Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples, aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de las matemáticas, y otras más complejas, pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
2. Definición de conjuntos.
El conjunto de los números reales está formado por otros números como los naturales, enteros, racionales e
irracionales. Los números reales son infinitos y siguen un orden, pudiendo ser decimales y negativos.
El conjunto de los números reales abarca a los números
racionales y a los números irracionales, pudiendo ser
expresados por un número entero o un número decimal.
El descubrimiento de estos números se atribuye a Pitágoras,
famoso matemático griego.
3. Se encuentra compuesto por 4 sub conjuntos numéricos enumerados a continuación:
Números naturales
Números enteros
Números racionales
Números irracionales
Vamos a ver conocer cada uno de ellos.
Números naturales. Los Números naturales son los números más antiguos que ha utilizado el hombre y
también los más simples. Nacen de la necesidad de contar y cuantificar objetos. Se caracterizan por
siempre ser positivos y su símbolo es ℕ. Ejemplos de números naturales son: ℕ
= {0, 1, 2, 3,…}
Números enteros. Los Números enteros están compuestos por el conjunto de números naturales, sus
opuestos negativos y el cero. tienen lugar al momento de realizar operaciones del estilo 4 – 6, donde el
resultado ya no pertenece a los naturales, dando paso a los números negativos.En su representación,
los números positivos quedan del lado derecho, al centro el cero y a la izquierda los negativos.
Entendiendo que los números negativos son menores que el cero. El símbolo para los números enteros
es Z. Ejemplo de números enteros:
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
Los números enteros suelen emplearse como referencia a todas aquellas cantidades (positivas y
negativas) que no poseen números decimales.
Números racionales. Los Números racionales son todos aquellos números representados por el cociente
de dos números enteros.Los números racionales se escriben como fracciones cuando tienes la
necesidad de representar cocientes inexactos o con una cantidad de decimales cíclica o finita.
Una fracción o número racional está compuesta por tres elementos: un numerador, una operador de
cociente (/, : o ÷) y un denominador. El símbolo para representar los números racionales es Q.
Ejemplos de números racionales: Q = {…, -3:4, -1/2, 0,…, 33÷4,…}
Operaciones con conjuntos.
Números racionales. Los Números Racionales son todos aquellos números representados por el
cociente de dos números enteros. Los números racionales se escriben como fracciones cuando
tienes la necesidad de representar cocientes inexactos o con una cantidad de decimales cíclica o
finita.Una fracción o número racional está compuesta por tres elementos: un numerador, una
operador de cociente (/, : o ÷) y un denominador. El símbolo para representar los números racionales
es Q. Ejemplos de números racionales:
Q = {…, -3:4, -1/2, 0,…, 33÷4,…}
4. Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen uno o más valores desconocidos. Resolverla es encontrar el conjunto de todos los números reales para los cuales es verdadera.
Para resolver una inecuación se utilizan las propiedades de las desigualdades y de los números reales que conducen a una desigualdad equivalente. Esto significa que la nueva desigualdad tiene el mismo conjunto de soluciones que la dada.
Todos los números que satisfacen la desigualdad constituyen el conjunto solución.
Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad 2x + 4 < 5.
Para resolver la inecuación se debe transformarla paso a paso, aplicando propiedades hasta obtener el conjunto solución.
Números reales Desigualdades.
· se suma - 4 a ambos miembros: 2x + 4 + (- 4) < 5 + (- 4) 2x < 1
· se multiplican ambos miembros por :
La solución es el conjunto de todos los valores reales de x menores que . Por lo tanto, el conjunto solución es S = . Gráficamente:
: x <
Ejemplo. Encuentre los valores de x que verifican la desigualdad - 5x + 8 ³ 3.
La solución se obtiene de la siguiente manera:
· se suma - 8 a ambos miembros: - 5x + 8 + (- 8) ³ 3 + (- 8) - 5x ³ - 5
· Se multiplican ambos miembros por . Como el número es negativo se invierte el sentido de la desigualdad: .(- 5x) £ .(- 5) Þ x £ 1 Graficamente
El conjunto solución es S = {x / x £ 1}
Nota. Si la representación gráfica del conjunto solución
es: x ³ a x £ a
esto indica que el extremo a está incluido en el mismo.
Si la representación gráfica del conjunto solución es:
x > a x < a
esto indica que el extremo a no está incluido en el mismo.
Para representar el conjunto de soluciones se utilizan los
intervalos. Se analizan a continuación qué tipo de
intervalos pueden definirse sobre la recta real.
5. Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando
es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
Definición de valor absoluto.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
|x|< 2 − 2< x < 2 x (−2, 2 )
|x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞ , −2) ∪ (2,
+∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7
6. Desigualdades de
valor absoluto
Una desigualdad con valor absoluto es una expresión con la función valor
absoluto, así como también con los signos de valor absoluto. Por ejemplo, la
expresión ∣x+5∣>2 es una desigualdad con valor absoluto que contiene un
signo “mayor que”.
Tenemos cuatro símbolos de desigualdades diferentes: mayor que (>), menor
que(<), mayor o igual que (≥) y menor o igual que (≤).
EJEMPLOS
Las siguientes son desigualdades con valor absoluto:
*∣x+1∣<3
*∣x−2∣≥5
*∣x+5∣>1
7. Ejercicios para resolver.
Encuentra la solución de cada una de las siguientes inecuaciones, o sistemas de inecuaciones y gráfica su conjunto solución.
1)
2)
3)
