A proof of the fact that the graph of a n-dimensional Brownian Motion for n greater or equal to 2 has Hausdorff dimension = 2, almost surely.

1. Brownian Motion and Hausdorff dimension
21 Δεκεμβρίου 2020
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 1 / 15

2. σ-άλγεβρα και μετρησιμότητα
΄Εστω A ⊂ P(X)
A ∈ σ-algebra(X) ⇐⇒
1.A 6= ∅
2.A ∈ A =⇒ Ac
∈ A
3.(An)n∈N ∈ A =⇒
S∞
i=1 Ai ∈ A
Η διπλέτα (X, A) καλείται μετρήσιμος χώρος.
Για C ⊂ P(X) ορίζουμε :
σ(C) =
T
{A ∈ σ − algebra(X) | C ⊂ A}
Στην περίπτωση που (X, T ) τοπολογικός χώρος ορίζουμε : B(T ) = σ(T )
και ονομάζουμε την B(T ) Borel σ-άλγεβρα της τοπολογίας T .
΄Εστω (X, A) και (Y , B) δύο μετρήσιμοι χώροι και f : X −→ Y συνάρτηση
από τον Χ στον Y. Λέμε ότι η συνάρτηση f είναι A / B - μετρήσιμη ⇐⇒
(∀B ∈ B)[ f −1
(B) ∈ A ]
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 2 / 15

3. Μέτρο και Ολοκλήρωμα Lebesque
΄Εστω μετρήσιμος χώρος (X, A). Μέτρο στον (X, A) ονομάζουμε μια
συνάρτηση µ : A −→ [0, +∞] τέτοια ώστε :
1.µ(∅) = 0
2.
(An)n∈N ∈ A ∧ (∀i, j ∈ N)[i 6= j =⇒ Ai ∩ Aj = ∅]
=⇒
µ(
S∞
i=1 Ai ) =
P∞
i=1 µ(Ai )
Το μέτρο ικανοποιεί ιδιότητες μονοτονίας και συνέχειας. Η τριπλέτα
(X, A, µ) ονομάζεται χώρος μέτρου. Στην περίπτωση που µ(X) = 1 η
τριπλέτα ονομάζεται χώρος πιθανότητας και συμβολίζουμε συνήθως
(Ω, A, P). Μια μετρήσιμη συνάρτηση Y : Ω −→ R ονομάζεται τυχαία
μεταβλητή.
Μια συνάρτηση X : Ω −→ [−∞, +∞] καλείται απλή αν η εικόνα της είναι
πεπερασμένο σύνολο. Σε αυτή την περίπτωση ορίζοντας Ai = X−1
({αi })
η X παίρνει τη μορφή X =
Pi=n
i=1 αi χAi
όπου {Ai }n
i=1 διαμέριση του Ω
(κανονική μορφή). Προφανώς η X είναι μετρήσιμη
⇐⇒ (∀i = 1, .., n)[Ai ∈ A].
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 3 / 15

4. Το ολοκλήρωμα Lebesque ορίζεται αρχικά για απλές συναρτήσεις στην
κανονική τους μορφή ως :
X =
i=n
X
i=1
αi χAi
=⇒
Z
Ω
Xd P =
i=n
X
i=1
αi µ(Ai ) (1)
Από τη θεωρία μέτρου είναι γνωστό ότι για κάθε f ≥ 0 μετρήσιμη υπάρχει
αύξουσα ακολουθία απλών συναρτήσεων (Xn)n∈N τετοια ώστε
limn→∞ Xn = f κατά σημείο. ΄Ετσι ορίζουμε για κάθε f ≥ 0 το
ολοκλήρωμα Lebesque ως :
Z
Ω
f d P = sup
Z
Ω
Xd P | X απλή, μετρήσιμη με 0 ≤ X ≤ f (2)
και στη συνέχεια ο ορισμός επεκτείνεται για πραγματικές μετρήσιμες
συναρτήσεις.
Στην περίπτωση που η Χ είναι τυχαία μεταβλητή το ολοκλήρωμα Lebesque
της ονομάζεται μέση τιμή και συμβολίζεται με E[X].
Μια τυχαία μεταβλητή καλείται ολοκληρώσιμη ⇐⇒ E[X] ∞
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 4 / 15

5. Στοχαστικές Ανελίξεις και κίνηση Brown
΄Εστω (S, A) μετρήσιμος χώρος και Ι ένα αυθαίρετο πλήρως διατεταγμένο
σύνολο. Στοχαστική ανέλιξη με τιμές στον S ορίζουμε μία απεικόνιση
X : Ω −→ SI
όπου SI
ο χώρος όλων των συναρτήσεων από το Ι στον S. Για σταθερό
ω ∈ Ω το αντίστοιχο στοιχείο του SI
ονομάζεται τροχιά της ανέλιξης.
Στην περίπτωση που Ι=N ή Ι=[0, +∞) ερμηνεύουμε το σύνολο Ι ως
χρονικό άξονα.
Μια στοχαστική ανέλιξη Β με τιμές στον R ονομάζεται (μονοδιάστατη)
κίνηση Brown αν και μόνο αν :
1. Για κάθε n ≥ 1 και 0 t1 ... tn οι
B(t1), B(t2) − B(t1), ..., B(tn) − B(tn−1) είναι ανεξάρτητες τυχαίες
μεταβλητές.
2. Για κάθε h 0 ισχύει : B(t + h) − B(t) ∼ N(0, h)
3. Για κάθε ω ∈ Ω συνάρτηση t 7→ B(t) είναι συνεχής με πιθανότητα 1
Αν B(0) = 0 η Β ονομάζεται τυπική κίνηση Brown
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 5 / 15

6. Αναλυτικές ιδιότητες της κίνησης Brown
Μια συνάρτηση f : [0, +∞) −→ R καλείται τοπικά α-Holder συνεχής στο
x ≥ 0 ⇐⇒ (∃δ, c 0)(∀y ≥ 0)[|y − x| ≤ δ =⇒ |f (y) − f (x)| ≤ c|y − x|α
]
Θεώρημα
΄Εστω Β τυπική κίνηση Brown. Υπάρχει τότε μια σταθερά C 0 τέτοια ώστε
με πιθανότητα 1 (∃ho = ho(ω) ∈ (0, 1))(∀h ∈ (0, ho])(∀t ∈
(0, 1 − h])[|B(t + h) − B(t)| ≤ C
p
hlog(1/h)]
Η απόδειξη του συγκεκριμένου θεωρήματος είναι τεχνική και βασίζεται
στην κατασκευη φραγμάτων τα οποία προκύπτουν από την εκτενή
απόδειξη ύπαρξης της κίνησης Brown. Ιδιαίτερα σημαντικό όμως είναι το
παρκάτω πόρισμα του πρηγούμενου θεωρήματος.
Πόρισμα
Για α ∈ [0, 1/2) η κίνηση Brown είναι, με πιθανότητα 1, α-Holder συνεχής.
Αποδεικνύεται μάλιστα πως η κρίσιμη τιμή για την α-Holder συνέχεια
είναι η α = 1/2.
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 6 / 15

7. Διάσταση Hausdorff
΄Εστω Χ μετρικός χώρος και A ⊂ X. Ορίζουμε :
Hα
(A) = inf{
P∞
j=1 diam Aj
α
|A ⊂
S∞
j=1 Aj , diam(Aj ) ≤ ε}
Ορίζουμε το α-Hausdorff μέτρο του Α ως :
Hα
(A) = lim→0 Hα
(A).
Η ύπαρξη του ορίου προκύπτει άμεσα από την ιδιότητα :
δ ε =⇒ Hα
δ (A) ≥ Hα
(A) και από το γεγονός ότι το όριο μονότονης
συνάρτησης υπάρχει (πιθανόν να είναι ∞).
Ουσιαστικά έχουμε ορίσει ένα εξωτερικό μέτρο του οποίου ο περιορισμός
στα κατα Καραθεοδωρή μετρήσιμα σύνολα θα μας δώσει ένα μέτρο (με
την ιδιότητα της αριθμήσιμης προσθετικότητας). Αποδεικνύεται ότι το
n − Hausdorff μέτρο και το n - διάστατο μέτρο Lebesque ταυτίζονται στον
Rn
.
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 7 / 15

8. Πρόταση
΄Εστω Α ⊂ Χ και α β ∞. Τότε ισχύουν :
1.Hα
(A) ∞ =⇒ Hβ
(A) = 0
2.Hβ
(A) 0 =⇒ Hα
(A) = ∞
Απόδειξη
Προκύπτει αμέσως από την ανισότητα :
P
j diam Aj
β
≤ β−α
P
j diam Aj
α
παίρνοντας infimums και ε → 0.
Η πρόταση αυτή δικαιολογεί τον ακόλουθο ορισμό.
Για κάθε A ⊂ X ορίζουμε τη διάσταση Hausdorff του Α ως :
dim(A) = inf
α : Hα
(A) = 0 = sup
α : Hα
(A) = ∞
Υπάρχει άμεση σχέση μεταξύ της α-Holder συνέχειας και της διάστασης
Hausdorff όπως υποδεικνύει η παρακάτω πρόταση. Στο εξής
diam(Aj ) ←→ |Aj |
Η διάσταση Hausdorff έχει την ιδιότητα της αριθμήσιμης ευστάθειας.
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 8 / 15

9. Θεώρημα
Αν f : [0, 1] −→ Rn
είναι μια α-Holder συνεχής συνάρτηση τότε
dim (Graphf ) ≤ 1 + (1 − α) min{n, 1/α}
Το παραπάνω θεώρημα σε συνδυασμό με την
Πρόταση
Αν f : A −→ Rn
είναι μια α-Holder συνεχής συνάρτηση τότε
(∀A ⊂ X)[dim f (A) ≤ dim(A)
α ]
Απόδειξη της πρότασης
Υποθέτωντας dim(A) β ∞ και διαλέγοντας κάλυμμα του Α τέτοιο ώστε
P
j Aj
β
(Hβ
(A) = 0) καταλήγουμε στο ότι f Aj
≤ C Aj
α
. Επομένως
έχουμε διαδοχικά :
P
j f Aj
β/α
≤ Cβ/α
P
j Aj
β
Cβ/α
→ 0 απ΄ όπου προκύπτει ότι
dimf (A) ≤ β/α =⇒ dimf (A) ≤ dimA/α
μας δίνει το πρώτο αποτέλεσμα.
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 9 / 15

10. Πρόταση
Για μια n-διάστατη κίνηση Brown ισχύει, με πιθανότητα 1, ότι
dim( Graph ) ≤
3/2 n = 1
2 n ≥ 2
Επιπλέον (∀A ⊂ [0, +∞))[dim B(A) ≤ min{2 dim(A), n}].
Η πρόταση αυτή είναι άμεση συνέπεια των προηγούμενων προτάσεων.
Επιπλέον προφανώς ισχύει dimB(A) ≤ n εξ΄ ού και το minimum στο
δέυτερο φράγμα.
Τα κάτω φράγματα θα προκύψουν με εφαρμογή της αρχής κατανομής
μάζας και της μεθόδου ενέργειας.
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 10 / 15

11. Αρχή κατανομής μάζας
΄Ενα πεπερασμένο μέτρο μ σε έναν μετρικό χώρο Χ, δηλ. μ(Χ) ∞,
καλείται κατανομή μάζας.
Θεώρημα (Αρχή κατανομής μάζας)
΄Εστω Χ μετρικός χώρος (με την επαγόμενη από την μετρική, τοπολογία Τ),
α ≥ 0 και μ κατανομή μάζας στον Χ.
(∃C, δ 0)(∀V ⊂ X)[V c
∈ T ∧ (|V | ≤ δ =⇒ µ(V ) ≤ C|V |α
)] =⇒
Hα
(X) ≥
µ(X)
C
0 =⇒ dimX ≥ α
Απόδειξη
΄Εστω {Ai } κάλυμμα του Χ με |Ai | ≤ δ και {Vi } οι κλειστότητες των Ai για τις
οποίες ισχύει |Vi | = |Ai |. Τότε έχουμε διαδοχικά
0 µ(X) ≤ µ
S
i Ai
≤ µ
S
i Vi
≤
P
i µ (Vi ) ≤ C
P
i |Ai |
α
≤ C Hα
δ
Στην τελευταία ανισότητα έχω πάρει και στα δύο μέλη το infimum και για
δ → 0 η ανισότητα προκύπτει άμεσα.
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 11 / 15

12. Μέθοδος Ενέργειας
΄Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος, μ κατανομή μάζας στον Χ και α ≥ 0. Το
α-δυναμικό ενός x ∈ X ως προς το μ ορίζεται ως
φα(x) =
Z
dµ(y)
ρ(x, y)α
ενώ η α-ενέργεια της κατανομής μάζας μ είναι
Eα(µ) =
Z
φα(x)dµ(x) =
ZZ
dµ(x)dµ(y)
ρ(x, y)α
Μέθοδος ενέργειας
΄Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος, μ κατανομή μάζας στον Χ και α ≥ 0. Τότε
(∀ε 0)
Hα
≥
µ(X)
RR
ρ(x,y)
dµ(x)dµ(y)
ρ(x,y)α
Επομένως E [Eα] ∞ =⇒ dim(X) ≥ α
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 12 / 15

13. Απόδειξη
Διαλέγοντας κάλυμμα ξένων ανα δύο υποσυνόλων του Χ με |Aj | ε
ZZ
ρ(x,y)
dµ(x)dµ(y)
ρ(x, y)α
≥
X
j
ZZ
Aj ×Aj
dµ(x)dµ(y)
ρ(x, y)α
≥
X
j
µ Aj
2
Aj
α
Το μ(Χ) φράσσεται ως
µ(X) ≤
X
j
µ Aj
=
X
j
Aj
α/2 µ Aj
Aj
α/2
και με εφαρμογή της Cauchy − Schwarz παίρνω
µ(X) ≤
X
j
Aj
α X
j
µ Aj
2
Aj
α ≤ Hα
(X)
ZZ
ρ(x,y)
dµ(x)dµ(y)
ρ(x, y)α
απ΄ όπου προκύπτει το ζητούμενο. Για E [Eα] ∞ και ε → 0 το ολοκλήρωμα
→ 0 (συνέχεια ολοκλήρωματος Lebesque) και επομένως Hα
= ∞ (δεδομένου
πάντα ότι μ(Χ) ∞).
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 13 / 15

14. Θεώρημα
΄Εστω {B(t) | t ∈ [0, 1]} n-διάστατη κίνηση Brown. Για n ≥ 2 ισχύει :
dimRange([0, 1]) = dimGraph([0, 1]) = 2 σχεδόν σίγουρα.
Απόδειξη
Ορίζω το μέτρο κατάληψης µB (A) = λ(B−1
(A) ∩ [0, 1]) για τα όλα τα Borel
υποσύνολα του Rn
. Προφανώς ισχύει :
Z
Rn
f (x)dµB (x) =
Z 1
0
f (B(t))dt
για όλες τις φραγμένες μετρήσιμες συναρτήσεις f . ΄Εχουμε διαδοχικά :
E|B(t) − B(s)|−α
= E
|t − s|1/2
|B(1)|
−α
= k|t − s|−α/2
όπου k ολοκλήρωμα που υπολογίζεται με πολικές συντεταγμένες. Επομένως
για 0 α 2 ισχύει (χρησιμοποιώντας θεώρημα Fubini για την εναλλαγή των
ολοκληρωμάτων) :
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 14 / 15

15. Απόδειξη (Συνέχεια)
E
Eα (µB )
= k
Z 1
0
Z 1
0
dsdt
|t − s|α/2
∞
αφού το ολοκλήρωμα συγκλίνει για α/2 1. Με χρήση της μεθόδου ενέργειας
προκύπτει, στο όριο α → 2, ότι dimRange([0, 1]) ≥ 2.
Η προβολή του γραφήματος της Β στο σύνολο τιμών της (Range) είναι
Lipschitz συνεχής και ισχύει : dimf (A) ≤ dimA (θέτοντας α = 1 σε
προηγούμενη πρόταση). Επομένως dimGraphB ≥ 2 και το αποτέλεσμα έπεται
για n ≥ 2 συνδυάζοντας με τα άνω φράγματα προηγούμενης πρότασης.
Συγκολλώντας τα διάφορα τμήματα της κίνησης Brown ([n, n + 1]) και
χρησιμοποιώντας την αριθμήσιμη ευστάθεια της διάστασης Hausdorff
(dim
S∞
k=1 Ek = sup {dim Ek : k ≥ 1}) προκύπτει το γενικό αποτέλεσμα.
Brownian Motion and Hausdorff dimension 21 Δεκεμβρίου 2020 15 / 15