Sinsa1234

Noncommutative deformation of Kähler manifolds and
its application to transformation from instanton to
Hermitian Ricci-flat metric （ケーラー多様体の非可換
変形とそれのインスタントンからリッチ平坦なエル
ミート計量への変換に対する応用）
1 原健太郎
1 東京理科大学大学院理学研究科科学教育専攻博士後期課程
January 23, 2020
1
原健太郎 (東京理科大学大学院理学研究科科学教育専攻博士後期課程)
Noncommutative deformation of Kähler manifolds and its application to transformation from
January 23, 2020 1 / 68

Section 0
イントロダクション

古典力学と量子力学の対応
ニュートン力学（ハミルトン方程式）
dq
dt
= {H, p} ,
dp
dt
= {H, q}
↔ シンプレクティ
ック多様体（ポアソン括弧）
{f , g} =
∂f
∂q
∂g
∂p
−
∂f
∂p
∂g
∂q
↑ ↓
量子力学（ハイゼンベルク方程式）
i~
dÂ
dt
=
[
Â, Ĥ
]
↔ シンプレクティ
ック多様体上の演算子の交換子積
[
Â, B̂
]
:= ÂB̂ − B̂Â
1
January 23, 2020 3 / 68

変形量子化の歴史１
微視的な物理現象を記述する力学として量
子力学が登場し、シュレーディンガー方程
式が基礎方程式として登場する。

シュレーディンガー方程式の導出方法とし
てハミルトニアンの位置座標を掛け算作用
素とし、運動量を微分作用素とする正準量
子化が登場する。

1
January 23, 2020 4 / 68

変形量子化の歴史２

古典力学がシンプレクティ
ック多様体上の力学系へと一般化されたこ
とに影響を受けてシンプレクティ
ック多様体の変形量子化などが登場
する。(H. Omori, Y. Maeda, and A. Yoshioka,(1991)[6]、F. Bayen,
M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz and D. Sternheimer(1978)[1]
など)

シンプレクティ
ック多様体上の特殊な対象としてケーラー多様体上の
変数分離変形量子化の研究がなされる。(A. V. Karabegov(1996)[4])。
1
January 23, 2020 5 / 68

先行研究と本研究の関係
ケーラー多様体の変数分離変形量子化 (A. V.
Karabegov(1996)[4]:先行研究)

複素射影空間・複素双曲空間の変数分離変形量子化
( A. Sako, T. Suzuki and H. Umetsu(2012)[7] など)

本研究
局所対称ケーラー多様体の変数分離変形量子化 (H and
A. Sako,(2017)[2]:本研究)
1
January 23, 2020 6 / 68

先行研究と本研究の関係
サイバーグ・ウィ
ッテン変換の発見 (N. Seiberg and
E. Witten(1999)[9]:先行研究)

サイバーグ・ウィッテン変換と重力の関係 (H. S.
Yang,(2006)[11],S. Lee, R. Roychowdhury and H.
S. Yang(2013)[10]:先行研究)

本研究
非可換インスタントンからリッチ平坦計量の構築 ( H,
A. Sako and H. S. Yang (2019)[3]:本研究)
1
January 23, 2020 7 / 68

Talk plan
Section 0・
・
・イントロダクション
1 変形量子化の歴史
2 先行研究と本研究の関係
Section 1・
・
・局所対称ケーラー多様体の変形量子化
1 ケーラー多様体の変数分離変形量子化 (先行研究)
2 局所対称ケーラー多様体の変数分離変形量子化 (本研究)
3 複素１次元（コンパクトリーマン面）の場合の変数分離変形量子化
4 複素グラスマン多様体の変数分離変形量子化
Section 2・
・
・非可換多様体上の U(1) のインスタントンからのエルミー
ト・アインシュタイン計量を作る
1 ゲージ理論（ゲージ対称性, ヤンミルズ方程式, インスタントン）
2 サイバーグ・ウィ
ッテン変換と重力の創発
3 自己双対とリッチ平坦計量の関係導出
4 非可換インスタントンからリッチ平坦計量の構築
5 逆命題
Section 3 ・
・
・今日の纏め
1
January 23, 2020 8 / 68

Section 1
局所対称ケーラー多様体の変形
量子化

Deformation quantization
定義 (Deformation quantization of Poisson manifolds)
F は、形式的なべき級数の集合として定義される:
F :=
{
f

f =
∑
k
fk~k
, fk ∈ C∞
(M)
}
.
但し M はポアソン多様体である。スター積 ∗ : F × F → F, は以下の様
に定義される。
f ∗ g =
∑
k
Ck(f , g)~k
但し以下の条件を満たすものとして定義される。.
1 (F, +, ∗) は結合則（(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)）を満たす (非可換)
代数.
2 Ck (·, ·) 双微分作用素.
3 C0 と C1 は
C0(f , g) = f · g, C1(f , g) − C1(g, f ) = {f , g}, (1)
を満たす。但し {f , g} はポアソン括弧.
4 f ∗ 1 = 1 ∗ f = f .
1
January 23, 2020 11 / 68

Moyal 積
特に, ポアソン多様体の関数代数からなるポアソン代数
を A として考えると, 変形量子化はポアソン多様体の非
可換幾何学と見なすことができる.
Example (Moyal 積)
f , g ∈ C∞
(
R4
)
[[~]], とすると
f (x) ∗ g (x) := f (x) exp
(
i
2
←−
∂µ θµν
−→
∂ν
)
g (x)
= f · g +
i~
2
(
∂f
∂x
∂g
∂y
−
∂f
∂y
∂g
∂x
)
+ O
(
~2
)
但し θ =
(
0 ~
−~ 0
)
. この積は Moyal 積と呼ばれる有名
な非可換積である.
1
January 23, 2020 12 / 68

A star product with separation of variables
定義 (A star product with separation of variables)
a は正則、b は反正則なa, b, f ∈ C∞
(M)に対
して以下の条件を満たすとき∗のことをケー
ラー多様体M 上の変数分離変形量子化と
呼ぶ。
a ∗ f = a · f , f ∗ b = f · b.
1
January 23, 2020 13 / 68

局所対称ケーラー多様体

Locally symmetric Kähler manifold
定義 (Locally symmetric Kähler manifold)
以下の条件を満たすときケーラー多様体は
(M, g) は局所対称ケーラー多様体と呼ばれる。
∇mRijk
l = 0 (∀i, j, k, l, m).
但し∇m はレビ・チビタ接続であり、Rijk
l
は
リーマン曲率.
1
January 23, 2020 15 / 68

Locally symmetric Kähler manifold
例 (リーマン対称空間の例)
球面SN
= SO (N + 1) /SO (N)
実射影空間
RPN
= SO (N + 1) /S (O (1) × O (N))
複素射影空間
CPN
= SU (N + 1) /S (U (1) × U (N))
and more · · ·
例 (局所対称ケーラー多様体の例)
コンパクトリーマン面
複素双曲空間
複素グラスマン多様体
and more · · ·
1
January 23, 2020 16 / 68

ケーラー多様体の変数分離変形
量子化

Karabegov1996
定理 (A. V. Karabegov(1996)[4])
任意のケーラー形式 ω に対して変数分離変形量子化 ∗ が存在し以下のよ
うに構成される. f ∈ F とし、An ∈ S を以下のように定義する。
An = an,α(f )Dα
, Dα
=
n
∏
i=1
(Dī
)αi
, Dī
= gīl
∂l , (2)
但し α は多重添字 α = (α1, α2, . . . , αn). すると
Lf =
∞
∑
n=0
~n
An (3)
は、次ページの条件を満たすように一意に決定される。(Lf g := f ∗ g)
1
January 23, 2020 18 / 68

following conditions
定理 (following conditions)
R∂l̄Φ = ∂l̄Φ + ~∂l̄, に対して（但しΦはケー
ラーポテンシャル）
[
Lf , R∂l̄Φ
]
= 0 , Lf 1 = f ∗ 1 = f . (4)
スター積はLf g = Rg f := f ∗ g で与えられ結合
性を満たす;
h ∗ (g ∗ f ) = (h ∗ g) ∗ f = LLhg f . (5)
1
January 23, 2020 19 / 68

局所対称ケーラー多様体上のス
ター積（我々の主結果１）

A star product with separation of variables
定理：H and A. Sako(2017)[2]
局所対称ケーラー多様体上のスター積は以下
の様に得られる。
f ∗ g =
∞
∑
n=0
∑
~
αn ~
β∗
n
Tn
~
αn ~
β∗
n
(
D ~
αn
f
) (
D
~
β∗
ng
)
,
但しTn
~
αn ~
β∗
n
は次の漸化式で決定される。
1
January 23, 2020 21 / 68

Recurrence relations of our main theorem
Recurrence relations of our main theorem
N
∑
d=1
~gīd Tn−1
~
αn− ~
ed
~
β∗
n −~
ei
= βi Tn
~
αn
~
β∗
n
+
N
∑
k=1
N
∑
p=1
~ (βn
k − δkp − δik + 1) (βn
k − δkp − δik + 2)
2
× Rp̄
k̄k̄
ī Tn
~
αn
~
β∗
n −~
ep+2 ~
ek −~
ei
+
N−1
∑
k=1
N−k
∑
l=1
N
∑
p=1
~ (βn
k − δkp − δik + 1)
(
βn
k+l − δ(k+l),p − δi,(k+l) + 1
)
× Rp̄
k+lk̄
ī Tn
~
αn
~
β∗
n −~
ep+ ~
ek + ~
ek+l −~
ei
.
1
January 23, 2020 22 / 68

具体例：コンパクトリーマン
面・複素グラスマン多様体

One dimensional case
スカラー曲率 R は次のように定義される R = gij̄ Rij̄ = Rl̄
j̄l̄
j̄ .
定理：[Noncommutative Riemannian surfaces( H and
A. Sako(2017)[2])]
M を 1 次元の局所対称ケーラー多様体 (N = 1) とし、f および g を M 上
の滑らかな関数とする。f と g の変数分離のスター積は、
f ∗ g =
∞
∑
n=0
(g11̄)n
{n−1
∏
k=1
2~
2k + ~k (k − 1) R
}
×
{(
g11̄ ∂
∂z
)n
f
} {(
g11̄ ∂
∂z̄
)n
g
}
但し
R = R1̄
1̄1̄
1̄.
1
January 23, 2020 24 / 68

Deformation quantization for CPN
定理：[ H and A. Sako(2017)[2]]
f と g を射影空間 CPN
上の滑らかな関数とする。複素射影空間
CPN
上で変数が分離されたスター積は、次のように与えられる。
f ∗ g = f · g (6)
+
∞
∑
n=1
∑
~
αn
~
β∗
n

+
{ n
∏
k=0
~
(1 + ~ − ~k) αn
k!βn
k !
}
(
D ~
αn
f
) (
D
~
β∗
n g
)
.
但し |·|+
はパーマネントであり、G ~
αn, ~
β∗
n は計量から作られる行列で
ある.
1
January 23, 2020 25 / 68

Deformation quantization for G2,2
定理：[ H and A. Sako(2017)[2]]
f と g を G2,2 上の滑らかな関数とする. Tn
~
αn
~
β∗
n
の漸化式は
βI
(
1 + ~ − ~βn
I − ~βn
ji0 − ~βn
ij0
)
Tn
~
αn
~
β∗
n
− ~
(
βn
ij0 + 1
) (
βn
ji0 + 1
)
Tn
~
αn
~
β∗
n −~
eJ + ~
eij0 + ~
eji0 −~
eI
= ~gĪI Tn−1
~
αn−~
eI
~
β∗
n −~
eI
+ ~gĪij0 Tn−1
~
αn− ~
eij0 ~
β∗
n −~
eI
+ ~gĪji0 Tn−1
~
αn− ~
eji0 ~
β∗
n −~
eI
+ ~gĪJTn−1
~
αn−~
eJ
~
β∗
n −~
eI
.
となる。
G2,2 上のスター積は、この式によって再帰的に決定される. また一般の
Gp,q に対しても漸化式は同様の方法で決定される。
1
January 23, 2020 26 / 68

Section 2
非可換多様体上のU(1)のインス
タントンからのエルミート・ア
インシュタイン計量を作る

ゲージ曲率
定義
リー環 g = TeG に対して A := Aµdxµ
は R4
上の g 値
1-form,Dµφ := (∂µ − iAµ) φ とする.
F := dA − iA ∧ A はゲージ曲率と呼ばれる. 成分で表せ
ば F = Fµνdxµ
∧ dxν
であり
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ − i [Aµ, Aν] = i [Dµ, Dν] である..
定義
ゲージ変換 δλ は以下の様に定義される.
δλAk := ∂kλ + i [λ, Ak] ,
δλFkl := i [λ, Fkl] ,
但し λ は g 値関数であり, A はゲージ群を G とするゲー
ジ場である.
1
January 23, 2020 29 / 68

ゲージ曲率
命題
以下の等式は Bianchi 恒等式と呼ばれる.
dAF := dF − i [A, F] = 0
Proof
dF − i [A, F]
= −idA ∧ A + iA ∧ dA
− iA ∧ dA − A ∧ A ∧ A + idA ∧ A + A ∧ A ∧ A = 0
1
January 23, 2020 30 / 68

Levi-Civita 記号
定義 (Levi-Civita 記号)
µναβ は Levi-Civita 記号と呼ばれ, 以下の様に定義さ
れる.
εµναβ =





+1 (µ, ν, α, β) が (1,2,3,4) の偶置換
−1 (µ, ν, α, β) が (1,2,3,4) の奇置換
0 otherwise
.
F = Fµνdxµ
∧ dxν
, に対して R4
における Hodge star 作
用素 ? は以下の様に定義される.:
?F := F̃µνdxµ
∧ dxν
, F̃µν :=
1
2
µναβFαβ
1
January 23, 2020 31 / 68

Yang-Mills 作用
定義 (Yang-Mills 作用)
Yang-Mills 作用 SYM は以下の様に定義される.
SYM :=
∫
R4
{
−
1
2
tr (F ∧ ?F)
}
=
∫
R4
{
1
2

}
.
命題
L = −1
4Fa
µνFµνa
に対する Euler-Lagrange 方程式:
∂L
∂Ad
σ
−
∂
∂xρ
∂L
∂ (∂ρAd
σ)
= 0
は Yang-Mills 方程式と呼ばれる以下の方程式になる.
Dρ
Fρσ := ∂ρ
Fρσ + [Aρ
, Fρσ] = 0.
1
January 23, 2020 32 / 68

ゲージ理論
Fact
Yang-Mills 方程式は以下の様にも記述出来る。
dA ? F = 0
注意
この方程式は, ヤン・ミルズ方程式と呼ばれる. 最小作
用の原理とビアンキ恒等式はから, マクスウェルの方程
式を得る.
変分問題のすべての解を見つけるのは簡単ではないが,
代数的に見つかる特別な解がいくつか知られている. そ
れらはインスタントンと呼ばれる特別な解である.
1
January 23, 2020 33 / 68

ゲージ理論
定義
F は自己双対な 2-form と反自己双対行な 2-form に分解
される F = F+
+ F−
. 但し F±
= 1
2 (F ± ?F). もし
F = F+
又は同じことだが
F−
= 0 (7)
のときインスタトンと呼ばれる.
注意
F = F±
がビアンキ恒等式を満たすならばそれはヤン・
ミルズ方程式の解である.
∵ dA ? F±
= ±dAF±
= 0
1
January 23, 2020 34 / 68

ッテン変換と
重力の創発（N. Seiberg and E. Witten(1999)[9] と H. S.
Yang,(2006)[11],S. Lee, R. Roychowdhury and H. S. Yang(2013)[10] の
レビューパート）

非可換空間のゲージ変換
注意
これより先,F, F̂, F̂−は2-形式
に対応する交代行列値関数と
する。
1
January 23, 2020 36 / 68

注意
これ以降の流れ：
1 ゲージ理論の物理学的要請から
Â (A) + δ̂λ̂Â (A) = Â (A + δλA) を仮定することで関
係式として以下を得る.
F̂ (x) =
(
1
1 + Fθ
F
)
(x)
2 次に計量として G = 1 + Fθ, g = 1 + 2Fθ を得る
3 最終的には g = 2
(
1 − F̂θ
)−1
− 1 を得る. これは
我々の研究のスタート地点となる.
1
January 23, 2020 37 / 68

Â (A) + δ̂λ̂
Â (A) = Â (A + δλA)
の仮定から関係式
F̂ (x) =
(
1
1 + Fθ
F
)
(x)
を得る.

定義 (N. Seiberg and E. Witten(1999)[9])
非可換 R4
上の U (N) ゲージ理論のゲージ変換 δ̂λ̂ は次の
ように定義される.
δ̂λ̂Âk := ∂kλ̂ + iλ̂ ∗ Âk − iÂk ∗ λ̂
δ̂λ̂F̂kl := iλ̂ ∗ F̂kl − iF̂kl ∗ λ̂
ここで,F̂kl := ∂kÂl − ∂lÂk − iÂk ∗ Âl + iÂl ∗ Âk. Âk と λ̂
は
(
C∞
(
R4
)
[[~]] , ∗
)
と N × N エルミート行列のテンソ
ル積に値を取る.
1
January 23, 2020 39 / 68

ゲージ変換と非可換変形
物理学においては非可換空間上のゲージ場の理論は背
景磁場中のゲージ場の理論と等価であることが示され
てきていることから, 次の仮定が自然に得られる.
Â (A) + δ̂λ̂Â (A) = Â (A + δλA) . (8)
命題 (N. Seiberg and E. Witten(1999)[9])
A0
(A) := Â − A, λ0
(λ, A) := λ̂ (λ, A) − λ とする. (8) か
ら以下が従う.
A0
k (A + δλA) − A0
k (A) (9)
− ∂kλ0
− i [λ0
, Ak] − i [λ, A0
k]
=
−θij
2
(∂iλ∂jAk + ∂jAk∂iλ) + O
(
θ2
)
.
This proposition is proved in [9] in P28.
1
January 23, 2020 40 / 68

注意 (N. Seiberg and E. Witten(1999)[9])
微分方程式 (9) は,θ が小さく F̂ がコンスタントの場合明
示的に解くことができる. この場合, 方程式は
δF̂ = −F̂δθF̂. (10)
境界条件 F̂ (θ = 0) = F を満たすとき (10) の解は
F̂ (x) =
(
1
1 + Fθ
F
)
(x) . (11)
1
January 23, 2020 41 / 68

（２）計量として
G = 1 + Fθ, g = 1 + 2Fθを得る.

非可換 D ブレーンの作用と可換 D ブレーンの作用の間
には次のような対応があることがわかっている.
∫
d4
x
√
det
{
G + κ
(
Φ + F̂
)}
=
∫
d4
y
√
det (1 + Fθ)
√
det {G + κ (Φ + F)} + O (ls∂F) ,
大雑把に言うと G は計量であり、Φ は 2 形式の外場で
ある
Fµν (x) :=
(
1
1 + Fθ
F
)
µν
(x) , κ = 2πα0
= 2πl2
s
である.
1
January 23, 2020 43 / 68

注意 (H. S. Yang,(2006)[11])
この方程式の両側を比較すると, 次の式で与えられる F
と F̂ の対応関係を考えてみる.
F̂ =
(
1
1 + Fθ
F
)
, d4
x = d4
y
√
det (1 + Fθ),
但し
yµ
= xµ
+ θµν
Âν, Fµν (x) := ∂µAν (x) − ∂νAµ (x) .
1
January 23, 2020 44 / 68

注意 (H. S. Yang,(2006)[11])
これは (11) に対して無矛盾である. もし G̃ := 1 + Fθ と
定義したならば
∫
d4
y
√
det (1 + Fθ)
√
det {G + κ (Φ + F)}
=
∫
d4
y
√
det G̃
√
det {G + κ (Φ + F)}.
この方程式の右辺は, リーマン測度 G̃ に基づく積分のよ
うに見える. なので計量として以下を定義する.
G̃µν =
1
2
(δµν + g̃µν) (⇐⇒ g := 1 + 2Fθ) .
1
January 23, 2020 45 / 68

例（Eguchi-Hanson 計量）
定義 (S. Lee, R. Roychowdhury and H. S. Yang(2013)[10])
Eguchi-Hanson 計量は以下の様に定義される.
g̃µν dxµ
dxν
=
{ √
r4 + t4 (f (r) + 1) δµν
2r2
−
√
r4 + t4 (f (r) − 1)
(
η3η̄k
)
µν
Tk
r4
}
dxµ
dxν
但し t はフリーパラメータ
r2
= x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4 , f (r) = 1 −
t4
r4 + t4
, η3
=




0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0




T1
= −x1
x3
− x2
x4
, T2
= x1
x4
− x2
x3
, T3
=
1
2
{(
x1
)2
+
(
x2
)2
−
(
x3
)2
−
(
x4
)2
}
,
η̄1
=




0 0 0 −1
0 0 1 0
0 −1 0 0
1 0 0 0



 , η̄2
=




0 0 −1 0
0 0 0 −1
1 0 0 0
0 1 0 0



 , η̄3
=




0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0



 .
1
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命題 (S. Lee, R. Roychowdhury and H. S. Yang(2013)[10])
g̃µνEguchi-Hanson 計量とする. もし
g̃µν = δµν + 2 (Fθ)µν
ならば
Fµν =
t4
η̄k
µνTk
r6
√
1 + t4
r4
−
(√
1 + t4
r4 − 1
)2
η3
µν
2
√
1 + t4
r4
.
となり,F はビアンキ恒等式を満たす.
This theorem is proved in [10].
1
January 23, 2020 47 / 68

定理 (S. Lee, R. Roychowdhury and H. S. Yang(2013)[10])
g̃µνEguchi-Hanson 計量とする. もし
g̃µν = δµν + 2 (Fθ)µν
ならば
F̂µν =
4
r2
√
1 + t4
r4 − 1
√
1 + t4
r4 + 1
η̄k
µνTk
となり,F̂ は反自己双対行列となる.
This theorem is proved in [10].
1
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主結果２
博士論文前半の主結果は以下の通りである.
Main result
もし F̂−
(x) がインスタトンならば g
(
F̂−
(x)
)
がアイ
ンシュタイン計量である.
?F̂−
(x) = −F̂−
(x) =⇒ Rj̄k (x) = 0
但し
g
(
F̂ (x)
)
:= 2
{
E4 −
(
F̂ (x)
)
θ
}−1
− E4
1
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インスタトン（反自己双対条
件）の説明

反自己双対条件
定義 (反自己双対条件)
交代行列（R4
上の 2-形式）
F̂ (x) =





0 F̂12 (x) F̂13 (x) F̂14 (x)
−F̂12 (x) 0 F̂23 (x) F̂24 (x)
−F̂13 (x) −F̂23 (x) 0 F̂34 (x)
−F̂14 (x) −F̂24 (x) −F̂34 (x) 0





が反自己双対であるとは
F̂23 (x) = −F̂14 (x) , F̂24 (x) = F̂13 (x) , F̂34 (x) = −F̂12 (x)
の条件を満たすことである.
1
January 23, 2020 52 / 68

反自己双対条件
注意
交代行列値関数 F̂−
(x)（R4
上の 2-形式）が反自己双対
であるとき
F̂−
(x) =





0 F̂−
12 (x) F̂−
13 (x) F̂−
14 (x)
−F̂−
12 (x) 0 −F̂−
14 (x) F̂−
13 (x)
−F̂−
13 (x) F̂−
14 (x) 0 −F̂−
12 (x)
−F̂−
14 (x) −F̂−
13 (x) F̂−
12 (x) 0





とすることが出来る.
1
January 23, 2020 53 / 68

表記の簡潔化
定義
表記の簡潔化のためにF̂C を定義する.
F̂C (x) :=
(
F̂11̄ (x) F̂12̄ (x)
F̂21̄ (x) F̂22̄ (x)
)
= −
1
2
(
iF̂12 (x) −F̂13 (x) + iF̂14 (x)
F̂13 (x) + iF̂14 (x) iF̂34 (x)
)
1
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表記の簡潔化
注意
反自己双対な交代行列値関数は以下のものに
対応する.
F̂−
C (x) :=
(
F̂11̄ (x) F̂12̄ (x)
F̂21̄ (x) −F̂11̄ (x)
)
1
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