2. ¿Qué es un sistema de control ?
› En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos
que necesitan cumplirse.
En el ámbito doméstico
› Controlar la temperatura y humedad de casas y
edificios
En transportación
› Controlar que un auto o avión se muevan de un
lugar a otro en forma segura y exacta
En la industria
› Controlar un sinnúmero de variables en los
procesos de manufactura
3. En años recientes, los sistemas de control
han asumido un papel cada vez más
importante en el desarrollo y avance de la
civilización moderna y la tecnología.
Los sistemas de control se encuentran en
gran cantidad en todos los sectores de la
industria:
› tales como control de calidad de los productos
manufacturados, líneas de ensamble
automático, control de máquinas-herramienta,
tecnología espacial y sistemas de armas, control
por computadora, sistemas de transporte,
sistemas de potencia, robótica y muchos otros
5. El campo de aplicación de los sistemas
de control es muy amplia.
Y una herramienta que se utiliza en el
diseño de control clásico es
precisamente:
La transformada de Laplace
6. En el estudio de los procesos es
necesario considerar modelos
dinámicos, es decir, modelos de
comportamiento variable respecto al
tiempo.
Esto trae como consecuencia el uso de
ecuaciones diferenciales respecto al
tiempo para representar
matemáticamente el comportamiento
de un proceso.
7. El comportamiento dinámico de los
procesos en la naturaleza puede
representarse de manera aproximada
por el siguiente modelo general de
comportamiento dinámico lineal:
La transformada de Laplace es una
herramienta matemática muy útil para
el análisis de sistemas dinámicos lineales.
8. De hecho, la transformada de Laplace
permite resolver ecuaciones
diferenciales lineales mediante la
transformación en ecuaciones
algebraicas con lo cual se facilita su
estudio.
Una vez que se ha estudiado el
comportamiento de los sistemas
dinámicos, se puede proceder a diseñar
y analizar los sistemas de control de
manera simple.
9. MODELACIÓN MATEMÁTICA
Suspensión de un automóvil
Fuerza de
entrada
f(t)
∑ F = ma
z(t) f (t ) − kz (t ) − b
dz (t )
dt
=m
d 2 z (t )
dt 2
m
Desplazamiento,
salida del sistema
b
k
10. Suspensión de un automóvil
dz (t ) d 2 z (t )
f (t ) − kz (t ) − b =m
dt dt 2
Aplicando la transformada de Laplace a cada término
(considerando condiciones iniciales igual a cero)
F ( s ) − kZ ( s ) − bsZ ( s ) = ms 2 Z ( s )
[
F ( s ) = Z ( s ) ms 2 + bs + k ]
Z ( s) 1
= Función de
F ( s ) ms 2 + bs + k transferencia
11. MODELACIÓN MATEMÁTICA
Circuito eléctrico
di (t ) 1
ei (t ) = L
dt
+ Ri (t ) + ∫
C
i (t )dt
1
C ∫ i (t )dt = eo (t )
12. Circuito eléctrico
di (t ) 1 1
ei (t ) = L
dt
+ Ri (t ) + ∫C
i (t )dt
C ∫i (t )dt = eo (t )
Aplicando la transformada de Laplace
1 1
E i ( s ) = LsI ( s ) + RI ( s ) + I (s) I ( s ) = Eo ( s )
Cs Cs
Combinando las ecuaciones (despejando para I(s))
1
E i ( s ) = Ls[ CsEo ( s )] + R[ CsEo ( s )] + [ CsEo ( s)]
Cs
[
E i ( s ) = Eo ( s ) LCs 2 + RCs + 1 ]
Eo ( s ) 1 Función de
=
Ei ( s ) LCs 2 + RCs + 1 transferencia
13. Representa el comportamiento dinámico del
proceso
Nos indica como cambia la salida de un
proceso ante=un cambio en la entrada
Y (s) Cambio en la salida del proceso
X ( s ) Cambio en la entrada del proceso
Y ( s ) Respuesta del proceso
=
X (s) Función forzante
Diagrama de bloques
Entrada del Salida del proceso
proceso Proceso
(respuesta al
(función forzante o
estímulo)
estímulo)
14. Diagrama de bloques
Suspensión de un automóvil
Entrada 1 Salida
(Bache)
ms 2 + bs + k (Desplazamiento
del coche)
-3
10 x 10
3
8
2
6
4
1
2
0
0
-2 -1
-4
-2
-6
-8 -3
-10
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
-4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
4
x 10
16. TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL
(Es uno de los más utilizados para transformar
las ecuaciones diferenciales)
17. TEOREMA DE VALOR FINAL
(Nos indica el valor en el cual se
estabilizará la respuesta)
TEOREMA DE VALOR INICIAL
(Nos indica las condiciones iniciales)
18. Transformada Inversa De Laplace
K1 K2 20 5007.25
Ts ( s ) = Tv ( s ) + W ( s) Tv ( s ) = W (s) =
τ 1s + 1 τ 2s + 1 s s
K1 20 K 2 5007.25
Ts ( s ) = + =
τ 1s + 1 s τ 2 s + 1 s
0.381883 20 − 7.573947 x10 −4 5007.25 7.63766 3.792464
Ts ( s ) = + = −
1.712995s + 1 s 1.712995s + 1 s (1.712995s + 1) s (1.712995s + 1) s
Expansión en fracciones parciales
4.458658 2.213928 a1 a b1 b
Ts ( s ) = − = + 2− − 2
( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s
19. Transformada Inversa De Laplace
4.458658 4.458658
a1 = ( s + 0.583772)
( s + 0.583772) s
= = −7.6376
s =−0.583772 − 0.583772
4.458658 4.458658
a2 = ( s )
( s + 0.583772 ) s = = 7.6376
s =0 0.583772
2.213928 2.213928
b1 = ( s + 0.583772)
( s + 0.583772) s
=− = 3.792453
s =−0.583772 − 0.583772
2.213928 2.213928
b2 = ( s )
( s + 0.583772) s
=− = −3.792453
s =0 0.583772
7.637670 7.637670 3.792453 3.792453
Ts ( s ) = − + + −
( s + 0.583772) s ( s + 0.583772) s
Ts (t ) = −7.637670e −0.583772t + 7.637670 + 3.792453e −0.583772t − 3.792453 + Tss (Tss = temperatura inicial de salida)
( ) ( )
Ts (t ) = 7.637670 1 − e −0.583772t − 3.792453 1 − e −0.583772t + Tss
20. Temperatura del agua de salida – Lazo abierto
(sin control)
Tv(s) K1 Ts(s)
(Aumento de la
temperatura de vapor a
τ 1s + 1 (Aumento en la
temperatura de
la entrada ) agua a la salida)
Temperatura del agua de salida – Lazo
cerrado (con control)
Valor + 0.3819 Variable
Controlador 1.713s + 1 controlad
desead - Acción
o de a
control
21. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID
1 de(t )
m(t ) = Kc e(t ) +
τi ∫
e(t )dt + τ d
dt
Aplicando la transformada de Laplace
1
M(s) = Kc E(s) + E ( s ) + τ d sE ( s )
τis
M (s) 1
= Kc E(s) + E ( s ) + τ d sE ( s )
E (s) τis
M (s) 1
= Kc 1 + + τ d s
E (s) τis
Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el
valor medido
22. El sistema de control automático
Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con
control)
+
Valor Kc1 + τ1s + τ d s 0.3819 Variable
desead - i Acción 1.713s + 1 controlad
o de a
control
6 6
5 5
X0
: .683
Y: 4.91
4 4
3 3
2 2
1 1
0 0
-1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
