Finansal analiz genel olarak dinamik olasılıklar kuramı olan Stochastic Processes teknikleri ile yapılır. Bunların en basiti Wiener Süreci olarak bilinen Brown Hareketidir. Finans modelleri genellikle Geometrik Brown Hareketi olarak bilinin model etrafında şekillenir.

1. DİFUZYON MATEMATİĞİ
WIENER VE O-U STOKASTİK SÜREÇLERİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Formüller ve grafikler için http://www.wikipedia.org sitesinden yararlanılmıştır.

2. Finansal Sorunlar İçin İleri
Matematik
Fizik mühendisliğinin (difüzyon kuramları) finansal
konularda uygulama alanı bulması günümüzde giderek
yaygınlaşan bir eğilim. Diğer taraftan finansçıların bu
konulara eğilecek düzeyde bir matematik alt yapı ile
eğitilmemiş olması iki alan arasında normal köprülerin
kurulmasını güçleştiriyor.

3. SUNUM
• Bu sunum, Finans Mühendisliği olarak bilinen, Finansal
Aktiflerin zaman içindeki dinamik hareketlerini
inceleyen teknikleri geliştiren matematik konuların kısa
bir özetini vermek için hazırlandı.
• Burada Brown Hareketi olarak bilinen ve finansal
analizde yaygın bir şekilde kullanılan stokastik
modellerin kuş bakışı tanımı veriliyor.
• Black-Scholes matematiği ve ayrıntılar bir başka sunum
konumuz.
• Faiz hareketlerinin stokastik modelleri ve bunların
matematiği hazırlık sürecinde

4. Fizikten Finansa İleri Matematik
• Günümüzde finansal sorunlara çözüm bulmaya
uğraşan üç temel matematik alan var;
1.Difüzyon Kuramları (Brown Hareketi – Wiener
Süreçleri – Black-Scholes Modeli)
2.Fraktal Geometri (Mandelbrot, Kaos Kuramı ve
Fraktaller)
3.Entropi (Enformasyon kuramı modelleri)

5. Finansal Modelleme İçin
Önemli Stokastik Süreçler
Finansal analiz genel olarak dinamik olasılıklar kuramı
olan Stochastic Processes teknikleri ile yapılır. Bunların
en basiti Wiener Süreci olarak bilinen Brown
Hareketidir. Finans modelleri genellikle Geometrik
Brown Hareketi olarak bilinin model etrafında şekillenir.

6. Stokastik Süreç tanımı
• Tanım: Bir stokastik Süreç;
• W(0) = 0 (Genel olarak W(0) = W0 başlangıç noktası kabul
edilir) olsun ve;
W(t + 1) = W(t) + (t + 1)  t  {0, 1, 2, …}
(t + 1) ~ iid N(0,1)  t,
olduğunda özel bir RW (Random Walk) olarak verilsin.
• Burada e 0 ortalama ve 1 varyans ile standart normal dağılan
bire rasgele değişkendir. (white noise)

7. • Şimdi bu süreci son derece küçük zaman aralıklarında
gözleyelim.
•  = 1/n keyfi n > 1 için verilmiş bir zaman aralığı olsun. Şimdi
verilen süreci yeniden yazalım;
W(t + ) = W(t) + (t + ), with W(0) = 0 ve
W = W(t + ) – W(t) = (t + ) ~ iid N(0,)
• Δ sabit uzunluğundaki n dönem boyunca süreç aynı beklenen
değişime (“drift” olarak da verilir. Bu örnekte sıfırdır) ve aynı
varyansa sahiptir.

8. •   dt, çok ufak bir zaman artımı olsun (yani n dönem sayısı
çok büyük)
• Buna göre;
dW=(t+dt) ~ iid N(0,dt)
• olacaktır.
• Buna ana Wiener süreci adı verilir, White Noise olarak da
bilinmektedir.

9. WIENER Süreci
içinher aa(dt)
se,white noidt) - W(t)W(tdW(t)
, dt)(e~i.i.d. N
,W)W(
dt),e(tW(t)dt)W(t
dtΔ
10
0
0
olsun
0






10. Random Walk Dinamikleri
50 100 150 200 250 300
-1
-0.5
0.5
Random Walk

11. Diferansiyel Sürecin Moment Özellikleri
0[dW(t)dt]E-])E[(dW(t)dt
t]Var[dW(t)d6.
0(dt)][dW(t)E])E[(dW(t)dt5.
0dt-dt][dW(t)E-]E[dW(t)
]Var[dW(t)4.
dt]E[dW(t)3.
0dtE[dW(t)]dt]E[dW(t)2.
0E[dW(t)]1.
24
222
22224
2
2









12. 1. E[dW(t)] = 0 Tanım olarak standart normal değişkenin
beklenen değeri sıfırdır.
2. E[dW(t) dt] =
E[dW(t)] dt = 0
dW rasgele değişkeninin dt sabitile çarpımın
beklenen değeri sabit dt çarpı dW beklenen
değeridir.
3. E[dW(t)2] = dt Sıfır beklenen değerli herhangi bir dağılımda
karelerin beklenen değeri ile varyans aynıdır.
4. E[(dW(t)dt)2] =
E [dW(t)2] (dt)2 = 0
2 ve 3. özellikler gereği
5. Var[dW(t)2] = [(dW(t)dt)4] -
E2[dW(t)dt] =3dt2-dt2=0
Standart normal dağılımın 4. merkez momenti 3
ve (dt)2=0 olduğu için
6. Var[dW(t)dt] =
[(dW(t)dt)4] - E2[dW(t)dt] = 0
2 ve 5. özellikler gereği
Diferansiyel Momentlerin Özellikleri

13. Önemli Özellikler
• Var[f(dW)] = 0 ise E[f(dW)] = f(dW) olur
• W(u) (u>t) değerlerinin dağılımı beklenen değer W(t), ve
varyans (u-t) ile normaldir (martingale özelliği).
• W(u) tahminlerinin varyansı u  giderken sınırsız olarak
artar.

14. dW(t) nin karakteristik özellikleri
• 1- W(t) deki beklenen değişim E[dW(t)] sıfırdır.
E[dW(t)] = 0
E[dW(t)] = E[W(t + dt) – W(t)] =
E[(t + dt)] = 0
(t + dt) ~ N(0, dt) olduğu için.
• 2- E[dW(t) dt] = 0
E[dW(t) dt] = E[dW(t)]dt = 0
dt bir sabittir ve E operatörü dışına çıkar.
dt = 0 for all  > 1.
• Not: (2) ve (3) ve (4) dW(t)dt = 0 gerektirir çünkü beklenen değer ve varyans=0

15. dW(t) Wiener Süreç Diferansiyelinin Özellikleri
• 3- Var[dW(t) dt] = 0
Var[dW(t) dt] = dt2 Var[dW(t)]
= dt2 dt = 0
• 4- E[(dW(t) dt)2] = 0
E[(dW(t) dt)2] = dt2 E[dW(t)2] =
dt2 Var[dW(t)] = dt2(dt) = 0

16. dW(t) Wiener Süreç Diferansiyelinin Özellikleri
• 5- E[dW(t)2] = dt
E[dW(t)2] = Var[dW(t)] = dt (s2=dt)
dW(t) = ((t + dt) ve (t + dt) ~ N(0, dt)
E[(t + dt)] = 0 ve E[(t + dt)2] = Var[(t + dt)]
Olduğu için. Bu çok kullanılacak önemli bir bulgudur.
• 6- Var[dW(t)2] = 0
Var[dW(t)2] = E[dW(t)4 ] – (E[dW(t)2])2 =
E[(t + dt)4] – dt2 = 3dt2 – dt2 = 0
(t + dt) ~ N(0, s2), ise E[(t + dt)4] = 3s4 olur.
• (5) ve (6) göre dW(t)2 = dt, bir sabittir.

17. • Bu özellikler önem taşır. Bunlar rasgele değişkenlerin
fonksiyonunun varyansının da sıfır olabileceğini gösterir.
• Bu geçerli ise beklenen değer operatörü gereksizdir:
Var[f(dW(t))] = 0 ; => E[f(dW(t))] = f(dW(t))

18. • İlerde çok işe yarayacak olan “çarpım” kurallarını da burada
belirleriz.
dt2 = 0 – Bunun anlamı dt nin çok küçük değer olmasıdır.
dW(t) dt = 0 ve dW(t)2 = dt
• Bunlar gereksiz ekspektasyon operatörünü elimine eder çünkü
dW() rasgele değişken fonksiyonunun varyansları sıfıra eşittir.

19. Standart Brown Hareketi veya Standart Wiener
Süreci
• Tanım: W(t) ile gösterilen ve aşağıdaki gibi tanımlanan bir
stokastik süreç bir standart Wiener sürecidir.
W(0) = W0 (= 0)
Artımlar Ws – Wt ~ N(0, s – t)  s,t s > t
her 0 < t0 < t1 < t2 < …< tn-1 < tn  T aralığında bağımsız olarak
dağılır.
– Artımlar (veya kısaca dW(t) diferansiyel değişim) bağımsız
normal değişkenlerdir.
– W her sonlu aralıkta süreklidir yani sıçramalar yoktur.

20. W(t) İntegral formu ile

t
dWWtW
0
0 )()( 
N(0,1)

21. Notlar:
• (a) W hiç bir noktasında türeve sahip değildir.
• (b) Et[Ws] = Et[Wt + (Ws – Wt)]
= Wt + E[Ws – Wt] = Wt
– Sürecin t anında yapılan Ws tahmini daima Wt olarak
bulunur
• (c) VARt[Ws] = VARt[Wt + Ws – Wt] = s – t
- T anındaki Wt bilindiği için.
• (d) VARt[Ws]   as s  

22. Standart Brown hareketinin genelleştirilmesi
• Burada geliştirilen standart Brown veya Wiener Hareket
modeli basitliği ve anlaşılabilirliği yanında finansal fiyat
hareketleri için yeterli bir model değildir.
• Buna karşılık geçerli kavramların anlaşılması ve daha
etkili modellerin geliştirilebilmesi için önemli bir
başlangıç noktası oluşturur.
• Şimdi fiyat hareketlerinde trendi (drift) öngören bir
model istiyoruz.
• Buna göre standart Brown hareketini herhangi bir
gelecekteki beklenen değişimi sıfırdan farklı yapacak
şekilde değiştirmeliyiz.

23. Ito Süreci
• Tanım: Bir X stokastik süreci:
X(0) = X0
dXt = (Xt, t)dt + s(Xt, t)dWt
• Burada dWt, bir standart Brown hareketinin enstantane artımı
olduğunda bu süreç bir Ito sürecidir.
:   [0, T]   sürecin trendi( drift) dir
s:   [0, T]   sürecin dağılımı (volatilitesi) dir.

24. Basit Örnekler
1. (Xt, t) = 0 ve s(Xt, t) = 1 ise bu bir standart Brown
hareketidir
2. (Xt, t) =  (a sabit) ve s(Xt, t) = s (sabit) burada ,
her zaman artışı içinde Xt artışın beklenen değeri
(drift) olacaktır.
• s, Brown hareketinde ( s > 1 veya < 1 olduğuna
göre ) değişimi hızlandırabilir veya yavaşlatabilir.

25. • Basit örneğimizde;
(Xt, t) =  ve s(Xt, t) = 1  t ve Xt için
• Genel olarak süreçler bu kadar basit yapıda değildir. ( ve s
sabit olmayabilir)
• Fakat t anında t ve Xt değerlerinin bilinmesi nedeniyle sürecin
geleceğini belirleyecek olan (Xt,t) ve s(Xt,t) değerlerinin
sonlu olarak var olduğu varsayılır.

26. Brown Hareketi - BH
• Bir çok genel stokastik Süreç temel W Wiener süreci
cinsinden yazılabildiğinden standart BH oldukça
yararlıdır.
X(t+1) = X(t) + (X(t),t) + s(X(t),t) e(t+1)
X(0) = X0, e~i.i.d. N(0,1)
genelleşmiş drift heteroscedastisity
(değişken varyans)

27. Brown Hareketi - BH
Şimdi kısa bir  zaman aralığı seçelim:
X(t+) = X(t) + (X(t),t)  + s(X(t),t) e(t+ )
X(0) = X0, e~i.i.d. N(0, )
genelleşmiş drift heteroscedastisity
(değişken varyans)
dt olarak infinisetimal limitini alırsak
dX(t) = (X(t),t) dt + s(X(t),t) dW(t)
X(0) = X0

28. Aritmetik Brown Hareketi
dX(t+1)=mdt+sdW(t+1)
T>t X(t)>=<0
X(T)|X(t) ~ N(X(t)+m(T-t),s2(T-t))
Tahmin edilen varyans T için  değerine
yaklaşır

29. Genelleştirişmiş Tek Değişkenli WIENER Süreci
(Difuzyon)
• Şimdi Difuzyon dinamiklerinin genel denklemi
dX = (X,t) dt + s(X,t) dW, X(0) = X0
Olarak yazılabilir.
• Bunu daha basitleştirilmiş bir gösterimi;
dX =  dt + s dW
Olacaktır.
• Buna göre dX rasgele değişkeni dt lokal ortalama
ve s2dt lokal varyans değerlerine sahiptir.
• Bunun kesikli analoğu; X =  + s z olacaktır.

30. Genelleştirilmiş Gösterim dX =  dt + s dW
• Dinamik yapılı (zaman bağlı) rasgele değişkenlerin
stokastik yapısı bu genel bağıntı ile verilir.
• Açık yazıldığında bu bağıntı gerçekte
dX(t) = (X,t) dt + s(X,t) dW
Şeklindedir.
• Burada (X,t) drift ve s(X,t) volatilite ifadelerinin
alacağı fonksiyonel formlara göre süreç farklı
davranışlar gösterecektir.

31. Aritmetik BH : dX =  dt + s dW
(X,t) = , ve s(X,t) = s verilmiş iki sabit olsun.
• Bu halde X rasgele değişkeni  drift ve s volatilite ile bir
Aritmetik Brown hareketi sürecini gösterir.
• Bu model sabit bir ivme ile artan ve giderek artan volatilite
(artan belirsizlik) gösteren süreçler için iyi bir modeldir.

32. Aritmetik BH : dX =  dt + s dW
1. ABH sürecinde X positif veya negatif değerler alabilir.
2. 2. u > t ise Xu, t anına göre sürecin gelecekteki değerini
gösterir. Xt verildiğine göre Xu değerlerinin dağılımı
normaldir ve;
Xt+  (u-t) ortlama ve s(u-t)1/2 standart sapma
parametrelerine sahiptir.
• Xu tahmininin varyansı (sabit bir t ve Xt için) u sonsuza
giderken yine sonsuza yaklaşır.
Bunun anlamı model uzun dönemli tahminler için tutarlı
sonuçlar vermez.

33. Aritmetik BH : dX =  dt + s dW

s
t = zaman
X

34. Aritmetik BH : dX =  dt + s dW

s
t = zaman
X

35. Aritmetik BH : dX =  dt + s dW
• Bu model,
– Pozitif veya negatif değerler alabilen ve
– Normal dağılıma sahip tahmin hataları olabilen, ve
– Tahmin varyansı zamanla lineer olarak artan
değişkenler için uygun olabilir.
• Örnek: net nakit akışları
• Hisse senedi hareketleri için ise uygun bir model değildir.

36. ABH Üzerine Notlar
• (a) X positif veya negatif değerler alabilir ve her iki yönde de
keyfi büyüyebilir.
– (b) Xs – Xt ~ N((s – t), s2(s – t))
– (c) Var(Xs)   ; s   için.

38. Geometrik Brown Hareketi
dX(t+1)=X(t)dt+sX(t)dW(t+1)
T>t X(t)>0
lnX(T)|lnX(t) ~ N(lnX(t)+(T-t)-(1/2)s2(T-t), s2(T-t))
• T>t için, Xt 0 da bir yutucu bariyere sahiptir
• Tahmin edilen varyans T için  değerine yaklaşır

39. GBH üzerine Notlar:
• (a) X pozitif olarak başlarsa pozitif olarak kalır.
• (b) X , 0 noktasında bir absorbe edici bariyere sahiptir.
• (c) Xt verildiğine göre Xs lerin koşullu dağılımı lognormaldir.
• Ln(Xs) normal olarak dağılır ve koşullu beklenen değer
Ln(Xs) for s > t is
Ln(Xt) + (s – t) – ½ s2(s – t)
• Ln(Xs) için koşullu standart sapma: s V(s – t)
• Xs için koşullu beklenen değer; Xte(s-t)
• (d) Xs tahmin varyansı s için  olur.

40. Geometrik BH: dX = Xdt + sXdW
• Şimdi drift ve volatilite parametreleri aşağıdaki gibi bir X
fonksiyonu olsun;
(X,t) = X, ve s(X,t) = sX.
• Bu halde zaman bağlı X rasgele değişkeni Geometric
Brownian Hareketi süreci yaşayacaktır.

41. Geometrik BH: dX = Xdt + sXdW
• Bu model aşağıdaki durumların gözlendiği süreçler için uygun
bir analiz tekniği oluşturur.
– Ortalama bir  hızı ile üstel büyüme gözlenir.
– Volatilite rasgele değişkenin düzeyi ile orantılıdır.
– Zamanla artan bir belirsizlik söz konusudur.

42. Geometrik BH: dX = Xdt + sXdW
1. Şayet X(0) > 0, süreç daima pozitif kalacaktır.
2. X = 0, X süreci için bir absorblayıcı bariyer oluşturur .
Şayet X sıfır değerini alırsa (bir sıfır olasılık olayı) artık daima
orda kalacaktır.
3. Bu modelde Xt verildiğine göre Xu ların şartlı dağılım
fonksiyonu log-normal dağılımdır.
4. ln(Xt) lerin şartlı ortalaması; ln(Xt) +  (u-t) - 0.5 s2(u-t)
5. Şartlı standart sapma ise; ln(Xt) is s(u-t)1/2 olarak
verilir.
6. ln(Xt) değerleri ise  ve s2 ile normal dağılıma sahiptir

43. Geometrik BH: dX = Xdt + sXdW
• Xu ların şartlı beklenen değeri;
Et[Xu] = Xtexp[ (u-t)]
• Xu ların varyansı (sabit t ve Xt için) u ile birlikte sonsuza
yaklaşır.

44. Geometrik BH: dX = Xdt + sXdW
t = zaman
X

45. Geometrik BH: dX = Xdt + sXdW
t = zaman
X

46. Geometrik BH: dX = Xdt + sXdW
• Geometrik BH modeli genellikle finansal aktiflerin
değerlendirmek için kullanılır.
• Burada aktif değerlerindeki oransal değişimler genellikle
bağımsızdır ve normal dağılım eğilimindedir.
• Örnek: döviz fiyatları, hisse senetleri
• Bu model temettüler ve faizler için uygun değildir.
• NOT: Bir tür kendini besleyen (self-reinforcing) süreç olan ve yangın efektini
yansıtan eksponansiyel yapılı GBH finansal dinamiklere nasıl uyuyor, pek akla
yatkın değil. Aktif değerlerinin çılgın gibi hızla yükselip sıçramalar yapması gerekir
ki durum böyle değil. Bu nedenle Black-Scholes hesaplarına fazla güvenmemek
gerekir.

47. Mean Reverting(*) Süreçler
olsun
volatilite
ortalamasıdönemuzun
hıızuyarlanma
XtX





s


ss


0
),(
t)(X,
SüreciUhlenbeckOrnsteiniçin
dWXdtXdX


1
)(


s
(*) : Mean Reverting = Ortalamaya Döndüren
Süreç zaman içinde drift değerinin etrafında kalma eğilimindedir.
 parametresi Ortalamaya dönüş hızını düzenler

48. Mean Reverting Süreç (Ornstein-Uhlenbeck Süreci)
dX(t+1)=k(m-X(t))dt+sX(t)dW(t+1)
Xt > 0 X0>0 ve >0
• X0, dX>0 volatilite sıfır olur
• Tahmin edilen varyans T için  değerine yaklaşır
• =1/2 için Xt ~non-central khi2 dağılır
E(Xt)=(Xt-)e-k(T-t)+
V(Xt)=Xt(s2/)e -2k(T-t) + (s2/)(1-e -k(T-t) )2

49. Mean Reverting Süreçler dX = (-X)dt + sX

dW
• Bu model uzun dönemli değişimleri olan fakat
bunların kısa dönemdeki etkiler ile değiştiği süreçler
için uygundur.
• , , ve s değerlerini genelliği kısıtlamadan basitlik
için pozitif olarak kabul edeceğiz.

50. Mean Reverting Süreçler dX = (-X)dt + sX
dW
1. X(0) > 0, ise süreç daima pozitiftir.
2. X sıfıra yaklaşırken, drift pozitif değer alır ve volatilite sıfıra
yaklaşır.
3. u>t sonsuza giderken, Xu tahminin varyansı sonlu kalır.

51. Mean Reverting Süreçler dX = (-X)dt + sX

dW
• Şayet  = 0.5, ise Xu rasgele değişkenlerinin verilen bir Xt ve u>t
için dağılımı non-central chi-kare tipidir.
• Dağılımın beklenen değeri; (Xt- ) exp[-(u-t)] + 
• Varyansı ise,
2)(
1
2
2
)(2)(
2





 





 

 tu
e
tu
e
tu
e
t
X


s

s
 ]exp[-)-(Xt 

52. Mean Reverting Süreçler dX = (-X)dt + sX

dW
t = zaman
X


53. Mean Reverting Süreçler dX = (-X)dt + sX

dW
t = zaman
X


54. Mean Reverting Süreçler dX = (-X)dt + sX
dW
• Bu model genellikle ekonomik parametrelerin değişimin analiz
etmek için kullanılır. Ticari aktiflerin hareketleri için
kullanılmaz.
• Örnek: faiz oranları, volatilite