Este documento resume los principales conceptos relacionados con la circunferencia en matemáticas. Explica qué es una circunferencia, cómo se define mediante su ecuación analítica, y conceptos como centro, radio, diámetro y arco. También cubre puntos exteriores, interiores y sobre la circunferencia, así como rectas tangentes y secantes. Por último, introduce la potencia de un punto y el eje radical de dos circunferencias.

1. LAS CÓNICAS
DOCENTE: LUIS QUILUMBAQUIN
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS
TEMA: LA CIRCUNFERENCIA
CURSO: 2BGU
2017 - 2018
*
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Internacional.

2. *
SUPERFICIECÓNICA
Generatriz
Eje

3. *
CÓNICAS DEGENERADAS
Punto Recta Rectas secantes
α< β α =β α> β
α
β
α
β α
β

4. *
Circunferencia:
El planosecanteesperpendicularal eje.
Elipse:
El planosecanteformacon eleje un ángulo () menorque con las
generatrices()
En ambos casoslacónica esunacurvacerraday cortaatodaslas
generatrices
Parábola:
El planosecanteesparaleloaunageneratriz,cortandoaunasoladelas
hojasde lasuperficiecónica.  =
Hipérbola:
El planosecanteformacon eleje un ángulo () menorque con las
generatrices() y cortaalasdoshojasdelasuperficiecónica.
En ambos casoslacónica esunacurvaabiertayno cortaatodaslas
generatrices.
Circunferencia Elipse
Parábola Hipérbola
CÓNICAS NO DEGENERADAS
 = 90º  > 
 =   < 

5. *
Al cortar la superficie cónica con un plano se obtienen unas curvas que se llaman cónicas.
Las distintas posiciones del plano determinan diferentes cónicas.
Circunferencia: cónica no degenerada que se obtiene cuando el plano secante es
perpendicular al eje del cono, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.

6. *
C
Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro.
Diámetro
Centro
Arco
C PC

7. *
P(x, y)  Circunferencia d(P, C) = r  (x – a)
2
+(y – b)
2
= r
Ecuación analítica de la circunferencia: (x – a)2+(y – b)2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
x2 + y2 +D x + E y + F = 0
Inversamente: dada x2 + y2 +D x + E y + F = 0 su centro y el radio serán:


–2a = D
–2b = E
a
2
+b
2
–r
2
= F






a = –
D
2
b = –
E
2
r = a
2
+b
2
–F =
1
2
D
2
+E
2
–4F


8. *
kx2 +ky2 –2akx –2bky +k(a2+b2 – R2)=0
Ax2 +By2 +Cxy +D x +E y + F = 0
Identificando coeficientes se obtiene:
 De las dos primeras ecuaciones A = B = k.
 Y de las tres últimas: a = –
D
2A ; b = –
E
2A ; R =
1
2A D
2
+E
2
–4AF
 C = 0
Si es negativo no existe circunferencia.

9. *
Si d(P, O) > r el punto P
es exterior
Si d(P, O) = r el punto P
está en la circunferencia
Si d(P, O) < r el punto P
es interior

10. *
• Si d(O, s) > r, la recta s
es exterior.
• Recta y circunferencia
no tienen puntos en
común.
• Si d(O, s) = r, la recta s
es tangente.
• Recta y circunferencia
tienen un punto en
común.
• Si d(O, s) < r, la recta s
es secante.
• Recta y circunferencia
tienen dos puntos en
común.

11. *
Para saber cuántos puntos en común tienen una recta a x + b y + c=0 y una circunferenc
Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 hemos de saber cuántas soluciones tiene el sistema
a x + b y + c = 0
Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0
Mx2 + Nx + P = 0
Al despejar y de la ecuación de arriba y sustituir en la de abajo obtenemos
D= N2 - 4 M P > 0 
 dos soluciones 
 dos puntos de contacto
Recta secante
D= N2 - 4 M P = 0 
 una solución 
 un punto de contacto
Recta tangente
D= N2 - 4 M P < 0 
 sin solución 
 sin puntos de contacto
Recta exterior
•
• •

12. *
• Si d(O, O') > r + r', las
circunferencias son
exteriores.
• Las circunferencias no
tienen puntos en común.
• Si d(O, O') = r + r', las
circunferencias son
tangentes exteriores.
• Si d(O, O') = r – r', las
circunferencias son
tangentes interiores.
• Las circunferencias
tienen un punto en
común.
• Si d(O, O') < r – r', las
circunferencias son
interiores.
• Si además tienen el
mismo centro son
concéntricas.
• Las circunferencias no
tienen puntos en común.

13. *
• Los triángulos PAB' y PA'B son semejantes  PA . PB = PA' . PB‘
• Se define Potc(P) = PA . PB = PA' . PB'

14. *
Potc(P) = PA . PB = (d – r) (d + r) = d2 – r2 = (xo – a)2 + (yo – b)2 – r2
d = (xo–a)
2
+(yo–b)
2
Por tanto: para hallar la potencia de un punto respecto a una circunferencia
se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación de la circunferencia.

15. *
P exterior a la
circunferencia 
Potc(P) > 0
P interior a la
circunferencia 
Potc(P) < 0
P sobre la
circunferencia 
Potc(P) = 0

16. *
• Sean C1:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 y C2 :x2 + y2 + D'x + E'y + F' = 0.
• Para que un punto P(x, y) pertenezca al eje radical se ha de cumplir que PotC
1
(P) =
= PotC
2
(P) . Es decir:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = x2 + y2 + D'x + E'y + F' 
(D – D') x + (E – E') y + (F – F') = 0
Se define el eje radical de dos circunferencias como el lugar geométrico de los
puntos del planos que tienen igual potencia respecto de ambas.
Por tanto: el eje radical de dos circunferencias es una recta.

17. *
El eje radical es siempre perpendicular a la línea de centros.