2. Meet Prof. J. Moriarty (?-1891)
……生まれつき数学では抜群の才能も持って
いる。若干二十一歳で、<二項定理>に関す
る専門書を書いていて、これはその後ひとつ
の潮流として、ヨーロッパじゅうでもてはや
されてきた。その力もあって、ある小規模な
大学の数学教授職を獲得し、どこから見ても…
「回想のシャーロック・ホームズ」(A.C.ドイル著/
深町眞理子訳/創元推理文庫)所収、「最後の事件」より
<二項定理>に関する専門書: A Treatise on the Binomial Theorem
3. (x + y)2
= x2
+ 2xy + y2
(x + y)3
= x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
二項定理(Omar Khayyám, 1048-1131)
(x + y)n
=
nX
k=0
✓
n
k
◆
xn k
yk
=
nX
k=0
n!
k!(n k)!
xn k
yk
5. n pX
k=0
✓
2n + 1
2p + 2k + 1
◆ ✓
p + k
k
◆
=
✓
2n p
p
◆
22n 2p
n pX
k=0
✓
2n
2p + 2k
◆ ✓
p + k
k
◆
=
n
2n p
✓
2n p
p
◆
22n 2p
モリアーティの公式? (H.T.Davis 1962による)
H.T.Davis: The summation of Series , Principe Press of Trinity
University, San Antonio, Texas, (1962)
“We shall call these the identities of James Moriarty, since we do not know
any other source from which such ingenious formulas could have come”.
(in a footnote of H.T.Davis)
9. ↵
nX
j=0
(↵n)!
(↵j)!(↵(n j))!
x↵j
y↵(n j)
(x + y)↵n
(See, Bulletin of the London Math. Sci.,
Vol.42, pp.467̶477, (2010),
or arXiv:1001.1775)
Theorem (K.Hara and M.Hino, 2010)
For any x, y > 0, 0 < α < 1, and a natural
number n, we have