DETERMINANTES

1. Algebra lineal
TRABAJO FINAL
FACULTAD:
INGENIERÍA
ESCUELA:
INGENIERÍADE COMPUTACIÓN Y
SISTEMAS
DOCENTE:
 GARCIA POLANCO, LUIS
INTEGRANTES:
 CABALLERO CRUZ, IVONNE
 CÁRDENAS GONZÁLEZ, RAQUEL
 FLORES FLORES, JUAN
 GASCO CASTILLO, KERWIN
 LÓPEZ DOMÍNGUEZ, DONATILA
 RAMOS SARAVIA, SANDRO
 SEVILLANO TALAVERA, RENATO
CICLO:
III
TRUJILLO-PERÚ
2015

2. DETERMINANTES
DEFINICIÓN
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real
llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la
matriz A lo denotaremos por det(A) o también por ¨ |A| (las barras no significan valor
absoluto).
MÉTODOS DE CÁLCULO DE DETERMINANTES
Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva
(teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un
orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir
el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera.
Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el
determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.
Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos
usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz.
La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:
donde la suma se calcula sobre todas las permutaciones σ del conjunto {1,2,...,n}. La
posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σi. El conjunto de
todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la
permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones).
En cualquiera de los sumandos, el término
denota el producto de las entradas en la posición (i, σi), donde i va desde 1 hasta n:
{
𝒇: 𝑴 𝒏 → ℝ
𝑨 → (𝒂𝒊𝒋) = 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = | 𝑨|

3. La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto en
casos muy pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo
n! productos de n factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el
determinante si la matriz tiene más de tres filas.
Existen métodos para calcular el determinante:
a) Regla de sarrus
b) Método de la estrella
c) Por menores
MATRIZ POR MENORES
Se llama menor de orden k de una matriz al determinante de orden k que está formado
por los elementos que pertenecen a k filas y a k columnas de la matriz .
En este determinante los elementos de conservan las posiciones relativas que tienen en la
matriz .
Es decir, si la fila de en la que se encuentra está por encima de la fila de en la que
se encuentra , entonces, en los menores de en los que aparezcan y , la fila en la que
se encuentra va a estar por encima de la fila en la que se encuentra .
Análogamente, si la columna de en la que se encuentra está a la derecha de la columna
de en la que se encuentra , entonces, en los menores de en los que aparezcan y ,
la columna en la que se encuentra va a estar a la derecha de la columna en la que se
encuentra .
Teorema
El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener de esta
matriz.
Es decir, si el rango de una matriz es k, entonces todos los menores de orden superior a k, si
los hubiese, son nulos. O dicho de otra manera:

4. Si todos los menores de orden k y de orden mayor que k de una matriz son nulos, entonces
el rango de dicha matriz tiene que ser menor que k.
Siendo esto así, el procedimiento que describimos a continuación nos permite calcular el
rango de una matriz independientemente de cómo sea la matriz .
PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ USANDO
MENORES
Sea el orden de los menores de mayor orden de la matriz .
es el número de filas o el número de columnas de , el que sea menor.
Empezando por y continuando con
, para cada valor de se va comprobando si algún menor de orden es cero.
Considerando distintos valores de en este orden, el primer valor de que encontramos
con un menor NO nulo es el rango de .
Si no encontrásemos ningún satisfaciendo esta condición, entonces NO existiría ningún
menor de distinto de cero y el rango de seria cero.
Ejemplo
Calculemos el determinante de la matriz
En este caso . Comprobamos primero si todos los menores de
orden son nulos.
En este caso, solo hay un menor de orden 3, , por lo tanto, solo tenemos que calcular un
determinante de orden 3.
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|𝒅𝒆𝒕( 𝑨)
=
|
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| |
𝑎12 𝑎13
𝑎22 𝑎23
||
𝑎12 𝑎13
𝑎32 𝑎33
|𝑎11 𝑎21 𝑎31
- +=

5. Como, despues de hacer las cuentas, resulta que todos los menores de orden 3
de son cero y por el teorema anterior el rango de ha de ser menor que 3.
Como todos los menores de orden 3 son nulos, pasamos a inspeccionar los menores de
orden 3 - 1 = 2, y comprobamos si todos ellos son nulos (cero) o no.
tiene 9 menores de orden 2. Calculamos uno por uno para comprobar si alguno de ellos
es distinto de cero. Si encontramos que alguno de ellos es cero paramos.
Supongamos que empezamos a calcular estos 9 menores en el siguiente orden:
1. 1. Primero calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos
filas ( las de más arriba ) y las primeras dos columnas ( las de más a la izquierda ) de ,
1. 2. A continuación calculamos el menor que se obtiene seleccionando las primeras dos
filas ( las de más arriba ) y las últimas dos columnas ( las de más a la derecha ) de ,
1. 3. El tercer menor que calculamos es el que se obtiene seleccionando las últimas dos
filas ( las de más arriba ) y las últimas dos columnas ( las de más a la derecha ) de .
Procediendo así, hubiésemos obtenido que los dos primeros menores son cero, pero como
el tercer menor ya nos sale distinto de cero, paramos y concluimos que, como un menor de
orden 2 es distinto de cero, por el teorema anterior el rango de tiene que ser mayor o
igual que 2. Como ya habíamos averiguado antes que el rango de tiene que ser menor
que 3, deducimos que el rango de es 2.

6. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
Para el cálculo de determinantes por el método de desarrollo por menores tomamos
como referencia una fila o una columna y vamos eliminando sus elementos (de acuerdo a
su posición) y formando los determinantes de un orden inferior a la matriz original; el cual
queda multiplicado por este elemento y su signo de posición. Es decir cada elemento de la
fila o la columna seleccionada se multiplica por su determinante menor y el signo de
posición.
Los signos de posición se obtienen siempre comenzando con positivo y alternando luego.
Para una matriz 3x3:













Para una matriz 4x4:
















Noten que los signos negativos de posición se obtienen cuando la suma de los subíndices
de posición del elemento es impar:
Elemento 2,1: 2+1=3, impar, signo negativo.
Elemento 2,3: 2+3=5, impar, signo negativo.
De igual forma cuando la suma de los subíndices de posición es par, el signo de posición es
positivo.
Elemento 4,4: 4+4=8, par, signo positivo.
EJEMPLO: Calcular el determinante de la matriz:














142
352
231
A
Lo haremos aplicando el método de desarrollo de menores:
Tomaremos primeramente la fila 1 como referencia.

7. 142
352
231



A =-1
14
35

-3
12
32


2
42
52
Es el primer elemento de la fila Es el segundo elemento de la fila Es el tercer
elemento de la fila
Determinante menor que se Determinante menor que se Determinante
menor que se
obtiene al eliminar la fila 1 y la obtiene al eliminar la fila 1 y la obtiene al eliminar
la fila 1 y la
columna 1. columna 2. columna 3.
142
352
231



A
142
352
231



A
142
352
231



A
El signo de la posición es + El signo de la posición es - El signo de la
posición es +







































142
352
231



A =-1
14
35

-3
12
32


+2
42
52
=
               524223212334151      10826231251 
            73612171824317110826231251 
142
352
231



A =-7

8. Podemos observar que este método es mucho más práctico cuando tenemos uno o varios
ceros en una fila o columna. Más adelante conoceremos como lograr ceros en una fila o
columna de una matriz, aplicando diferentes propiedades de los determinantes.
EJEMPLO: Calcular el determinante de la matriz:












140
352
230
B Vamos a tomar como referencia la primera columna.
140
352
230

B
Noten que el primer y tercer elemento de esa columna son ceros, por lo tanto no es
necesario determinar sus menores, pues al multiplicarlos con estos elementos el resultado
será cero.
Solo nos quedaría el segundo elemento de la columna:
140
352
230

B =            2211283224132
14
23
2 


Para el cálculo de determinantes superiores este es método muy útil:
EJEMPLO: Calcular el determinante de la matriz:














1334
2203
1212
1301
C Notemos que la columna 2 tiene dos ceros: la tomamos como
referencia.
223
122
131
3
134
223
131
1
1334
2203
1212
1301


C
















1334
2203
1212
1301

Signos de posición

9. Calculemos ahora los determinantes de orden 3, por cualquiera de los métodos que ya
dominamos.
                       133231124234133121
223
131
134
223
131
134
223
131

129682492
134
223
131

122
131
233
122
131
223
122
131
                        232131123133132221 
21236964
223
122
131

    1861223121
223
122
131
3
134
223
131
1
1334
2203
1212
1301


C