1. ( Rotational an
( rigid object )
( pure rotational motion
1

2. (Angular disp
O xy
P O r
r ( O
q x q
r x y
P (arc) s
(radian : rad)
O
(
z)
2

3. s r
6.1a
s
6.1b
r
o
o
P Q t
(the angular displace
f i
i = initial : f = final
3

4. P Q
t = tf-ti
f- i
( the average angular
speed) (omega bar)
t
f i
t f ti
4

5. (instantaneous angular speed)
t t
lim
t o t t
rad/s s- radian
i f t
(the average angular acceleration )
t
5

6. f i 6.5
t f ti t
6

7. / t
t
d
lim
t 0 t dt
6.6
radians/second
7

8. ( angular position) ( an
( angular acceleration )
v (linear speed) a (linea
x,v,a
xy
the right hand rule )
a
8

9. (The rotational motion with constant angular a
d dt ti = , tf = t integrate
f t
t
i 0
f i t 6.7
integrat
d
i t
dt
9

10. f t t
d i 0dt tdt
0
i
1 2
f i i 2 t
t
6.8
t
2 2 2 (
f i f i) 6.9
10

11. f i t
vf vi at
1 2
1 2 f i i 2 t
t
xf xi at at
2
2 2 2 (
v2 vi 2a(x f xi )
2 f i f i)
f
11

12. . Rotating wheel
. rad/s ti
(a) t= s
(b) t= s
(a) f i t
1 2
i 2 t
1 2
i 2 t
t
1
(2.00 /s)( .00)
rad 2 s (3.50 /s2)( .oos
rad 2 )2
2
110rad
.
(11 )( .3deg ) 630 ree
rad57 ree deg
12

13. (b) f i t
f (2.00 /s) (3.50 /s2)(2.00 )
rad rad s
f 9.00 /s
rad
13

14. The angular an
P
ds
velocity) v
dt
P s r
O P
14

15. ds d
v r
dt dt
d
dt
v r 6.10
r
v
at P v
15

16. dv d
at r
dt dt
at r 6.1
1
v /r v r
P
v2 6.1
ar r 2
r
2
   
a at ar P at
a P
16

17. a 2 2
at ar r2 2 r2 4 r 2 4 6.13
ar
P a = at + ar
17

18. . CD player
CD
CD
CD
A compac
CD
. m/s
18

19. (a)
r= mm track r= mm
track
v 1.3m/s
i r 23 10 3m 565rads
. /
i
565rads
. / 2 /
60 /min 5.4 10 revmin
s
2 radrev
/
19

20. track
v 1.3m/s
f rf 5.8 10 2m 224rads
. /
224rads
. / 2 /
60 /min 2.1 10 revmin
s
2 radrev
/
20

21. (b) CD
(74 60 /min) (33) 4473
min s s s (
1
f ( i f
)
2
1
f i 2( i f )t
1 1min 4
0 (540 /min 210 /min)( 4473 2.8 10 rev
rev rev s)
2 60
s
21

22. (c ) track
xf 3
vit (1.3m/s)(4473 5.8 10 m
s)
Rotational energy )
i mi vi
1 2
Ki mvi
2 i
22

23. r vi ri
1 2 1
KR Ki mvi mr2vi
2
i i2 i 2i ii
1
KR ( mr2) 2
2 i ii
(the moment of inertia) Kg.m
mr2
I
i ii 6.15
23

24. 1
KR I 2 6.1
2
6
( KR 1I 2
rotation
1 2 2
E mv
v
2
24

25. . The oxygen molecule
O xy Z
. x - kg
(a) z
Z d/
d d 1 2
I mr2 m )2 m )2 md
( (
i ii 2 2 2
1
(2.66 10 26 )( .21 10 10m 2
kg 1 )
2
1.95 10 46 .m
kg 2
25

26. (b) Z . x
1
KR I 2
2
1
(1.95 10 46 .m2)( .60 10 rads)2
kg 4 12 /
2
2.06 10 21 J
26

27. . Four rotating masses
27

28. (a) y
m y
( ri m y)
Iy mr2 Ma Ma 2Ma
2 2 2
i ii
y
1 1
KR Iy 2 (2Ma ) 2 Ma 2
2 2
2 2
28

29. m
y Ix ma 2
2
KR Mb 2 2
x
(b) xy
x O ( z)
ri
Iz mr2 Ma Ma mb mb 2Ma 2mb
2 2 2 2 2 2
i ii
1 1
KR Iz 2
(2Ma 2 2mb 2 ) 2
(Ma 2 mb 2 ) 2
2 2
29

30. (a) (b)
(a)
y
(calculation of
m I r2 m
i i i
m 0
integral
I lim r2m
m 0i i i
r2dm 6.1
7
30

31. m/V
V differential
dmdV
/
I r2dV
r
r
31

32. Uniform hoop
M
dm
O
32

33. dm r
z O
Iz r2dm R2 dm MR
2
R
33

34. Uniform rigid rod
y)
y
y/
34

35. dx dm
M
dm dx dx
L
dm r=x
Iy r2dm L/2 x2 Mdx M L/2x2dx
L/2 L L L/2
M x3 L/2 1
2
ML
L 3 L/2 12
35

36. Uniform solid cylinder
R M
z)
I
r dr L
dV dA (2 rdrL
.L )
36

37. Iz r2dm 2 LR 3dr 1 LR
r 4
0 2
R2L M/V M/ R2L
1 M 1 2
(1) Iz
2
L( 2 )R4 MR
RL 2
L
37

38. 38

39. the parallel-axis
2
I ICM MD 6.1
8
39

40. M L
y
1 2
ICM ML
2
2 1 2 L 1 3
I ICM MD ML M( )2 ML
2 2 3
Question
7 2
I ML
48
40

41. (Torque)
O 
F

F
rFsin Fd
6.1
9

F

F
41

42. 
r F d
d rsin d 
F (momen
r
O
d

F

F
42

43.  
O F2 F1
( counterclockwise )

F1 Fd1
1

F2 d F2d2
O
1 2 Fd1 F d2
1 2
43

44. The net torque on a cylinder
 
F1 F2
R
(a) z

O F1 R

F2 R
44

45.  RF
F1 11
 RF
F2 22
1 2 RF R F
11 2 2
 
F1 F2
45

46. (Rel
angular acceleration)

Ft

Fr
46

47. m r
Ft Fr
F ma
t t
Ft
Fr mar
t t
at r
2
(mr )r (mr )
47

48. I 6.2
0
I
O dm
48

49. dm

at dFt
dF (dmat
t )
d dFt
d rdF (rdmt
t )a
at r
d (rdm
)r (r2dm
)
49

50. 
at
integrate
(r2dm
) r2dm
r2dm
O
I 6.21
50

51. (Rolling mo
( pure rolling motion)
cycloid
51

52. R
s R . a)
ds d
vCM R R
dt dt 6.22
52

53. s R
dv
aCM CM R
d
R 6.23
dt dt
53

54. P
P
P Vc
Vcm
54

55. P 2vCM 2R P
translation motion ) ( the rotational mot
. a
. c
vCM R vCM vCM 2vCM
1
IP 2
K
2 6.2
4
IP P
55

56. 2
IP ICM MR
1 1 2
K ICM 2 MR 2
2 2
56

57. vCM R
K
1 1 2
ICM 2 Mv 6.25
2 2 CM
1
ICM 2
2
1 2
Mv
2 CM
57

58. 58

59. vCM R
1 vCM2 1 2
K ICM( ) MV
2 R 2 Cm
1 ICM 2
K ( 2 M)vCM
2 R 6.26
Mgh h
1 ICM 2
M vCM Mgh
2 R2
1/2
vCM 2gh
/ 2
1 ICMMR
6.27
59

60. Ug Mgh
K=
2gh
2 2
ICM MR
5
60

61. 1/2
2gh 10 1/2
vCM 2 gh
2/5MR 7
1 2
MR
2gh
x h xsin
2 10 sin
vCM gx
7
2
vCM 2aCMx
5
aCM gsin
7
61

62. gsin vCM
gsin
62

63. 63

64. (1) F Mg
x sin f Ma
CM
F n Mg
y cos 0
x
n Mg
fR
CM fR ICM
64

65. 2 2
ICM MR aCM R
/
5
2 2
MR a
(2) f
ICM 5 CM 2Ma
R R R 5 CM
5
aCM gsin
7
F ma F
a
F
65

66.  
r
F
O
rFsin
r F xy 
z
z z
z z

r 
F
66

67.  
r F
  
r F 6.2
8
   
A B A B
 
ABsin A B
  
C A B
C ABsin
67

68.  
ABsin A B
 
C C
 
A B

C
cross product
 
A B

C
 
A B
68

69. cross product
   
A B B A 6.3
   
1
A B A B
 B
A
     
A B A B A B AB
      
A (B C A B A C
) 6.3
2
cross product t
 
d    dB dA 
(A B A
dt
)
dt dt
B 6.33
69

70. โด เวกเต ร์หน่วยi , j , k ข รคู แ cross product ปฏิบัติ งกฎ า ้
ย อ องกา ณ บบ ดั เหล่ นี
i i j j k k 0 (6.34a)
i j j i k (6.34b)
j k k j i (6.34c)
k i i k j (6.34d)
 
ผ คู เวกเต ข เต ใดๆ
ล ณ อร์ องเวก อร์ A แะ ลB สา รถเขี นให้อ ในรูปแ องดี อร์มิแ
มา ย ยู่ บบข เท นนท์
(d te in n fo ) ดั ้
e rm a t rm งนี
i j k
  Ay Az Ax Az Ax Ay
A B Ax Ay Az i j k
By Bz Bx Bz Bx By
Bx By Bz
ซึ่ ล รค นวณ งนี้
งให้ผ กา  ดั
า
A B ( Ay B z Az B y )i ( Ax B z Az B x ) j ( Ax B y Ay B x )k
(6 5
.3 )
70

71. ตั ย่ง613ผ คู แ บcross prod
วอ า . ล ณบ uct
   
เวกเตอร์ A 2 i 3 j แ ะเวกเต ร์ B
ล อ i 2j อ บนระนา xy จ า
ยู่ บ งห A B แะ
ล
   
พิ น์ว่า A B B A
สูจ
วิธีทา
จ กสมกา ่ 6 a ถึง6 4 จ ว่า
า รที .34 .3 b ะได้
 
A B (2i 3 j) ( i 2 j)
(2i 2 j ) (3 j ( i )) 4k 3k 7k
จ นว่า อม i 
ะเห็ เท i j j  k
k  0 ดั
งสมกา 6 a
รที่ .34
A B B A
ต่ ะพิ น์ว่า
อไปจ สูจ
 
B A ( i 2 j) (2i 3 j)
( i 3 j ) (2 j 2i )
  3k 4k 7k    
B A 7k A B B A
ดั น
งนั้ เที บกั ล า
ย บผ จ กส่วนแ ะได้
รกจ ว่า เป็นจ ง
ริ
71

72. (Angular momentum
72

73. 
L

P

m r
 
L  P
r
m 
r

v 
L
O 
r

P
73

74.  
L  P
r
6.36
SI kg.m / s
 
r 
L P


r 
P L xy  
P mv

L
L mvr
sin 6.3
7

r P 
r L P
00 or 0
180

r 
P
74

75.  
F dP/dt

 
r
  dP
F r 6.3
dt 8
 
dL d    dP d 
r
(r P) r P
dt dt dt dt
d
r  
P mv
v
dt
75

76.  
dL  dP 6.3
r
dt dt 9

 dL 6.4
dt 0
 
F dP/dt
 
L P
 
P
76

77.    
L L L2  Ln L
1 i i
 
 dL d dL 6.41
ext i dt dt i L dt
i
77

78. xy
r
 
L  P
r
78

79. (a)

L

r 
v
sin o
L mvr 90 mvr

L
  
L P mv
 

v 
r L  P
r 
v
 
r 
v 
L L
 
xy 
L (mvr
)k L
xy
79

80. 
(b) จ า นา แ ะทิ ทงข L ในเท อ ต เร็วเชิ
งห ข ด ล ศ า อง อมข งอั รา งมุม
วิธีทา
เนืองจ กv r สาห บอนุภ ค ห
่ า รั า ที่ มุนเป็นวงกล ะได้
มจ ว่า
L mvr mr 2 I
เมือ Iคื
่  อโมเมนต์ วา อย อ า รอบแ  z ซึ่ า ดO เนืองจ กเป็นกา มุนท ม
ค มเฉื่ ข งอนุภ ค กน งผ่ นจุ  ่ า รห วนเข็
 
นา กา มีทิ ต มแ z (ดู อ า6 )โด มีทิ เดี วกั ห อ
ฬิ ศ า กน เนื้ ห .1 ย ศ ย บ รื
L
L I I k
Question
kg m/s
80

81. (Angular
rigid object)
z

L

 
L I
z
Omiviri vi r
i
81

82. L mr2
i ii
 
L z
Li
Lz mr2 mr2
i ii i ii
Lz I 6.4
2
I z
I
dL d
z I
dt dt
I 6.4
3
82

83. dL/dt
z
dLz I
ext
dt 6.4
4
  
L I L
83

84. kg
/s
z

L z

L z
84

85. 2 2 2
I MR (6kg 0.12 )2 0.035 .m
)( m kg 2
5 5
L I (0.035 .m2)( revs)(2 radrev
kg 10 / / )
2.2kgm2/s
.
85

86. M l
m m
86

87. a)
1 2 2
I Ml I mr
12
1 2 l 2 l 2
I Ml m1 2 m2 2
12
l2 M
m m
4 3 1 2
l2 M
L I ( m m)
1 2
4 3
87

88. b)
m = or
m
2 2
ext I m
l 
m g cos
1 12 1
mg
1 
2 m g cos
2 2 2
88

89. O
1
ext 1 2 2(m m )glcos
1 2

ext m >m
ext I I
ext 2(m m )gcos
1 2
I l(M/3 m m )
1 2
or (vertical position)
0 or
2 2
(horizontal position)
Question
m >m
89

90. m m
R
m
m
90

91. m vR
1 m vR
2 I Iv R
/
(1 L m vR m vR I
1 2
v
R
)
m
mg
R
ext m gR
1
91

92. dL
ext
dt
d v
m gR
1 dt 1m vR m vR I
2 R
dv I dv
(2) m gR m m R
1 1 2 dt Rdt
dv/dt = a
mg
1
a
(m m ) I / R2
1 2
92

93. (Conservation of ang

dL
ext dt 0 6.4
 5
L 6.4

Ln ค่าคงที่
6
n
93

94. 2
I mr L I
 
Li Lf ค่าคงที่
6.4
7
Lz I Lz  z
L
Iiωi Ifωf ค่าคงที่ 6.4
8
94

95. ( isolated sys
K U
i i Kf Uf
 
Pi Pf
 
Li Lf
95

96. I
L I
96

97. supernova 4
1 10 km
km
97

98. T TI
2
T
r
2
rf 3.0km 2
Tf T 2
i r (30 )
days 4
i 1 10 km
2.7 10 6days 0.23
s
98

99. (the Merry-Go-Round)
M= kg
. rad/s
r= . m
99

100. IS
1 2 2
Ii IPi ISi MR mR
2
r<R
1 2 2
If Ipf Isf MR mr
2
R Ipf
100

101. Ii i I f f
1 2 2 1 2 2
MR mR i MR mr f
2 2
1 2 2
MR mR
2
f 1 2 2 i
MR mr
2
200 240
f 2.0rads
/ 4.1rads
/
200 15
101

102. 
Li
o
 
Li L
102

103. 
Li
  
L L L
system i whell
 
L L
whell i
inverted
103

104. 
Li
   
Lf L Lstudent
i L
stool i
 
L 2L
stool i
student
104

105. /s
(a)
(b)
(a) 2
f i
2
2 ( f i )
2 2
02 (30 /s)( rad 2
rev 2 )
f i
47 /s2
rad
2( f i ) 2(60 2 )
)(
(b) f i t
f i
t
0 (30 2 )
)(
4s
47
105

106. s
/s
(a)
(b)
(a) f i t
f i
t
0 6revs
/
0.86 /s2
rev
7s
(2 )( .86 /s2 ) 538 /s2
0 rev . rad
106

107. (b) t
f i (0revs 6revs)
/ /
t (7s) 21
rev
2 2
(2 )( rev 132
21 ) rad
kg cm
I Mr (6kg 0.4m 2 0.96 .m
2
)( ) kg 2
1 2
I
2
(300 /min)( 60)( radรอบ 314rads
รอบ 1min/ s 2 / ) . /
1
KE (0.96 .m )( .4rads)2 473
kg 2 31 / J
2
107

108. I
I
I1 1
I2 2
I1 1
I1 I2
108

109. kg 1.6 10 2kgm
. 2
m/s
1 1 2
KE I 2 mv
2 2
2
1 4m/s 1
(1.6 102 kgm2 )
. (4kg 4m/s)2
)(
2 0.1m 2
448J
.
kg . m
. rad /s
1 2 1
L I mr (3kg 2m 2(6.0rads) 0.36 .m /s
)( ) / kg 2
2 2
109

110. http://www.lehigh.edu/~jcl3/lecture.html
2. http://www.pas.rochester.edu/~tipton/p121-
1n.pdf
3.
http://www.udayton.edu/~amophys/125/fift/fift.ht
ml
4.
http://www.rockpile.phys.virginia.edu/arcoo/arch16
.pdf
5.
http://www.webcomposer.pace.edu/moremland/hs-
110