Este documento trata algunos temas sobre el calculo proposicional como: -Tablas de verdad -Tautologia y contradiccion -Equivalencia logica -Algebra de proposiciones -Leyes del algebra de Proposiciones -Razonamiento -Validez de un razonamiento -Demostracion matematica -Elementos de la demostracion matematica -Demostracion por contradiccion -Funciones de la demostracion matematica

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
UNIDAD DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
ÁREA: EDUCACIÓN Y SERVICIOS
MATEMATICAS
TEMA:
AUTORES:
 EVELYN VACA
KATHERIO GUSQUI
BELEN CASTILLO
DANIELA NAVAS
TANYA SANCHEZ
PARALELO:
EM3
OCTUBRE 2015- MARZO 2016

2. INTRODUCCION
Aprender matemáticas es algo difícil, para los estudiantes, ya que esta ciencia exacta no la
relacionan los conocimientos que se tiene de la escuela como: leyes, teoremas, formulas,
entre otras. con los problemas que se le presentan en la vida real; pues el aprendizaje no es
significativo.
La lógica estudia la forma del razonamiento y es ampliamente aplicada en la filosofía,
matemáticas, computación, física. Para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que
una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el
significado es correcto.
En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser
aplicados en investigaciones. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier
trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico,
En este documento primeramente se establece la importancia de la lógica matemática,
después definimos el concepto de proposición. Se establece el significado y utilidad de
conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Definimos tautología,
contradicción y contingente, y proporcionamos una lista de las tautologías más importantes,
así mismo explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos
de tablas de verdad. Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por
contradicción, en donde incluye reglas de inferencia.
JUSTIFICACION:
El presente trabajo trata de motivar a los estudiantes para que con ayuda de la lógica
matemática pueda ser capaz de encontrar estas relaciones entre los diferentes problemas de
aprendizaje, para que de esta manera puedan crear nuevos conocimientos.
Ya que la mayoría de los libros únicamente se quedan en explicación y demostración de
reglas de inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendrá
problemas para resolver ejercicios relacionados.
De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia
solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de
inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.
Por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto
procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea.
Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no
puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes
no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es
zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el
caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

3. La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca
se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos
conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya
existentes o simplemente utilización de los mismos.
Objetivo General:
El objetivo general del presente proyecto es incentivar al alumno a que aprenda a resolver
ejercicios de lógica matemática utilizando el método directo, contradicción tautología y
tablas de verdad.
Objetivo Específico:
Aprender a utilizar de manera correcta la lógica matemática en la vida diría más no solo se
quede en un simple concepto.
Resolver ejercicios de una manera más dinámica y directa utilizando tabla de valores.
Obtener mejores conocimientos sobre cada uno de estos temas que serán de suma
importancia en nuestra vida futura.
MARCO TEORICO
TABLAS DE VERDAD
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad
de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda
asignar a sus componentes.
Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular
es el que introdujo
Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.
A B C2
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
A B C1
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V

4. En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta
todo lo que implican las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.
No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.
La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4
variables.
Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no
presenta dificultad alguna.
Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la
proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como
hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología.
Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:
Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como
premisas de un argumento.
Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues
garantizan, por su carácter tautológico, el valor V).
Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien
formadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas.
Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que
haya contenidas en las premisas.
Cuando en un cálculo se establecen algunas leyes como principios o axiomas, el cálculo se
dice que es axiomático.
El cálculo lógico así puede utilizarse como demostración argumentativa.
EJEMPLOS:
ENLAZA CADA PREPOSICIÓN CON SU FORMALIZACIÓN
“Llueve”= p “Hace sol”=q “Las brujas se penan”=r
1 Llueve y hace sol P ^ q

5. 2 No es cierto que si llueve y hace sol
las brujas no se peinan
r<-> (p ^q)
3 Las brujas se peinan si únicamente
llueve y hace sol
¬r->(¬ p v ¬ q)
4 Cuando las brujas no se peinan no
llueve o no hace sol
¬[( 𝑝^𝑞) → 𝑟]
5 Llueve y las brujas no se peinan o
bien hace sol y las brujas no se
peinan
(p^¬r)v(q^¬r)
“las estrellas emiten luz”=p; “los planetas reflejanla luz”=q;
”los planetas giran alrededor de las estrellas”=r
TAUTOLOGIAS Y CONTRADICCION
1 Si las estrellas emiten luz, entonces los planetas las
reflejan y giran alrededor de ellas
(pvq)^r
2 Las estrellas emiten luz o los planeta la reflejan
y,por otra parte, los planetas giran alrededor de
ellas
¬(p^q)->¬r
3 Los planetas reflejan luz si y solo si las estrellas la
emiten y los planetas giran alrededor de ellas
p-> (p^r)
4 Si no es cierto que las estrellas emiten luz y que los
planetas la reflejan, entonces esos no giran
alrededor de ellas
Q(q^r)

6. •TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas
las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones componentes. Dicho de otra
forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman,
sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el
caso:
•CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella
proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F.
Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que
la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con
otras. Sea el caso:
EJEMPLOS DE TAUTOLOGÍA:
p ^ q --> p
p q p^q p ^ q --> p
V V V V
V F F V
F V F V
F F F V
A ¬ A AV ¬ A
V
F
F
V
V
V
A ¬ A A ^¬ A
V
F
F
V
F
F

7. (p --> q) ^ ¬q --> ¬p
p q ¬p ¬q p --> q p --> q ^ ¬q (p --> q) ^ ¬q --> ¬p
V V F F V F V
V F F V F F V
F V V F V F V
F F V V V V V
(p --> q) ^ (q --> r) --> (p --> r)
p q r p --> q q --> r
(p --> q) ^ (q --
> r)
p --> r
(p --> q) ^ (q --> r) -
-> (p --> r)
V V V V V V V V
V V F V F F F V
V F V F V F V V
V F F F V F F V
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
EJEMPLOS CONTRADICCIÓN:
[(p --> q) ^ (q --> r)] ^ ¬(p --> r)

8. p q r p --> q q --> r
p --> q
^ q --> r
p --> r ¬(p --> r)
(p --> q) ^ (q --> r)] ^
¬(p --> r)
V V 1 V V V V F F
V V 0 V F F F V F
V F 1 F V F V F F
V F 0 F V F F V F
F V 1 V V V V F F
F V 0 V F F V F F
F F 1 V V V V F F
F F 0 V V V V F F
p^¬p
LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Leyes Idempotentes: Leyes de Morgan:
p p ≡ p ~ ( p q) ≡ ~ q ~ p
p p ≡ p ~ ( p q) ≡ ~ q ~ p
Leyes conmutativa: Leyes del condicional:
p q ≡ q p p → q ≡ ~ p q
p q ≡ q p p → q ≡ ~ q → ~ p (contra recíproco)
p ¬p p^¬p
V F F
F V F

9. Leyes de identidad o elemento neutro: p → q ≡ (p ~ q → 0) (reducción)
p 0 ≡ p Leyes del bicondicional:
p 1 ≡ p p ↔ q ≡ (p → q) (p → q)
Leyes de dominación: p ↔ q ≡ (p q) ( ~ p ~ q)
p 1 ≡ 1 p ↔ q ≡ ~ (p ⊻ q)
p 0 ≡ 0 Ley de la disyunción exclusiva:
Leyes de complementación: p ⊻ q ≡ (p ~ q) ( q ~ p)
p ~ p ≡ 1 (tercer excluido) Leyes de absorción:
p ~ p ≡ 0 (contradicción) p ( p q) ≡ p
~ ~ p ≡ p (doble negación) p ( p q) ≡ p
~ 1 ≡ 0 p (~ p q) ≡ p q
~ 0 ≡ 1 p (~ p q) ≡ p q
Leyes asociadas: Leyes distributivas:
(p q) r ≡ p (q r) p (q r) ≡ ( p q) ( p r)
(p q) r ≡ p (q r) p (q r) ≡ ( p q) ( p r)
La Demostración de estas leyes se puede realizar mediante el uso de Tablas de Verdad o por
deducción utilizando otras leyes del Álgebra de Proposiciones.
RAZONAMIENTOS
Definición:
Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de
proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico
principal; y, una proposición final denominada conclusión. Las premisas o hipótesis
corresponden al antecedente de la implicación, mientras que la conclusión es su consecuente.
[H1 ^ H2 ^ H3… ^ Hn] → C

10. Conjunción de Hipótesis CONDICIONAL Conclusión
ANTECEDENTE Operador Lógico Consecuente
VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO
Definición:
Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura lógica
es una tautología. Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia, entonces
el razonamiento no es válido, en cuyo caso se denomina falacia.
p q r q r H1
p → ( q r)
H2
~ q H1 H2
C
~ p [ 𝑯𝟏 𝑯𝟐]
→ 𝐂
0 0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 0 0 0 1
Puesto que la forma proposicional resulto tautológica, podemos concluir que el razonamiento
es válido.
Otro método para determinar la validez de este razonamiento consiste en la utilización de las
propiedades de los operadores lógicos:
[(𝒑 → ( 𝒒 𝒓)) ~ 𝐪] → ~ 𝐩
~[(𝑝 → ( 𝑞 𝑟)) ~ q] ~ p
~[(~p (q r)) ~ q ] ~ p
~(~p (q r)) ~ (~q) ~p

11. (~(~p) ~(q r)) ~(~q) ~p
( 𝑝 ~(q r)) 𝑞 ~ 𝑝
( 𝑝 (~ q ~ r)) 𝑞 ~ 𝑝
( 𝑝 ~ q) (p ~ r)) ( 𝑞 ~ 𝑝)
( 𝑝 ~ q) (p ~ r)) ~( 𝑝 ~ 𝑞)
[( 𝑝 ~ q) ~(p ~ q)] (p ~ r)
1 (p ~ r)
1
Por la ley de la implicación
Por la ley de la implicación
Por la ley de Morgan de la conjunción
Por la ley de Morgan de la disyunción
Por la ley de la doble negación
Por la ley de Morgan de la conjunción
Por la ley distributiva de la conjunción
Por la ley de Morgan de la conjunción
Por la ley asociativa de la disyunción
Por la ley del tercero excluido
Por la ley de absorción de la disyunción

12. Ejemplo: Demostración por reducción al absurdo.
Las hipótesis y la conclusión son:
H1: a→b
H2: c→¬b
H3: cѵ¬d
C: ¬a
La estructura lógica del razonamiento será:
[(a→b) ⋀ (c→¬b) ⋀ (cѵ¬d)]→¬a
A partir de esta proposición puede obtenerse la siguiente forma proposicional:
A⟺ [ (p→q) ⋀ (r→¬q) ⋀ (rѵ¬s)] →¬p
(p→q) = 1 (r→¬q) =1 (rѵ¬s)] =1 ¬p = 0
p→q = 1
1→q = 1
q = 1
r→¬q = 1
r → 0 = 1
r = 0
rѵ¬s = 1
0 ѵ ¬s = 1
¬s = 1
s = 0
¬ p = 0
p = 1
DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA
Son pasos sucesivos que permiten la coherencia de algún problema relacionado a algo
específico, se toma un conjunto de premisas como algo verdadero, de las mismas se
obtienen una demostración que en sí, nos permiten fortalecer la tesis, x hipótesis o
Conclusiones. Debemos acotar que para llegar a la conclusión se siguen una serie de
reglas o pasos con secuencia lógica.
Por otra parte también se puede deducir que; una demostración es sencillamente,
comprobar que alguna afirmación es verdadera en todos los casos posibles que estipula,
siguiendo pasos lógicos que llevan de la proposición p a la proposición q. Para esto hay
muchas formas de hacerlo: demostración directa, demostración por contradicción,
demostración por definición, contraejemplo, enumeración (para casos enumerarles),
inducción matemática. Cada método es un método lógico con nombre en latín, pero para
nuestro interés bastará con esto.

13. A continuación detallaremos un ejemplo:
Esto se puede comprobar con el teorema de Pitágoras, que recibe su nombre del
matemático y filósofo griego del siglo v a.c. Pitágoras, y que establece que en un triángulo
rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
A2+ B2 = C2
ELEMENTOS DE LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA
 Basarse en conocimientos previos.
 Probar su verdad.
 Empezar desde la hipótesis y llegar a la tesis.
 Encadenar una serie de razonamientos deductivos.
 Aplicar propiedades, principios o leyes.
 Es un razonamiento.
 Se debe verificar que una proposición matemática es verdadera o es falsa.
 Es una cuestión lógica.
 Es para que nos demos cuenta que es algo que existe por lógica.
 Es un procedimiento.
 Es encontrar la validez de un razonamiento lógico.
DEMOSTRACIÓN POR EL CONTRA-EJEMPLO
Cuando hemos probado la validez de la implicación p= → q, frecuentemente se trata de
investigar la validez de la reciproca q = → p. Empezamos analizando casos particulares
que satisfagan la hipótesis q y confrontamos la validez o no de la conclusión p. Si damos
un ejemplo donde la conclusión resulta falsa, tenemos que q Λ ― p es verdadera. Puesto
que ― (q = → p) ↔ q Λ ― p se sigue por las reglas de inferencia que ― (q = → p) es
verdadera y por lo tanto q = → p es falsa.
El determinar la falsedad de q = → p mediante un caso particular se denomina un
contraejemplo.
Ejemplo:

14. Si n es un entero primo entonces n es impar. Es una implicación falsa porque n = 2 es
primo y sin embargo es par. En este caso, n = 2 es un contraejemplo.
DEMOSTRACIÓN POR CONTRADICCIÓN:
Este tipo de demostración tiene su sustentación en las siguientes equivalencias lógicas:
1. ― (H = → T) ↔ H Λ ― T
2. H Λ ― T = → R Λ ― R ↔ H → T
El método consiste en suponer que el contenido del teorema es falso. Según 1, esto
significa que siendo la hipótesis H verdadera la conclusión T puede ser falsa. En todo
razonamiento las premisas se toman como verdaderas. Por eso se escribe el supuesto H
Λ ― T.
Este supuesto tiene como consecuencia lógica la contradicción R Λ ― R y según 2 esto
implicaría que H= → T es verdadera, lo cual finaliza la demostración.
FUNCIONES DE LA DEMOSTRACION MATEMATICA
 Verificación (concerniente a la verdad de una afirmación).
 Explicación (profundizando en por qué es verdad).
 Sistematización (organización de resultados dentro de un sistema axiomático).
 Descubrimiento (descubrimiento/invención de nuevos resultados).
 Comunicación (transmisión del conocimiento matemático)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Indique si cada enunciado es o no una proposición:
a) La edad de Gloria es de 17 años
b) ¡Pare por favor!
c) Mi familia y yo viajaremos a la Sierra en fin de año
d) 3 es un número par
e) Los números divisibles para 8 son divisibles para 2
2. Sean las proporciones:

15. P: José es estudioso
Q: Juan es estudioso.
Escribir en forma simbólica:
a) José es estudioso y Juan no es estudioso.
b) José no es estudioso y Juan es estudioso.
c) José y Juan, no son estudiosos.
d) No es cierto que Juan o José sean estudiosos.
3. Verificar, utilizando tablas de verdad, cuáles de las siguientes proposiciones
son equivalentes:
a) p∨ ∼ q
b) ∼ p ∨ q
c) (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)
d) (p∨ ∼ q) ∧ (∼ p ∨ q)
4. Pruebe que son tautologías:
a) [p ∨ (p ∧ q) ⇔ p]
b) (p ∧ q) ⇒∼ (∼ p∧ ∼ q)
c) q ⇒ (p ⇒ q)
5. Para cada enunciado escriba su recíproco, contrario y su contrarrecíproco.
a) Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rombo.
b) Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rectángulo.
c) Si una figura plana es un rectángulo, entonces es un paralelogramo.
d) Si una figura plana es un rombo, entonces sus diagonales son perpendiculares.
e) Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces es isósceles.
6. Simbolizar:
a) La situación mejora si y sólo si, se hace una buena planificación o no se dilapidan
los fondos de la institución.
a) Si el chofer estaba embriagado, entonces no es cierto que la empresa controla a
su personal o que los somete a una cuidadosa selección.
b) Sergio recibe cursos a distancia o, si permanece en Lambayeque, estudia en la
Universidad.

16. 7. Seleccionar tres leyes del algebra proposicional y demostrar si son
equivalencia o implicación lógica
a) [( 𝑝 → 𝑞) ∧ (q → r)] ⇒ (p → r)
b) [( 𝑝 → 𝑞) ∧ p]⇒ q
c) [( 𝑝 → 𝑞) ∧ ∼ q ] ⇒ ∼ p
8. Empleando algebra proposicional, identifique cuál de las siguientes formas
proposicionales no es tautología.
a) [ 𝑝 ∧ (p → q) ] → 𝑞
b) [( 𝑝 → 𝑞) ∧ (q → r)] → ( 𝑝 ∧ 𝑟)
9. Sean las proposiciones:
P: “la navidad se celebra en agosto”
Q: “13 es un numero par”
Escriba la proposición resultante de la disyunción inclusiva y determine su valor
de verdad.
10. La traducción al lenguaje formal de la proposición “Si tú eres inteligente y no
actúas con prudencia, eres ignorante en la materia” siendo las proposiciones:
a) Tú eres inteligente
b) Tú actúas con prudencia
c) Tú eres un ignorante en la materia
Es:
a) (𝑎 ∧ ∼ b) → c
b) ( 𝑎 ∧ ∼ c) → 𝑏
c) 𝑎 → ∼ (b ∧ ∼ c)
CONCLUSIONES:
Se concluye que la lógica matemática no solo se aplica en ejercicios prácticos sino
también en la vida diaria.
Además se aprendió a resolver ejercicios de una manera más dinámica y directa
utilizando tabla de valores y con aplicación de la lógica.
RECOMENDACIONES:
Se espera que este documento no solo se lo aplique como un tema más sino se lo utilice
de la mejor manera en la vida diaria utilizando la lógica y siguiendo cada uno de los
pasos planteados.

17. RECUPERADO EN:
a. https://angelarendon.wordpress.com/2011/10/20/3-1-4-tautologias-
contradiccion-y-contingencia-2/
b. http://www.mitecnologico.com/Main/TablasDeVerdad#sthash.KqeZswLt.dpuf
c. http://www.url.edu.gt/PortalURL/Biblioteca/Contenido.aspx?o=5238&s=49
d. Irving y Cohen (2007). Introducción a la Lógica. México: Limusa
e. Rosales F(2010).Lógica Jurídica: Instrumento indispensable para el Juez y el
Abogado litigante.
f. Sáenz J.(2005). Fundamentos de la Matemática. Barquisimeto: Hipotenusa.