Slajdy k přednášce pro předmět Blok expertů na KISKu (kisk.cz/blok-expertu). Na sklonku devatenáctého století se v matematice místo kvantitativního přístupu začal prosazovat stále větší důraz na zkoumání kvalitativních vlastností. Započal přerod matematiky z vědy čistě kvantitativní ve vědu, která se z velké části zabývá abstraktními strukturami. Na této přednášce se pokusíme odpovědět na otázku: "Co je a k čemu může být dobrá abstraktní matematika?" Obzory si rozšíříme za pomoci aplikací vyšší algebry a algebraické topologie ve "skutečném životě".

1. Vít Tuček — MFF UK
Aplikace abstraktní
matematiky
aneb co všechno se dá násobit

4. Abstract mathematics…

5. –John von Neumann
“In mathematics you don’t understand things.
You just get used to them.”

6. ❖ Takže co všechno můžeme násobit?

7. Konečné okruhy Zn
❖ prvky jsou celá čísla od 0 do n - 1
❖ násobení a sčítání modulo n
❖ 2 + 3 = 5 = 1 mod 4
❖ 2 * 3 = 6 = 2 mod 4

11. A co Z24?
To bylo Z12

14. Co s tím? RSA!

15. Co s tím? RSA!
❖ šifrování
❖ dešifrování

16. Příklad p=7, q = 13
n = 7*13 = 91,
ϕ(n) = 6 * 12 = 72
e = 5, d = 29
e*d = 5*29 = 145
145 = 1 mod 72
a h o j
1, 8, 15, 10
1^5 = 1 mod 91
8^5 = 8 mod 91
15^5 = 71 mod 91
10^5 = 82
1, 8, 71, 82
1^29 = 1 mod 91
8^29 = 8 mod 91
71^29 = 15 mod 91
82^29 = 10 mod 91
1, 8, 15, 10

17. Co s tím? RSA!

18. Velká čínská věta o zbytcích
Sun Tzu
(孙⼦子)
3. — 5.
AD

19. Velká čínská věta o zbytcích
Nastoupeni v trojstupech, zbyde jeden.
Nastoupeni v řadách po pěti, zbydou dva.
Nastoupí-li v sedmi řadách, zbydou tři.
Kolik vojáků je v armádě Han Xina?

20. Velká čínská věta o zbytcích

22. – Ludwig Wittgenstein
“Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man
schweigen.”

27. Minimální kostra
❖ computer networks, telecommunications networks,
transportation networks, water supply networks, and
electrical grids
❖ http://en.wikipedia.org/wiki/Borůvka's_algorithm

28. Minimální kostra
❖ Taxonomy.[19]
❖ Cluster analysis: clustering points in the plane,[20] single-linkage clustering (a method of hierarchical clustering),[21]
graph-theoretic clustering,[22] and clustering gene expression data.[23]
❖ Constructing trees for broadcasting in computer networks.[24] On Ethernet networks this is accomplished by means
of the Spanning tree protocol.
❖ Image registration[25] and segmentation[26] — see minimum spanning tree-based segmentation.
❖ Curvilinear feature extraction in computer vision.[27]
❖ Handwriting recognition of mathematical expressions.[28]
❖ Circuit design: implementing efficient multiple constant multiplications, as used in finite impulse response filters.[29]
❖ Regionalisation of socio-geographic areas, the grouping of areas into homogeneous, contiguous regions.[30]
❖ Comparing ecotoxicology data.[31]
❖ Topological observability in power systems.[32]
❖ Measuring homogeneity of two-dimensional materials.[33]
❖ Minimax process control.[34]

30. Komplexní čísla
❖ součin dvou záporných reálných čísel je vždy kladný
❖ i2 = -1

31. Komplexní čísla
polární souřadnice
z = r ei α
w = s ei β
z w = r s ei(α + β)

32. Komplexní čísla
Eulerova formule

33. ❖ Fourierova transformace:
Komplexní čísla
Fourierova transformace
frekvence —> amplituda
čas —> hodnota signálu
❖ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif
❖ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif

34. Fourierova transformace
Nukleární magentická rezonance
❖ In 1983, Ljunggren[8] and Twieg[9] independently introduced
the k-space formalism, a technique that proved invaluable
in unifying different MR imaging techniques. They showed
that the demodulated MR signal S(t) generated by freely
precessing nuclear spins in the presence of a linear
magnetic field gradient G equals the Fourier transform of
the effective spin density.
❖ Continuous wave spectroscopy is inefficient in comparison
with Fourier analysis techniques (see below) since it probes
the NMR response at individual frequencies in succession.

35. Umíme násobit body v prostoru?
Sir William Rowan Hamilton
(midnight, 3–4 August 1805 – 2 September 1865)

36. Umíme násobit body v prostoru?
Sir William Rowan Hamilton
(midnight, 3–4 August 1805 – 2 September 1865)

37. Násobení čtveřic

39. Gimbal lock
https://www.youtube.com/watch?v=zc8b2Jo7mno&t=38

40. Gimbal lock
"How about sending me a
fourth gimbal for Christmas?"
— Michael Collins,
Apollo 11 Command Module Pilot

41. Quaternions to the rescue!

42. Dirakův trik s páskem
https://vimeo.com/62228139

45. Prostor dyád
tón = frekvence až na oktávu = “kružnice”
dva tóny = součin dvou kružnic
dyáda = zapomenu pořadí

46. (ko)homologie

47. perzistentní topologie

48. perzistentní homologie

49. perzistentní topologie

50. perzistentní topologie

51. perzistentní topologie

52. perzistentní topologie

53. perzistentní topologie

54. kolaborační sítě
Za každý článek, který spolu dva autoři napsali přidám k jejich
vzdálenosti 1/(n-1) kde n je celkový počet autorů článku.

55. kolaborační sítě

58. Kempe’s theorem
❖ http://www.koutschan.de/data/link/index.html
❖ Kempe 1876

59. Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.
— David Hilbert