181105 (1)

量子力学って何だ？∼幾何学と数学の視点∼
1 原健太郎
1 東京理科大学理学研究科
11/2018
1
原健太郎 (Tokyo University of Science,Math)量子力学って何だ？∼幾何学と数学の視点∼ 11/2018 1 / 20

自己紹介
1
身分：大学院生
、非常勤講師（高等学校）
2
専攻：物理学、数学
3
大学で非常勤講師（物理学、
数学）をやりたいのですが、
厳しいです。
1

Talk plan
1
古典力学、シンプレクティック幾何学
2
量子化
3
量子力学：無限次元の線形代数
4
無限次元⇒有限次元
5
量子n体系(２状態系)
6
k-ベクトル空間の圏
7
強モノイド圏
8
モノイド対象
1

古典力学、シンプレクティック幾何学
Deﬁnition (Hamiltonian vector ﬁeld XH ∈ ΓTM)
(M, ω):symplectic manifold
dH = ω (XH, · )
Fact (Hamilton’s equations and Darboux coordinates)
∃ (q, p) : M −→ U ⊂ R2n
s.t.
dq
dt
=
∂H
∂p
,
dp
dt
= −
∂H
∂q
1

量子化
Remark (quantization)
canonical quantization:
q −→ ˆq, p −→ ˆp, [ˆqi, ˆpj] = i δij
Deformation quantization:
(C∞
(M) , · ) −→ (C∞
(M) [[ ]] , ∗ )
Path integral formulation:
δS = 0 −→
∫
[Dφ] eiS(φ)
1

量子力学：無限次元の線形代数
Deﬁnition (Schr¨odinger equation)
ˆHψ = Eψ
where
ψ ∈ L2
(
C3
)
, ˆH =
ˆp · ˆp
2m
+ V (ˆq) ∈ B
(
L2
(
C3
))
Remark
ψ:vector,ˆH:matrix
1

Deﬁnition (L2
norm space)
L2
(C) =
{
f ∈ C∞
(C)
∫
C
f (z) f ∗
(z) dz < ∞
}
Remark (Fourier series)
f (z) =
∞∑
n=−∞
cneinz
1

Example (vector space)
CN
= {a1e1 + a2e2 + · · · + aNeN|a1, · · · , aN ∈ C}
L2
(C) =
{
· · · + c−1e−iz
+ c0e0×iz
+ c1eiz
+ · · ·
}
Remark (２状態系)
L2
(
C3
)
−→ C2
, B
(
L2
(
C3
))
−→ B
(
C2
)
∼= M2C
Two-dimensional linear algebra
1

量子 n 体系 (２状態系)
Remark (many-body system)
C2
−→
(
C2
)⊗n ∼= C2n
, B
(
C2
)
−→ M2nC
2n-dimensional linear algebra
Deﬁnition
ˆHψ = Eψ
where
ψ ∈
(
C2
)⊗n
, ˆH ∈ M2nC
1

圏
Example
1
Set
2
Grp
3
R-Mod
4
K-Vect
5
Top
6
Manp
7
TopMfd
8
Func(A, B)=BA
9
Coh(X)
10
Ord
1

k-ベクトル空間の圏
Deﬁnition (FdVect as a category)
X ∈ Ob (FdVect) :⇔ X:vector space on k
ˆH ∈ Hom
(
X, ˜X
)
:⇔ ˆH:linear operator over k
Deﬁnition (tensor product⊗)
⊗ : km
× kn
−→ km×n
⊗ (ea, fb) := ea ⊗ fb
Remark
k1
⊗ X ∼= X
1

強モノイド圏としての k-ベクトル空間の圏
Fact ((FdVect, ⊗, k))
A, B, C ∈ Ob (FdVect) =⇒
(A ⊗k B) ⊗k C = A ⊗k (B ⊗k C)
A ⊗k k = k ⊗k A = A
1

強モノイド圏
Deﬁnition ((C, ⊗, I):strict monoidal category)
A, B, C ∈ Ob (C)
=⇒ (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C)
A ⊗ I = I ⊗ A = A
1

強モノイド圏の例 (集合の圏)
Example (Set)
(Set, ×, {x}) , Ob (Set) {x}
X, Y , Z ∈ Ob (Set) =⇒
(X × Y ) × Z = X × (Y × Z)
X × {x} = {x} × X = X
1

強モノイド圏の例 (アーベル群の圏)
Example (Category of abelian groups)
(Ab, ⊗Z, Z) , Ob (Ab) Z
A, B, C ∈ Ob (Ab) =⇒
(A ⊗Z B) ⊗Z C = A ⊗Z (B ⊗Z C)
A ⊗Z Z = Z ⊗Z A = A
1

強モノイド圏の例 (自己関手の圏)
Example (Endofunctor category)
(
CC, ◦, id
)
, Ob
(
CC
)
id
f , g, h ∈ Ob
(
CC
)
=⇒
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)
f ◦ id = id ◦ f = f
1

モノイド対象
Deﬁnition (Monoid object)
Monoid object : (M, µ, η) , M ∈ Ob (C)
µ ∈ Mor (M ⊗ M, M) , η ∈ Mor (I, M)
µ ◦ (id ⊗ µ)
= µ ◦ (µ ⊗ id) : M ⊗ M ⊗ M −→ M
µ ◦ (η ⊗ id) = id : I ⊗ M −→ M
µ ◦ (id ⊗ η) = id : M ⊗ I −→ M
1

モノイド対象 (集合の圏):モノイド
Example ((Set, ×, {x}):Monoid)
Monoid : (M, ·, η) , M ∈ Ob (Set, ×, {x})
µ (m, ˜m) := m · ˜m, η ({x}) := e
µ ◦ (id ⊗ µ) = µ ◦ (µ ⊗ id)
µ ◦ (η ⊗ id) = id : I ⊗ M −→ M
µ ◦ (id ⊗ η) = id : M ⊗ I −→ M
1

モノイド対象 (アーベル群の圏):
Example ((Ab, ⊗Z, Z):Ring)
Ring : (R, ·, η) , R ∈ Ob (Ab, ⊗Z, Z)
µ (r,˜r) := r · ˜r, η (Z) := 1
µ ◦ (id ⊗ µ) = µ ◦ (µ ⊗ id)
µ ◦ (η ⊗ id) = id : I ⊗ R −→ R
µ ◦ (id ⊗ η) = id : R ⊗ I −→ R
1

モノイド対象 (FdVect):
Example ((FdVect, ⊗k, k):Algebra)
Algebra : (A, ·, η) , A ∈ Ob (FdVect, ⊗k, k)
µ (a, ˜a) := a · ˜a, η (k) := 1
µ ◦ (id ⊗ µ) = µ ◦ (µ ⊗ id)
µ ◦ (η ⊗ id) = id : I ⊗ A −→ A
µ ◦ (id ⊗ η) = id : A ⊗ I −→ A
1

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