Questões de matemática da prova da ESCOLA NAVAL.

1. ESCOLA NAVAL 2015
1
01. (Esc. Naval 2015) Um gerador de corrente direta tem uma força eletromotriz de E volts e uma resistência interna de
r ohms. E e r são constantes. Se R ohms é a resistência externa, a resistência total é (r R)
+ ohms e, se P é a potência,
então
2
2
E R
P .
(r R)
=
+
Sendo assim, qual é a resistência externa que consumirá o máximo de potência?
a) 2r
b) r 1
+
c)
r
2
d) r
e) r(r 3)
+
02. (Esc. Naval 2015) O elemento químico Califórnio, 251
Cf , emite partículas alfa, transformando-se no elemento Cúrio,
247
Cm . Essa desintegração obedece à função exponencial t
0
N(t) N e ,
α
−
= onde N(t) é quantidade de partículas de 251
Cf
no instante t em determinada amostra; 0
N é a quantidade de partículas no instante inicial; e α é uma constante,
chamada constante de desintegração. Sabendo que em 898 anos a concentração de 251
Cf é reduzida à metade, pode-se
afirmar que o tempo necessário para que a quantidade de 251
Cf seja apenas 25% da quantidade inicial está entre
a) 500 e 1000 anos.
b) 1000 e 1500 anos.
c) 1500 e 2000 anos.
d) 2000 e 2500 anos.
e) 2500 e 3000 anos.

2. ESCOLA NAVAL 2015
2
03. (Esc. Naval 2015) Sejam f e g funções reais definidas por 2
4x 3,se x 0
f(x)
x 3x 2,se x 0
− ≥


= 
− + <


e 2
x 1,se x 2
g(x)
1 x ,se x 2
+ >


= 
− ≤


. Sendo
assim, pode-se dizer que (f g)(x)
 é definida por
a) 2
4 2
4x 1, se x 2
(f g)(x) 1 4x , se 1 x 1
x x , se x 1ou 1 x 2
+ >



= − − ≤ ≤


+ < − < ≤



b) 2
4 2
4x 1, se x 2
(f g)(x) 1 4x , se 1 x 1
x x , se x 1ou 1 x 2
− >



= − − ≤ <


+ < − ≤ ≤



c) 2
4 2
4x 1, se x 2
(f g)(x) 1 4x , se 1 x 1
x x , se x 1ou 1 x 2
+ ≥



= − − < <


+ ≤ − ≤ <



d) 2
4 2
4x 1, se x 2
(f g)(x) 1 4x , se 1 x 1
x x , se x 1ou 1 x 2
+ ≥



= − − < ≤


+ < − < <



e) 2
4 2
4x 1, se x 2
(f g)(x) 1 4x , se 1 x 1
x x , se x 1ou 1 x 2
+ >



= − − − ≤ ≤


− < − ≤ ≤



04. (Esc. Naval 2015) A soma dos três primeiros termos de uma P.G. crescente vale 13 e a soma dos seus quadrados 91.
Justapondo-se esses termos, obtém-se um número de três algarismos. Pode-se afirmar que o resto da divisão desse
número pelo inteiro 23 vale
a) 1
b) 4
c) 8
d) 9
e) 11

3. ESCOLA NAVAL 2015
3
05. (Esc. Naval 2015) Analise o sistema a seguir.
x y z 0
4x 2my 3z 0
2x 6y 4mz 0
+ + =


− + =

 + − =

Para o maior valor inteiro de m que torna o sistema acima possível e indeterminado, pode-se afirmar que a expressão
2
m 2 m
tg sec 1
4 3
π π
   
+ −
   
   
vale
a)
1
4
b)
9
4
c)
11
4
−
d)
7
4
e)
1
4
−
06. (Esc. Naval 2015) Três cones circulares 1 2
C , C e 3
C , possuem raios
R
R,
2
e
R
,
4
respectivamente. Sabe-se que
possuem a mesma altura e que 3 2 1.
C C C
⊂ ⊂ Escolhendo-se aleatoriamente um ponto de 1
C , a probabilidade de que
esse ponto esteja em 2
C e não esteja em 3
C é igual a
a)
1
4
b)
1
2
c)
3
4
d)
1
16
e)
3
16

4. ESCOLA NAVAL 2015
4
07. (Esc. Naval 2015) Em um polígono regular, cujos vértices A,B e C são consecutivos, a diagonal AC forma com o lado
BC um ângulo de 30 .
° Se o lado do polígono mede  unidades de comprimento, o volume da pirâmide, cuja base é esse
polígono e cuja altura vale o triplo da medida do lado, é igual a
a)
3
3 3
2

b)
2
3 3
2

c)
3
3
2

d)
3 3
4

e)
3
3 3
3

08. (Esc. Naval 2015) Um prisma quadrangular regular tem área lateral 36 6 unidades de área. Sabendo que suas
diagonais formam um ângulo de 60° com suas bases, então a razão do volume de uma esfera de raio 1 6
24 unidades de
comprimento para o volume do prisma é
a)
8
81π
b)
81
8
π
c)
8
81
π
d)
8
27
π
e)
81
8π

5. ESCOLA NAVAL 2015
5
09. (Esc. Naval 2015) Uma reta r passa pelo ponto M(1,1,1) e é concorrente às seguintes retas 𝑟𝑟1: �
𝑥𝑥 = −1 + 3𝑡𝑡
𝑦𝑦 = −3 − 2𝑡𝑡
𝑧𝑧 = 2 − 𝑡𝑡
𝑡𝑡 ∈ ℝ
e
𝑟𝑟2: �
𝑥𝑥 = 4 − 𝑡𝑡
𝑦𝑦 = 2 − 5𝑡𝑡
𝑧𝑧 = −1 + 2𝑡𝑡
𝑡𝑡 ∈ ℝ
.
Pode-se dizer que as equações paramétricas dessa reta r são
a) �
𝑥𝑥 = 1 + 𝑡𝑡
𝑦𝑦 = 1 + 2𝑡𝑡
𝑧𝑧 = 1 − 𝑡𝑡
𝑡𝑡 ∈ ℝ
b) �
𝑥𝑥 = 1 + 𝑡𝑡
𝑦𝑦 = 1 + 2𝑡𝑡
𝑧𝑧 = 1
𝑡𝑡 ∈ ℝ
c) �
𝑥𝑥 = 1 − 𝑡𝑡
𝑦𝑦 = 1 + 2𝑡𝑡
𝑧𝑧 = 𝑡𝑡
𝑡𝑡 ∈ ℝ
d) �
𝑥𝑥 = 1 + 𝑡𝑡
𝑦𝑦 = 1 − 2𝑡𝑡
𝑧𝑧 = 1
𝑡𝑡 ∈ ℝ
e) �
𝑥𝑥 = 1 + 2𝑡𝑡
𝑦𝑦 = 1 − 𝑡𝑡
𝑧𝑧 = 1
𝑡𝑡 ∈ ℝ

6. ESCOLA NAVAL 2015
6
10. (Esc. Naval 2015) As retas 1
r : 2x y 1 0;
− + = 2
r : x y 3 0
+ + = e 3
r : x y 5 0
α + − = concorrem em um mesmo ponto P
para determinado valor de 𝛼𝛼 ∈ ℝ. Sendo assim, pode-se afirmar que o valor da expressão
3 ( 3 ) 5 3
cos 3sen tg
3 8 2 6
απ α π απ
− − −
     
− −
   
 
     
é
a)
2
3 1
4
 
+
 
 
 
b)
3 2
2
4
−
c)
2
2
8
+
d)
2
3
4
+
e)
2
3 1
4
 
−
 
 
 
11. (Esc. Naval 2015) Seja ABCD um quadrado de lado ,
 em que AC e BD são suas diagonais. Seja O o ponto de
encontro dessas diagonais e sejam P e Q os pontos médios dos segmentos AO e BO, respectivamente. Pode-se dizer
que a área do quadrilátero que tem vértices nos pontos A, B, Q e P vale
a)
2
3
16

b)
2
16

c)
2
3
8

d)
2
8

e)
2
3
24

12. (Esc. Naval 2015) Considere os números complexos da forma n
z pcis (17 n), ,
50
π
 
= −
 
 
com 𝑛𝑛 ∈ ℕ ∗. O menor número
natural n, tal que o produto 1 2 n
z z z
⋅ ⋅ ⋅
 é um número real positivo, é igual a
a) 8
b) 16
c) 25
d) 33
e) 50

7. ESCOLA NAVAL 2015
7
13. (Esc. Naval 2015) Em uma P.G.,
2 2
4
2(k 1)
a
5k
+
= e
2
1 2
25k
a ,
4(k 1)
=
+
onde 𝑘𝑘 ∈ ℝ+
∗
. Para o valor médio M de k, no intervalo
onde a P.G. é decrescente, o resto da divisão do polinômio 5 4 2
5 5
P(x) x x 25x 10
4 2
= − + − pelo binômio
15
Mx
8
 
−
 
 
é
a)
1039
32
b)
1231
16
c)
1103
32
d)
1487
32
e)
1103
16
14. (Esc. Naval 2015) Uma função y f(x)
= é definida pelo determinante da matriz
2
3
x x 1 x 2
x x x 1 x
A
1 0 0 0
x 1 0 1
 
− −
 
 
−
=  
 
 
−
 
em cada 𝑥𝑥 ∈
ℝ tal que A é invertível. É correto afirmar que o conjunto imagem de f é igual a
a) ( , 4]
−∞
b) ℝ − {0, 4}
c) ( , 4] {0}
−∞ −
d) ( , 4)
−∞
e) [4, )
+∞
15. (Esc. Naval 2015) No limite 2
x 0
1 x (1 2ax)
lim ,
x
→
+ − −
o valor de a pode ser determinado para que tal limite exista. Nesse
caso, o valor do limite é
a)
1
4
−
b)
1
4
c)
1
8
d)
1
8
−
e) 0

8. ESCOLA NAVAL 2015
8
16. (Esc. Naval 2015) Calculando 3
x 0
tgx x x senx
lim
x senx tg x
→
 
− −
 
+
 
−
 
 
a)
7
3
b)
13
6
c)
5
2
d)
13
3
e)
7
6
17. (Esc. Naval 2015) Resolvendo
4
4
2
2tgx 2
sen (2x)
tg(2x)cos (2x)
cotg(2x)
sec (x)dx
e cos(4x) 1 sec (2x)
 
−
 
 
 
−
∫ encontra-se
a) 2x
1
e sen(2x) c
2
− +
b) 2tgx
1
e c
2
−
− +
c) 2x
1
e sen(2x) c
2
−
+
d) 2x
1
e cosx c
2
− +
e) 2x
1
e sec(4x) c
2
−
− +
18. (Esc. Naval 2015) O ângulo que a reta normal à curva C, definida por x 1
f(x) x ,
−
= no ponto P(2, 2), faz com a reta
r : 3x 2y 5 0
+ − = é
a) 2 1 2
arc cos((5 4 In2)(13(2 4 In2 4 In 2) ))
θ −
= + + +
b) 2 1 2
arc cos((5 4 In2)(13(2 4 In2 4 In 2) ))
θ −
= + − +
c) 2 1 2
arc cos((5 4 In2)(13(2 4 In2 4 In 2) ))
θ −
= + + −
d) 2 1 2
arc cos((5 4 In2)(13(2 4 In2 4 In 2)) )
θ −
= + + +
e) 2 1 2
arc cos((5 4 In2)(13(2 4 In2 4 In 2)))
θ −
= + + +

9. ESCOLA NAVAL 2015
9
19. (Esc. Naval 2015) As curvas representantes dos gráficos de duas funções de variável real y f(x)
= e y g(x)
=
interceptam-se em um ponto 0 0 0
P (x ,y ), sendo 0
x D(f) D(g).
∈ ∩ É possível definir o ângulo formado por essas duas curvas
no ponto 0
P como sendo o menor ângulo formado pelas retas tangentes àquelas curvas no ponto 0
P . Se 2
f(x) x 1,
= −
2
g(x) 1 x
= − e θ é o ângulo entre as curvas na interseção de abscissa positiva, então, pode-se dizer que o valor da
expressão
1 2
5 7
( 6 2) sen cos2 cossec
12 6
π π
θ
 
   
− + −
   
 
   
 
é
a)
82
5
b)
2
3
5
c)
68
25
d)
7
25
e)
17
2
5
20. (Esc. Naval 2015) Um plano 1
π contém os pontos M ( 1, 3, 2)
− e N ( 2, 0,1).
− Se 1
π é perpendicular ao plano
2 : 3x 2y z 15 0,
π − + − = é possível dizer que o ângulo entre 1
π e o plano 3 : x y 2z 7 0
π + + − = vale
a)
8 2
arccos
15
 
 
 
 
b)
4 2
arccot
15
 
 
 
 
c)
8 2
arccos
15
 
−
 
 
 
d)
61
arccos
45 2
 
 
 
e)
194
arc tg
16
 
−
 
 
 

10. ESCOLA NAVAL 2015
10
GABARITO
1 - D 2 - C 3 - A 4 - A 5 - ANULADA
6 - ANULADA 7 - A 8 - C 9 - ANULADA 10 - E
11 - A 12 - A 13 - ANULADA 14 - C 15 - D
16 - B 17 - ANULADA 18 - D 19 - E 20 - ANULADA