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- 1. Tema 1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL Fundamentos de Física Facultad de Ciencias del Mar.
- 2. Magnitud escalar. Aquéllas cuya medida queda completamente especificada por un número real y su unidad. Ejemplos: la masa, la temperatura, la presión. Magnitud vectorial. Aquéllas en las que para su determinación se necesitan tres números reales y su unidad. O equivalentemente, un módulo (definido por una número real positivo y su unidad), una dirección (definida por una recta) y un sentido. Estas magnitudes se pueden representar por una recta orientada también llamada vector. Ejemplos: la velocidad, la fuerza, el campo gravitatorio. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. Álgebra vectorial1.1. Fundamentos de Física. FCM. A 'A a dirección sentido módulo
- 3. Álgebra vectorial1.1. A 'A a dirección sentido módulo Vector. Se denota como . Se define como un segmento orientado caracterizado por: • Un origen o punto de aplicación. Punto A. • Un escalar o módulo, , dado por la longitud del segmento AA’. El módulo es siempre positivo e independiente de la dirección del vector. • Una dirección, recta que contiene al segmento AA’. • Un sentido, que se indica mediante una punta de flecha. a óa aa ó Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 4. Álgebra vectorial1.1. Suma de vectores. a b c d cbad ++= a b c Regla del polígono Regla del paralelogramo bac += a b a b c Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 5. Álgebra vectorial1.1. Vectores opuestos. Vectores con igual módulo y dirección, pero sentidos opuestos. a a − Diferencia de vectores. ( )bacbac −+=⇒−= b a a b − c b Producto de un vector por un escalar. a a λ 0 1 > > λ λ a λ 0 1 < < λ λ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 6. Álgebra vectorial1.1. Propiedades de la suma de vectores y producto de un escalar por un vector. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000:nuloelementovii) :vectoresdesumalaarespectoproductodelvadistributivi) :escalaresdesumalaarespectoproductodelvadistributivi) :productoelparaasociativav) es,esto,0/,:sumalaparasimétricoelementoiv) 0:sumalaparaneutroelementoiii) :sumalaparaaconmutativii) :sumalaparaasociativai) == +=+ +=+ = −==+=+∃∀ =+ +=+ ++=++ a baba aaa aa ababbaba aa abba cbacba λ λλλ γλγλ λγγλ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 7. Álgebra vectorial1.1. a a ua = Vector unitario. Es un vector de módulo unidad. Un vector unitario en la dirección de será:a Eje. Recta orientada. Se toma un sentido como sentido positivo y se asigna un vector unitario en dicho sentido. Proyección de un vector sobre un eje. eu a α ( )aPe ( ) αα coscos aaaPe == Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 8. Álgebra vectorial1.1. Triedro de referencia. Tres ejes perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen del triedro. X Y Z pulgar índice corazón Levógiro (mano izquierda) Y X Z pulgar corazón índice Dextrógiro (mano derecha) i j k dextrógiro Triedro cartesiano kji ,,vectores unitarios: Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 9. Coordenadas cartesianas Y X Z y x z ( )zyxP ,, ( )zrP ,,ϕ Y X Z ϕ r z Coordenadas cilíndricas ( )ϕθρ ,,P Y X Z ϕ θ ρ Coordenadas esféricas Álgebra vectorial1.1. Sistemas de coordenadas. Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 10. Álgebra vectorial1.1. Componentes cartesianas. xa Y X Z a ya za a Y X Z xα k j yα zα i zyx aaaa ++= kaa jaa iaa zz yy xx = = = ( ) ( ) ( ) zZz yYy xXx aaPa aaPa aaPa α α α cos cos cos == == == Componentes cartesianas Cosenos directores aa aa aa zz yy xx /cos /cos /cos = = = α α α Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 11. Álgebra vectorial1.1. Componentes cartesianas. zzyyxx aaaaaa ααα coscoscos === kaajaaiaa zzyyxx === =++= zyx aaaa =++ kajaia zyx ( )kjia zyx ααα coscoscos ++ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. kji a a u zyxa ααα coscoscos ++== ),,( zyxzyx aaaaaaa =++=
- 12. Álgebra vectorial1.1. Suma y diferencia de vectores en términos de las componentes cartesianas. kajaiaa zyx ++= kbjbibb zyx ++= ( ) ( ) ( )kbajbaibaba zzyyxx +++++=+ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. ( ) ( ) ( )kbajbaibababa zzyyxx −+−+−=−+=− )(
- 13. Producto escalar de dos vectores. Álgebra vectorial1.1. αcosb a α b αcosabba =⋅ Propiedades. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kaajaaiaauaaP aaaa ikkjjikkjjii bababa baba bcacbac abba zyxee ⋅=⋅=⋅=⋅= ⋅== =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⊥⇔=⋅≠ ⋅=⋅ ⋅+⋅=+⋅ ⋅=⋅ ,,ia,consecuencEn.vii) vi) 0,1v) 0y0,siiv) :escalaresarespectoasociativaiii) :vadistributiii) :aconmutativi) λγγλ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 14. Producto escalar de dos vectores. a α αcosb b αcosabba =⋅ Producto escalar en términos de las componentes cartesianas. zzyyxx babababa ++=⋅ Ángulo que forman dos vectores. ab bababa ab ba zzyyxx ++ = ⋅ = αcos Álgebra vectorial1.1. Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 15. Álgebra vectorial1.1. Y X Z a b α bac ×= • Vector perpendicular al plano determinado por . • Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar • Módulo dado por ba y ba sobre αsenabbac =×= Propiedades. ( ) ( ) ( ) ( ) bababa bcacbac bababa cbacba abba ||0y0,Siv) :sumalaarespectovodistributiiv) :escalarunporproductoelparaasociativoiii) :asociativo-noii) :ativoanticonmuti) ⇔=×≠ ×+×=+× ×=×=× ××≠×× ×−=× λλλ c Producto vectorial de dos vectores. Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 16. Producto vectorial de dos vectores. Álgebra vectorial1.1. Producto vectorial en términos de las componentes cartesianas. ( ) ( ) ( )kbabajbabaibaba bbb aaa kji ba zyyxzxxzyzzy zyx zyx −+−+−==× Y X Z a b α bac ×= • Vector perpendicular al plano determinado por . • Sentido el que da la regla de la mano derecha al hacer girar • Módulo dado por ba y ba sobre αsenabbac =×= c Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 17. Producto mixto de tres vectores. Álgebra vectorial1.1. Y X Z a b α c β ba × ( ) βα cosabcsenbac =×⋅ Volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores Propiedades. ( ) ( ) ( )acbbaccba ×⋅=×⋅=×⋅:cíclicai) Producto mixto en términos de coordenadas cartesianas. ( ) ( ) ( ) ( ) zzyyxyzxxzxyzzy zyx zyx zyx cbabacbabacbaba bbb aaa ccc bac −+−+−==×⋅ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 18. Momento de un vector con respecto a un punto. r a αd OM O P ( ) araMO ×= adarMO == αsen El momento de un vector con respecto a un punto no varía al cambiar el punto de aplicación del vector sobre la recta soporte. Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. Álgebra vectorial1.1. j a lími a lím yx λλ λλ ∆ ∆ + ∆ ∆ →∆→∆ 00
- 19. Cálculo vectorial1.2. Función vectorial con respecto a un escalar. ( )1λa ( )2λa Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. ( ) ( ) ( ) ( )kajaiaaa zyx λλλλ ++== ( ) ( )12 λλ aaa −=∆ a ∆ ( ) ( )λλλ λλλ λλ λλλ aaa −∆+=∆⇒ ∆+= = −=∆ 2 1 12
- 20. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. ( )λa ( )λλ ∆+a a ∆ λ∆ ∆a λd ad λd ad λd ad λd ad ( ) ( ) ( ) λ λλλ λλ λ λλ ∆ −∆+ = ∆ ∆ = →∆→∆ aa lím a lím d ad 00 Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. ( ) ( )λλλ aaa −∆+=∆ ( ) ( ) λ λλλ λ ∆ −∆+ = ∆ ∆ aaa
- 21. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j d da i d da j a lími a lím j aa lími aa lím aa lím a lím d ad yxyx yyxx λ λ λ λ λλ λ λλλ λ λλλ λ λλλ λλ λ λλ λλ λλ += ∆ ∆ + ∆ ∆ = = ∆ −∆+ + ∆ −∆+ = ∆ −∆+ = ∆ ∆ = →∆→∆ →∆→∆ →∆→∆ 00 00 00 Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 22. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto al escalar tiempo. dt ad dt ad dt ad ( ) ( ) ( ) ( ) k dt tda j dt tda i dt tda t a lím dt tad zyx t ++= ∆ ∆ = →∆ 0 Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial. ( ) ( ) ( ) ( ) k dt tda j dt tda i dt tda t a lím dt tad zyx t ++= ∆ ∆ = →∆ 0
- 23. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. Propiedades. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λλ λ λ λλ λ λ λ λλ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λλλ λ λλ d bd ab d ad ba d d d bd ab d ad ba d d d df a d ad faf d d d λbd d λad λbλa dλ d ×+×=× += += +=+ :esvectorialfuncionesdosdevectorialproductodelDerivadaiv) :esvectorialfuncionesdosdeescalarproductodelDerivadaiii) :escalarunporctorialfunción veunadeproductodelDerivadaii) :vectoresdesumaladeDerivadai) Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 24. Cálculo vectorial1.2. Derivada de una función vectorial con respecto a un escalar. Algunas consecuencias. ( ) ( ) ( )λλλ auaa = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Siiii) ||Siii) general,Eni) a a aaa a a u d ad d ud a d ad ctea u d ad u d da d ad cteu d ud au d da d ad ⊥⇔=⇒= ⇔=⇒= += → λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 25. Cálculo vectorial1.2. Integral de una función vectorial. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =− += ⇒= ∫ ∫ 2 1 12 /,Dadas λ λ λλλλ λλλ λ λ λ λλ dbaa cdba b d ad ba Propiedades. ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ −= = ×=× === +=∈ == +=+== → 1 2 2 1 2 1 2 1 v) :ySiiv) :,Siiii) :Siii) :ySii) 21 λ λ λ λ λ ξ ξ λ λ λ λλ λξυλυξ λυλυ λυλυλξξυ λλλλλξ λλ λλλλλ dada dd dada dadacte dadada dakdakctek dbdadbabbaa Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 26. Cálculo vectorial1.2. Integral en función de las componentes cartesianas. ( ) ( ) ( ) ( )kajaiaa zyx λλλλ ++= ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )kdajdaidada zyx ∫∫∫∫ ++= λλλλλλλλ Integral de una función vectorial. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =− += ⇒= ∫ ∫ 2 1 12 /,Dadas λ λ λλλλ λλλ λ λ λ λλ dbaa cdba b d ad ba Fundamentos de Física. FCM. Tema 1. Elementos de álgebra y cálculo vectorial.
- 27. Tema 1 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO VECTORIAL Fundamentos de Física Facultad de Ciencias del Mar.