El documento presenta información sobre conceptos básicos de geometría analítica como el plano cartesiano, distancia entre puntos, punto medio, ecuaciones y trazado de circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas y secciones cónicas. Explica fórmulas y métodos para representar estas figuras geométricas en el plano cartesiano y calcular sus elementos a partir de puntos y coordenadas dados.
2. Definicion.
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está
representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la
hipérbola, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.
3. Distancia.
A partir de conocer la ubicación de dos puntos en el plano cartesiano, es posible determinar la distancia que hay entre éstos. Cuando
algún punto se encuentra en el eje de las x o de las abscisas o en una recta paralela a éste eje, la distancia entre los puntos corresponde al
valor absoluto de las diferencia de sus abscisas. (x 2 – x 1 ).
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0).
Donde (-4) = x 1 ; 5 = x 2. Aplicando la fórmula es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Lo mismo sucede con el eje de las ordenadas, cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. (y 2 – y 1 ).
Si los puntos se encuentran en cualquier lugar del plano cartesiano, se calcula mediante la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) en el sistema de coordenadas, luego formar un
triángulo rectángulo de hipotenusa P 1 P 2 y emplear el Teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
4. Punto Medio.
El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es un
segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales.
Sean y los extremos de un segmento, el punto medio del segmento viene dado por:
Ejemplos para el cálculo del punto medio
1 Dados los puntos y ,
hallar las coordenadas del punto medio del
segmento que determinan.
Utilizando la formula de las coordenadas del
punto medio tendremos
entonces
5. Ecuaciones y trazado de circunferencia.
Para lograrlo debemos conocer dos elementos importantes:
El centro de la circunferencia (C), dado por sus coordenadas
El radio (r) de la misma circunferencia
Definido esto, tendremos dos posibilidades: A) Circunferencia con centro (C) en el origen de las coordenadas; expresado como C (0, 0)
B) Y circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas; expresado, por ejemplo, como C (3, 2).
A continuación analizaremos tres casos
Veamos la gráfica siguiente:
Los datos que nos entrega son:
Centro: C (0, 0), el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y
radio: r = 3, lo indica el 3 en cada una de las coordenadas.
Recordar esto:
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación
para expresar dicha circunferencia en forma analítica (Geometría analítica). Esta ecuación se conoce como
ecuación reducida.
Para la gráfica de nuestro ejemplo, reemplazamos el valor de r en la fórmula y nos queda como la ecuación
reducida de la circunferencia graficada arriba.
01
6. 02
Veamos la gráfica siguiente:
Los datos que nos entrega son:
Centro: C (0, 0), el centro se ubica en el origen de las coordenadas x e y
radio: r, lo desconocemos, pero tenemos un dato: el punto P (3,4) ubicado en la circunferencia.
Recordemos de nuevo:
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación
para expresar dicha circunferencia en forma analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación reducida.
Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la fórmula , pero resulta que no lo conocemos.
Entonces, a partir del dato P (3, 4) podemos calcular el valor del trazo que une este punto con el centro C (0, 0) (trazo PC con línea punteada en la figura), el cual
corresponde al radio de la circunferencia dada.
¿Cómo calculamos el valor de la distancia (d) entre P y C (el radio de la circunferencia)?
Para calcular la distancia (d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente fórmula:
No olvidemos que esta fórmula es para encontrar o conocer la distancia entre dos puntos; por lo mismo, debemos saber que en ella representa al punto 1,
y ese punto 1 (P1) lo haremos corresponder con el punto que pasa por el centro C (0, 0) representa al punto 2, y ese punto 2 (P2) lo haremos
corresponder con el punto que pasa por P (3, 4).
Es muy importante conocer o designar este orden ya que
Establecido este orden o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para conocer la distancia (d) entre los dos
Puntos que nos interesan, la cual será nuestro radio:
El 5 nos indica la distancia entre los dos puntos, el centro de la circunferencia y uno de sus puntos, lo cual corresponde al radio.
recapitulemos:Para expresar u obtener la ecuación de una circunferencia cuyo centro está en el origen, necesitamos conocer el centro, ya sabemos
que es C (0, 0), y conocer el radio, que ahora sabemos que es 5.
¿Se acuerdan cuál es la fórmula?Esta:
Reemplazamos en ella el valor del radio, y nos queda
como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba
(en la cual nos indicaron un centro y un punto en ella).
7. 03
Tenemos la gráfica de una circunferencia cuyo centro (C) es el origen de las coordenadas (0, 0), y nos dan dos puntos opuestos en la
circunferencia, , A (-3, -2) y B (3, 2), los cuales unidos corresponden al diámetro de la misma.
Recordemos de nuevo:
Cuando el centro (C) de la circunferencia sea (0, 0) se usará la ecuación para expresar dicha circunferencia en forma
analítica. Esta ecuación se conoce como ecuación reducida.
Para la gráfica de nuestro ejemplo, deberíamos colocar el valor de r en la fórmula , pero resulta que no lo conocemos.
Pero tenemos identificados dos puntos opuestos en la circunferencia, los cuales unidos entre sí (la línea punteada entre A y B en la
gráfica) representan al diámetro de la misma. Entonces, a partir de esos puntos, A (-3, -2) y B (3, 2), podemos calcular el valor del trazo que los une (trazo AB con línea
punteada en la figura), el cual corresponde al diámetro de la circunferencia dada.
¿Cómo calculamos el valor de la distancia (d) entre A y B (el diámetro de la circunferencia)?
Para calcular la distancia (d) entre dos puntos (encontrar su valor) contamos con la siguiente fórmula:
No olvidemos que esta fórmula es para encontrar o conocer la distancia entre dos puntos; por lo mismo, debemos saber que en ella representa al punto 1, y
ese punto 1 (P1) lo haremos corresponder con el punto A (-3, -2)
representa al punto 2, y ese punto 2 (P2) lo haremos corresponder con el punto B (3, 2).
Es muy importante conocer o designar este orden ya que
Establecido este orden o equivalencia, podemos sustituir los valores en la fórmula anterior para conocer la distancia (d) entre los dos puntos que nos interesan.
L la cual será nuestro diámetro
El 7,2 (valor aproximado) nos indica la distancia entre los dos puntos, A y B, la cual corresponde al diámetro de la circunferencia. Para
conocer el valor del radio, simplemente dividimos por 2 dicho diámetro, y nos queda r = 3,6
Conocido el radio lo reemplazaremos en la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen de las coordenadas, que es:
la cual nos queda
como la ecuación reducida de la circunferencia graficada arriba (en la cual nos indicaron un centro y dos
puntos opuestos en ella).
Esta ecuación también podía obtenerse haciendo el cálculo para la distancia entre uno de los puntos dados y
el centro, como se vio en el caso 2.
8. Parabola
La parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como el
lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F,
llamado foco, y de una recta fija d, llamada directriz. Tiene un vértice v y un
eje de simetría que pasa por v y por el foco y es perpendicular a la directriz.
La tangente en el vértice de la curva es paralela a la directriz.
El vértice, como otro punto cualquiera, es equidista de la directriz y del foco,
por lo tanto estará colocado en el punto medio del segmento AF.
La directriz de la curva hace de circunferencia focal de la parábola, en este
caso de radio infinito. Según esto, la directriz es el lugar geométrico de los
puntos simétricos del foco respecto de cada tangente.
La tangente en el vértice, que es una recta, hace de circunferencia principal
y se define como en las curvas anteriores.
El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde
ésta corta al eje de la curva.
9. Elipse.
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Ecuaciones de la elipse.
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c,
y0). Y la ecuación de la elipse será:
Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:
Donde A y B tienen el mismo signo.
Ejemplo: Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).
Dada la elipse de ecuación ,
Hallar su centro,semiejes, vértices y focos.
10. .
En la gráfica anterior, esto significa que para cualquier punto de la hipérbola.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos
llamados focos es constante en valor absoluto.Hipérbola con excentricidad
Hiperbola.
Excentricidad de la hipérbola
.
Ejemplos:
La excentricidad es un parámetro que indica la abertura de la hipérbola. Este número, en el caso de las hipérbolas, siempre es mayor que .
*Hipérbola con excentricidad
*Hipérbola con excentricidad .Esta
hipérbola recibe el nombre de hipérbola
equilátera pues sus asíntotas están dadas por *Hipérbola con excentricidad
*Hipérbola con excentricidad
11. Representación gráfica de las
ecuaciones canónicas.
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes
intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas
propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
En función de la relación existente entre el
ángulo de conicidad (α) y la inclinación del
plano respecto del eje del cono (β), pueden
obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
■ β < α : Hipérbola (naranja)
■ β = α : Parábola (azulado)
■ β > α : Elipse (verde)
■ β = 90º: Circunferencia (un caso
particular de elipse) (rojo)
■ Y β= 180º : Triangular
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede
comprobar que:
■ Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
■ Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono
(el plano será tangente al cono).
■ Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que
se cortan en el vértice.
■ Cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá
aumentando a medida β disminuye,cuando el plano contenga al
eje del cono (β = 0).
