ロマンティック数学ナイトボーイズでのスライドです。

1. 4階と5階のあいだ
みうら
2017/4/1 ロマンティック数学ナイトボーイズ
～「有限」に思いを馳せて～

2. ・大学院（修士）で代数学を勉強中
・素数大富豪世界1位（ってことになってる）
・最近の趣味は、パズルを作って
「みらいけん数学デー」に持っていくこと
自己紹介
楽しい

3. 今日の日付は…
1/4
4/1 = 4
= 0.25
有限小数！
イギリス式英語での表記だと

4. 2以上の整数の逆数を小数で表す
（1/1=1は小数とは言い難いので）
1/2=0.5
1/3=0.333333…
1/4=0.25
1/5=0.2
1/6=0.166666…
1/7=0.142857…
1/8=0.125
1/9=0.111111…
1/10=0.1
1/11=0.090909…
赤字：有限小数
隣接
している

5. 疑問
この先、このように有限小数が
連続することはあるのか？

6. 有理数𝑟について、
𝑟を既約分数で表したとき
分母の素因数が2と5のみ
1/4=1/(2∙2)=0.25
1/5=1/5=0.2
1/6=1/(2∙3)=0.1666…
1/7=1/7=0.142857…
𝑟が（十進法で）
有限小数で書ける
前提知識
⇔
↑有限小数 ↑無限小数

7. これより、
1
𝑛
と
1
𝑛+1
がともに有限小数で
表せるための必要十分条件は
𝑛 + 𝑛 = 2 𝑎 ∙ 5 𝑏
𝑛 + 1 = 2 𝑐
∙ 5 𝑑
なる非負整数 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 が存在すること

8. しかし、連続する二つの整数がともに偶数
だったり、ともに5の倍数ということはない
結局
𝑛, 𝑛 + 1 = {2 𝑒, 5 𝑓}
(𝑒, 𝑓は1以上の整数)
でなければならない

9. ここで大道具

10. カタラン予想

11. 〈カタラン予想〉
連続する「べき乗数」は8と9のみ
べき乗数とは、 𝑢 𝑣(𝑢, 𝑣は2以上の整数)
と書ける数のこと
2002年、P.ミハイレスクにより肯定的に解決

12. （𝑛は2以上なので）カタラン予想より、
𝑛, 𝑛 + 1 = 2 𝑒
, 5 𝑓
⇒ 𝑒 = 1 または 𝑓 = 1
結局、 𝑛, 𝑛 + 1 = 22
, 5 = 𝟒 , 𝟓 しか
ありえない（証明完了！）
※カタラン予想を使わずに初等的に解く方法もあります

13. 系として、2以上の整数𝑛に対して
𝑛 + 1
𝑛
,
𝑛
𝑛 + 1
がともに有限小数となるのは 𝑛 = 4 のとき
のみであることがわかる
(
5
4
= 1.25 ,
4
5
= 0.8 )

16. 踊り場の表記にはこういうのもある↓
5|4
この書き方は特に、階段を下るときは
4を5で割りたくなる

17. 結論
「4階と5階のあいだ」は
上りも下りも有限小数となる
唯一の場所である
4階と5階を行き来するときは
ぜひとも階段で！

18. みなさん、
「有限」に思いを馳せてみませんか？