto de dos
dad y sentidos opuestos
fuerzas de igual intensi
Fig. 12
actuando en una misma
recta de acción.
En consecuencia :
No se altem el efecto cinemática de las fuerzas existentes en
un sólido rígido, introduciendo o suprimiendo bifuerzas.
Se constata experimentalmente que esta operación sólo puede. apli
carse a los cuerpos rígidos. Pierde su validez en los cuerpos deforma
bies, por ejemplo en un elástico, en la goma, etc.
4t:L operación: Desplazamiento paralelo de una fuerza.
Sea una fuerza P actuando en cualquier dirección, por ejemplo se
gún la ver t i c a l por A (fig.
13a) . Si su recta de acción se
'
d e s p l a z a paralelamente a sí
cuerpo e, el sistema obtenido
misma hasta el punto B del
( fig. 13b) no es equivalente
al a) . Pero procedamos en la
siguiente, forma; manteniendo
la fuerza P en su posición da d)
cp= =Gf
da, apliquemos en el punto B
una bifuerza (fig. 13c), el sis
tema resultante, por la 3� ope
p p
ración, es equivalente al a) o
El nuevo sistema de fuer
zas (fig. 13c) está constituído
gida hacia abajo y por una
por una fuerza P, en B, diri
cupla (fuerzas P en A y P en
Fig. 13
B , ésta hacia arriba) de momento M=- Pa (fig. 13d) que es equi
valente al a ) .
Por consiguiente :
No se altera el efecto cinemática de una fuerza P, desplazán
dola paralelamente a su línea de acción, a la distancia a, siem
pre que se agregue uM cupla de momento Pa.
La inversa de esta operación se estudiará en página 32.
_
24. O PERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTA TICA 11
quivalente, vale. decir· de igual efecto cinemática qÚe el primero. -El
Las cuatro operaciones establecidas permiten pasar, por aplicacio
nes sucesivas, de un sistéma de fuerzas a otro sistema estáticamente
problema primordial de la Estática consiste en la aplicación metódica
de aquellas operaciones elementales, hasta obtener un sistema de fuer
!J
zas, conforme a los propósitos que se tengan en vista.
6. Representación ana
es referir la fuerza P a un
Utica de f u euas. - El
procedimiento más sencillo
P. �����===��� 1
----- p
par de ejes ortogonales xOy
za P, supuesta aplicada en
lb
(fig. 14) .
.¡ 1
1
1
Analíticamente la fuer
tensidad P y el áng u l o a
1 1
1 1
l ,q.
1 1
l fr --�--���--
1
O, se determina por su in
1 1
1
que forma la dirección posi 1
��_.�� _._x
a
tiva del .eje x con la fuer
za. Proyectada é s t a sobre
P:
los e j e s, resultan las dos
-+- P., = P cos a ± Pu = P sen a ;
componentes ortogonales de Fig. 14
cuyo signo depende del ángulo a.
Inversamente : conocida las dos componentes ortogonales Pz y P11,
Si l a fuerza está aplicada e n A , será necesario fijar las coorde
nadas a, b de este punto.
P + Pl.
de una fuerza P, ésta queda' determinada en ppsición, sentido y mag
nitud por las igualdades :
tg a =
PJI = yP/
-+-
Pz
De todo . lo anterior se deduce que las operaciones a 'realizar con las
fuerzas, podrán efectuarse gráficamente mediante escalas adecuad1¡1s de
fuerzas o analíticamente con ·ayuda de un par de ejes coordenados, ·ele
gido según convenga. Se aplicará uno u otro procedimiento a voluntad;
en muchos casos ambos métodos para controlar los resultados.
El procedimiento gráfico consiste en la construcción de un polígonoyec
EJEMPLO l. - Determinar la resultante de las fuerzas :', y P, ( fig. 15) ,
gráfica y analíticamente.
fuerzas, fija la intensidad de R que resulta R = 3,2 t.
torial (fig. 15b ) . El vector de origen O extremo C, apreciado en la �a d�
j<Í
Su recta de acción es la paralela por A a la directriz OC el vectorial
y su sentido el ya indicado.
fuerzas P, ; P, (fig. 15c) a un par de ejes ortogonales ¡t;, y cuyo origen con
Para resolver analíticamente el problema, refiramos el vectorial de las
venimos en hacerlo coincidir con el origen del. vectoriaL
25. RAFFO, C. M. - ESTA T. Y RESiSTENCIA DE MA TERIALES
.!/
12
e
a) b) e)
o
!cm
P,= J,5 t
EF=_!i_
lj
Fig. 15
Proyectemos éste sobre los ejes x e y :
{ - P1 cos a, ..,.. P. cos a, = Pa
- P1 sen a, + P. sen "" = P,
S ustituyendo valores :
{ - 3,5 cos 30o + 5 cos 70o = P.
- 3,5 sen 300 + 5 sen 700 = P,
Resultando :
{ P�
P,
=
=
- 1320 kg
+ 2945 kg
J[}[}kg
como componentes ortogonales de la resultante R.
/cm
EF=
!1
P= IJOO.'rg /
/
X
/
a) b)
Fig. 16
26. OPERACIONES FUNDA MENTALES DE LA ESTA TICA 13
1!: 1 ángulo a . vale :
tg a =
2945 -
- 2,23
1320
Lu magnitud de R es :
R = y 13202 + 29452 = 3227 kg
ortogonales según la ·s direcciones x, y (fig. 16a ) .
E:.JEMPLO 2. - Dada la fuerza P = 1,5 t determinar sus dos comtJOnen
'K
Analíticamente, se proyecta la fuerza P (fig. 16c) sobre un par de ejes
/
La solución gráfica está dada en la fig. 16b.
Jlll rnlelos a las direcciÓnes ortogonales x e y,' resultando :
P. 1500 cos 40o == 11 49 kg ,
P. = 1 500 sen 4QO == ......, 964 kg
27. CAPiTULO III
COMPOSICióN GRAFICA DE FUERZAS
Los dos problemas fundamentales de la Estática son los .siguientes :
1 ) Composición o reducción de fuerzas (Determinación de · resul
tantes) .
2 ) Descomposición de fu&rzas (Determinación de componentes ) .
'
El procedimiento para resolver los problemas enunciados, consiste
en aplicar las operaciones elementales estudiadas en el capítulo an
terior.
qÚema posicional de un sistema de fuerzas concurrentes en M, que va
. 7. Composición de fuerzas concurrentes. - La fig. 17a es el es
mos a componer.
EF=!!:.!!!:._
!cm
a)
Fig. 17
Ordenadas previamente las fuerzas, por ejemplo, a partir de la di
rección vertical descendente, se numeran sucesivamente en el sentido
de la flecha curvilínea : P1 ; P2 ; P3 ; -P4 (este ordenamiento puede ser
cualquiera ) .
Elegida una escala de fuerzas;_ se dibuja el vectorial de las fuerzas
dadas : a partir de un origen O, cualquiera (fig. 17c) , un vector OA
representativo. de la fuerza P1-; por el extremo A de P1 un vector AB
representativo de la P 2 ; por el extremo B de P2 un vector BC repre
sentativo de la P3; y por C un vector Cl) representativo de la P4 •
28. COMPOSICION GR-:AFICA DE LAS FUERZAS 16
la escala de �uerzas, la intensidad de la resultante R; la recta OD su di
El punto final D se llama extremo del vectorial. Uniendo su origen
O con su é�remo D, el segmento dirigido de O hacia D determina, .según
rección y la flecha (hacia D) su sentido. En cuanto a su línea de ac
ción debe pasar por M y ser paralela a la recta OD.
La construcción efectuada se explica en la fig. 17b : R1 es l a re
aultante parcial de las fuerzas P1 y P2, obtenida según la segunda ope
ración elemental de la Estática. Luego el sistema dado de fuerzas (fig.
18a) resulta estáticamente equivalente al de fig_ 18b.
A su vez la fuerza R2 (fig. 17b) es resultante de R1 (que susti
tuye a las P1 y P2) y la fuerza P3 • J;_,uego reemplaza a R1 y P3 ; y e l
sistema de fig. 1 8 b es equivalente estáticamente a l de fig. 18c.
a)
Fig. 18
zas R2 y P4 pueden sustituirse por la resultante R, con lo cual el sis
Por último, siempre según la segunda operación elemental, las fuer
tema inicial (fig. 18a) es equivalente al de fi,g. 18d.
En la práctica no se dibujan las resulta ntes parciales, bastando
-
trazar el vectorial de fig. 17c.
componentes se alcanza el punto D, extremo del vectorial, no siendo
Las fuerzas P 1,• , P4 son las componentes de la fuerza R. Reco
• •
rriendo el .vectorial a partir de su origen, siguiendo el sentido de sus
posible proseguir hacia el origen O porque el sentido de la fuerza R lo
impide : es pues un vectorial abierto.
De acuerdo con ello podrá decirse :
Si un sistema de fuerzas concurrentes origina un vectorial
/
abierto, el sistema admite resultante ;
o sea existe una traslación del cuerpo según la dirección y el sentido
de aquella resultante.
8. Composición de fuerzas no concurrentes. Sea el sistema de
-
fuerzas no concurrentes P1P2P8 (fig. 19a) . Construido (fig. 19b) el
vectorial OABC de las fuerzas dadas y descompuesta la fuerza P1 en
29. 16 RAFFO, C. M. - ESTA T. Y RESISTENCIA DE M�ERIALES
dos direcciones arbitrarias 001 y 01A (fig. 19b) se obtienen las com
ponentes F1 y F2 cuyas magnitudes �e miden en la escala de fuerzas.
Tracemos por un punto A cualquiera, del plano de posición de las
fuerzas dadas, la paralela 1 a la dirección 001 que numeramos 1 ; por
A1, en la fig. 19a, la paralela A1A2 a la dirección AO�o que numera
mos 2 ; prolongándola hasta el punto A2 de intersección con la línea de
acción de la fuerza P2 (fig. 19a) . _
La fuerza P1 puede reemplazarse por las F1 y F2 ; y el sistema
dado, que nuevam�nte lo dibujamos en fig. 20a, ha quedado reducido
al de la fig. 20b, que es equivalente estáticamente, al primero.
o
a)
1
'
1
EF= ac k
g
1
1
/ !cm.
1
.
l
P, IJ,/
1
e
Fig. 19
Procedamos en igual forma con la fuerza P2 : la descomponemos
( fig. 19b) en las direcciones II y III, obteniendo dos componentes F'2
Y fi'3 según el sentido indic ad o en la misma figura. Volviendo al esque
ma posici onal ( fig. 19a) se traza por A2 la paralela 3 a la III de fig.
19b, hasta interceptar en A3 la siguiente fuerza P3 del sistema dado.
Las fuerzas F'2 y F'3, que sustituyen a la P2, transforman nueva
mente el sistema de fig. 20b en otro equivalente, según fig. 20c.
Por último la fuerza P3 (fig. 19b) también puede descomponerse
en las fuerzas F'3 y F4 • Trazando en consecuencia, por A3 del 'Plano
la fuerza P3 .por las F'3 y F4, resultando el sistema de fig. 20d equi- ·
posicional ( fig. 19a) la paralela 4 a la IV de fig. 19b, podrá sustituirse
valente al de fig. 20c.
·Observando en la fig. 20d que las fuerzas F2 y F'2 constituyen una
bifuerza, puesto que su intensi dad común es la del segmento A 0 1 (fig.
19b) medido en la escala de fuerzas, y como también forman bifuerza
las F3 y F'3 por igual razón, el sistema de fuerzas de la fig. 20d es
F4, que a su vez se compone en la fuerza única R (fig. 19b) pasante
equivalente al de la fig. 20e, constituído pqr dos únicas fuerzas F 1 y
por A (fig. 20/) . R es la resultante del sist�ma dado de fuerzas .
30. COMPOSICION GRA FICA DE LAS FUERZAS 17
a) e)
=
1
A
;:4.J
1
1
1
H
' 1
e) Av
Fig. 20
En el conjunto de operaciones efectuadas para determinar R, se
presentan tres polígonos :
1) polígono vectorial : es el OABCO ;
1 V (fig. 19b) . 01 es el polo, elegido libremente. Los radios polares se
2) polígono polar : es el constituído por los radios polares I, II, III,
1 origen O del vectorial y siguiendo el ordÉ m de presentación de las
numeran sucesivamente a partir del radio polar que une el polo 01 con
fuerzas del vectorial, que es arbitrario corno se dijo ;
1 , 2, 3, 4 a los respectivos radios polares : I, I I, III y IV ; se llaman
3) polígono funicular : es el formado (fig. 19a) por . las paralelas·
lados del funicular : 1 es su primer lado ; 4 es el último lado.
La determinación de la resultante R de uil sistema de fuerzas no
concurrentes, en la práctica, se simplifica procediendo en la forma si
¡cuiente :
Una vez trazado el vectorial de todas las fuetzas dadas, se elige
u n polo 01 del plano, que se une a las vértices O, A, B, C del vectorial.
Hesultan los radios polares I, II, II, IV. Por cualquier punto A del es
'luerna posicional (fig. 19a) se trazan las respectivas paralelas 1, 2, 3,
4 a dichos radios polares, limitándolas en los puntos de intersección
ol primero y último lado del funicular . 1, 2, 3, 4 hasta su intersección
A 1 , A2, A3 de las líneas de acción de las fuerzas dadas. Prolongando
n L, por este punto pasa la resultante de las fuerzas P¡, P2, P3 cuya
linea de acción es paralela a OC del vectorial ; su sentido es el que se
dirige de O �tícia C (extremo del' v-eoWt.iá l) y su magnitud es la longi
tud de OC apreciada en la escala de fuerzas.
Se demuestra (ver parág. 123) que esta construcción es indepen
�:�ideren las fuerzas P¡, P2, P3 .
diente de la elección de los puntos O , 01, A y del orden en que se con
31. rs-- RAFFO, C. 7 ,i. - ESTA T. Y RESISTENCIA DE MA TERIALES
EJEMPLO 3. - Determinar la resultante de las fuerzas indicadas en la
fig. 21.
El sistema de fuerzas P1, P., P., P. está referido a un sistema de coor
denadas a:Oy según escala natural.
/l
EF=_]J_
!cm
!cm
EL=
lem
Fig. 21
El vectorial de origen O, determina el polígono polar, polo 01 de lados
las fuerzas, dibujan el funicular de vértices ABCD. La intersección de los
1, 2, 3, 4, 5. Las paralelas a éstos, trazadas en el esquema de posición de
lados extremos· 1 y 5 de éste, señala el punto E, por donde habrá que trazar
la paralela a la resultante OK del vectorial, quedando así ubicada la línea
de acción y sentido de la resultante R, cuya intensidad se mide en el vecto
rial, apreciando el segmento OK en la escala de fuerzas.
EJEMPLO 4. - Determinar la resultante de las cinco fuerzas señaladas
en íig. 22 y de los sistemas paraiales (P.P.P.) ; (P.P.P. ) ; (P.P.P.) .
01 y el funicular de lados 1, 2, 3, 4, 5, 6, los exi.remos 1 y 6 de éste ubican
Construí dos los polígonos de origen O y extremó E ; el polar con polo en
el punto A por donde pasa la resultante del sistema, cuya intensidad y sen
tido están dadas en el vectorial, por el segmento OE a.preciado en la escala
de fuerzas.
32. o
COMPOSICION GRAFICA DE LAS FUERZAS 19
1 '
1
fi- SJ
1
1 1
1
1
'
'
1 1
- 1m
IJ
1 1
EL
1
' �
, R¡5, 9t !cm
4- fVt
EF'=..J.l_
1cm
Rr fl,.Jl
extremos 1 y 4 determina .en el funicular el punto B, punto de paso de la
Fig. 22
El grupo parcial de fuerzas : P,P.P,, limitado por los radios polares f
resultante R1 señalada en el vectorial.
·
& del funicular correspondiente, se interceptan en C, por donde se traza la
De igual modo para el sistema parcial P,, Pa, P, ; los lados extremos 3 y
paralela a la resultante R, señalada en el vectorial.
Análogamente para el sistema P, P,, P.: el punto D indica la posición·
de un punto de la resultante R, paralela al vector R, del vectorial.
Obsérvese que los sistemas parciales de fuerzas están siempre formados
por fuerzas consecutivas.
33. CAPÍTULO IV
CONDICIONES GRAFICAS DE EQUILIBRIO
Hemos visto en parág. 3 que el efecto cinemática de las fuerzas se
manifiesta por una traslación o por una rotación, y que es propósito de
la Es�ática contrarrestar aquellos desplazamientos para obtener el equi
librio· estático del sistema.
Este último problema se denomina : Equilibrio de un sistema de
fuerzas.
9. Equilibrio de un . sistema de fuerzas. - Consideremos un
sistema cualquiera de fuerzas, por ejemplo el de la fig. 23a, concurrente
en A y su correspondiente vectorial, fig. 23b. La resultante R sustituye
a las fuerzas dadas señalando el sentido de la traslación que impulsa
a la chapa c.
A
Fig. 23
Si la fuerza R se sustituye por otra E de igual intensidad y línea
de acción pero de sentido opuesto, quedará anulado el efecto cinemática
de R puesto que ambas forman una bifuerza. El sistema de fuerzas
P1, P2, P3, E carece de resultante y el sólido al cual se aplica se man
tendrá en reposo de traslación, esto es en equilibrio de traslación.
.
La fuerza E se denomina equilíbrante del sistema P 1, P2 , P3 . Tra
zado el vectorial de P1P2P3E ( fig.. 23c) se observa que puede ser reco-
S
l'rido partiendo de O (o de cualquier otro vértice) siguiendo el sentido
de sus flechas hasta volver al vértice de partida : es un vectorial cen·ado.
34. 21
.
CONDICIONES GRAFICAS DE EQ UILIBRIO
ICn cambio el vectorial de fig. 23b, correspondiente al sistema P�o P2,
1'1, R es abierto.
Nótese que en un · vectorial cerrado cualquier fuerza que lo form4
la• demás fuerzas.
., e quilibrante de las restantes, pues ella cierra el vectorial de todas
Interpretación cinemática de les polígonos vectorial funi
·
1 0. y
cu lar.- Vamos a demostrar que la traslación, o la rotaCión, o el
r poso de un sólido sometido a fuerzas conocidas, puede interpretarse
rráficamente mediante los polígonos vectorial y funicular.
Funicular obier/ó
'Pt Vect
orial oóierto
Fig. 24
e
a) Sea un sistema de fuerzas no concurrentes (fig. 24) P1, P2, !'3
y sus correspondientes polígonos vectorial, polar y funicular. La pre
sencia de una resultante R indica que la chapa C está sometida a una
traslación. El vectorial se presenta abierto y el funicular ofrece la ca
racterística que su prjmer y último lados son concurrentes en A. Un
·
.
funicular en tales condiciones lo llamaremos funicular abierto.
En consecuencia podrá decirse :
correspondientes polígonos vectorial y funicular son abiertos.
Si un sistema de fuerzas admite resuUante ( traslación) sus
la existencia de un vectorial abierto.
Tratándose de un conjunto de fuerzas concurrentes, es suficiente
35. 22 RAFFO, C. M. • ESTAT. Y RESIS1'ENCIA DE MA TERIALES
Si los polígonos vectorial y funicular son abiertos, el sistema de
La conclusión enunciada puede expresarse a la inversa.
fuerzas correspondientes tiene resultante (traslación) . ,
b ) Sea. u n sistema d e fuerzas no concurrentes P11 P2, P8, P4 (fig.
_
25) . Su vectorial, suponemos, puede ser recorrido a partir del .origen O
( o de cualquier otro vértice A, B, C) siguiendo el sentido indicado por
sus flechas hasta volver al punto de partida : es un vectorial cerrado;
/unlcul rk l.lr
/qt/ÍJs t'J'II't'/7111$
¡PI.ll"td.s
do
Fig. 25
VaJe decir, según el parág. 9, cualquier fuerza de sistema es equilibrante
de los demás.
En consecuencia el sistema dado de fuerzas no admite resultante
(ausencia de traslación ) .
y el último radios polares que lo forman : 1 y 5 de la figura. En cambio
E l polígono polar se caracteriza por tener superpuestos el primero
el polígono funicular se presenta con sus lados extremos, 1 y 5, parale
los. Denominaremos 'u n funicular en estas condiciones funicular cerrado
(en un punto impropio o sea en el infinito) o también funicular de
lados �xtremos paralelos.
F1 en el lado 1 y F 1 en el lado extremo 5 (según se dijo- en parág. 8 )
Como cada uno de estos lados extremos es sostén de una fuerza :
y estas fuerzas son iguales y opuestas, pues ambas están medidas por
el segmento OP del polar, el sistema es equivalente a una cupla (ro-
·
tación ) .
Por consiguiente :
Si un sistema de fuerzas se reduce a '!<;�u. cupla (rotación) el
.correspondiente polígo'YI>O vectOrial es cerrado y el funicular
tiene s.us lados extremos paralelos.
extremos paralelos y el vectorial cerrado, el sistema de f�erÚ1s corres
La inversa siempre se verifica ; es decir : si el funicular es de lados
pondiente se reduce a una cupla (rotación) .
36. CONDICIONES GRAFICAS DE EQ UILIBRIO 23
l
e) Por últ " o, consideremos el sistema de la fig. 26, cuyo vecto
l"t'Gdo.
rial, suponemos ea el OABCO, resulta cerrado. Construido el funicular
IUperpuestos. ún funicular en estas condiciones se · dice funicular ce
rreapondiente e observa que el primer lado 1 y el último 5, están
�
�
"1'
§- F cular cerrutiJ
uni
�
t.;¡
�
�
�
�
'--
�
V clllrio/ cerrod
e o
�'ig. 26
Por tanto el lado 1-5 del funicular es sostén de dos fuerzas F1 y
F5 iguales y opuestas, según indica el segmento 001 del polar; y la
f uerza.
eupla que aparecía en fig 25 se reduce, en el caso actual, a una bi
.
El sistema dado de fuerzas, no admite pues resultante ( no hay tras
Si un sistema de fuerzas carece de resultante y de cupla (re
lación) ni cupla (no hay rotación) : está en equilibrio, o sea f;'ln reposo.
En conclusión :
De lo dicho en a) , b f y e) se deduce que un polígono vectorial tra
poso) los correspondientes polígonos vectorial y funicular son
ambos cerrados.
duce gráficamente la existencia de traslación debidó a la presencia de
una resultante; en cambio el polígono funicular señala, con la prese ncia
de una cupla, un movimiento de rotación.
11. Condiciones gráficas de equilibrio. - Interesa conocer las
condiciones a cumplir por un sistema de fuerzas conocido, para que el
sólido sometido a ellas permanezca en reposo. Se denominan condiciones
torial y funicular. Son éstas :
gráficas de equilibrio por cuanto hacen referencia a los polígonos vec
Fuerzas concurrentes. - Una sola condición es suficiente.
, "
Un sistema concurrente de fuerzas está en equilibrio cuando
su vectorial es cerrado.
37. 24 RAFFO, C. M. - ESTA T. Y RESISTENCIA DE MATERIALES
Fuerzas no concurrentes. - Dos condiciones son necesarias.
do sus polígonos vectorial y funic?flar son ambos cerrados.
Un sistema de fuerzas no concurrentes está en equilibrio cuan
EJEMPLO 5. - Averiguar si la chapa ABCD de la. fig. 27 está en equi
librio al ser solicitada por las .fuerzas P, ; P, ; P.; P. y P• .
�
�
� t�--�-��w--����----r-- �---�
8
lc
m.
E =.
F 50kg
EL= 5mm
lcm,
Fig. 27
Se trata de un sistema plano de fuerzas no concurrentes. Para su equi
librio es preciso que se cumplan dos condiciones gráficas : vectorial y funi-
.
cular cerrados.
Se verifica que el vectorial OABCDO es cerrado ; y el funicular co
rrespondiente cuyos vértices son, ordenadamente, A, ; A , ; A. ; A , ; A,, resulta
con sus lados extremos 1 y 6 paralelos. En consec�encia, la chapa no está
en equilibrio : el momento resultante vale
M = - Fd = - 2,15 cm . (EF) . 2,5 cm . (EL) = 53,75 kgm
1
EJEMPLO 6. -' Averiguar si la chapa ABC de la fig. 28 está en equili
brio bajo la acción de las fuerzas P, ; P, ; Pa ; P • .
38. CONDICIONES GRAFlCAS DE EQ UILIBRIO 25
EL= 45cm
4
ll_5em cm
EF=..J.L
P,�
;�
F 1 u
Fig. 28
A,; A. ; A. se caracteriza por la superposición de sus lados extremos 1 y 5.
de las fuerzas dadas OEFGO es cerrado y el funicular con vértices en A.;
Procediendo como en el ejemplo anterior, se comprueba que el vectorial
Luego la chapa está en equilibrio.
39. CAPÍTULO V
MOMENTO DE FUERZAS. CUPLAS
12. Momento estático de una fuerza. - Se denomina momento
estático o de primer orden, o lineal, o simplemente momento de una
fuerza P, respecto de un punto e, el producto de la intensidad de la
fuerza (kg, t, etc.) por la
distancia a (m, cm, etc.)
ó) del punto a la línea de ac
ción de P (fig. 29) .
e se llama centro de
e
o. zo de palanca de la fuer
momentos o polo ; a, bra-
-t-11_;
za. La unidad de medida
del momento estático es :
kilogramo-metro o kilográ
etc. Si S es una chapa em-
m e t r o (kgm) ; tonelada
metro o tonelámetro (tm) ;
Fig. 29
pernada en e, el efecto ci
nemático de P, respecto de e, es una rotación de la chapa ; en sentido
positivo si gira según las agujas del reloj (fig. 29b ) , negativo en sen
Todo momen to estático está pues afectado de un signo que se an
tido opuesto ( fig. 29a) .
tepone al valor de aquél ; así, se escribirá :
M = + 300 kgm M' = - 4 tm .
Trazada por e (fig. 29a) l a paralela S a la línea de acc ión b de
la fuerza P, resulta que el momento de ésta no varía si e se desplaza
a cualquier otro punto de la recta s ; ésta, a veces, se denomina eje de
momentos. De tal modo queda definido el momento de una fuerza P res
pecto de un .eje s paralelo a su línea de acción.
cuando el polo e pertenece a la línea de acción de la fuerza, es una
El momento estático que es igual a cero cuando a = O, vale decir,
magnitud estática, homogénea con un trabaj o. En cambio, éste es una
magnitud dinámica.
sentativo de la fuerza y el otro del brazo de palanca. Si uno de ellos se
El momento estático es el producto de dos segmentos : uno repre
mide en la escala de fuerzas el otro habPá que apreciarlo en la escala
