Este documento describe diferentes operaciones algebraicas como la suma, resta, multiplicación, división y factorización de expresiones algebraicas. Explica cómo realizar cada operación y provee ejemplos ilustrativos. También cubre conceptos como productos notables y cómo usar fórmulas para factorizar expresiones.
2. Suma de expresiones algebraicas
Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más términos, se deben reunir todos los términos
semejantes que existan, en uno sólo. Se puede aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto
de la suma.
Ejemplo
Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:
Solución:
Luego
=
Para sumar expresiones algebraicas, hay que
tener en cuenta dos cosas, la suma de dos
términos semejantes se pueden reducir a un
solo termino, si tales términos son diferentes
ante una suma, simplemente el resultado se
deja expresada tal cual es sin cambiar los signos
de los términos.
3. Resta de expresiones algebraicas
Hay que tener en cuenta que cuando realizamos sustracciones de un termino con otro, pueda que el resultado
incrementa de valor, esto es así desde que se definición los números enteros, la extensión de los números
naturales.
Restar números naturales es fácil, siempre y cuando el minuendo sea mayor que el sustraendo, el resultado
disminuía, pero desde que se introdujo los números enteros, esto es, se añadió a la recta de los números naturales
los números enteros, existían casos donde la diferencia de dos números enteros aumentaba, cosa contraria con la
resta de números naturales.
Ejemplos con monomios
Comencemos con la resta entre monomios:
(4a)–(−2a)–(−3b)–(−5b)–(2c)–(c)
.
Eliminando los paréntesis, resulta:
4a+2a+3b+5b–2c–c
Reduciendo términos semejantes:
6a+8b–3c
Ejemplos con polinomios
Y ahora veamos la resta con polinomios:
(8m+6n)–(2m–5n)–(−p)
.
Eliminando paréntesis se cambian los signos de 2m−5n a
−2m+5n y −p a p:
8m+6n−2m+5n+p
Reduciendo términos semejantes:
6m+11n+p
4. Multiplicación de expresiones algebraicas
La multiplicación entre expresiones es independiente de la existencia de términos semejantes, esto solo es
aplicable cuando tratamos con la suma y resta algebraica.
Aquellas proposiciones que ya hemos demostrado previamente serán usadas en esta sección. Estas leyes son
la ley de los signos, las leyes de la potenciación de la teoría de exponentes como las leyes distributivas de
multiplicación con respecto a la suma y resta.
De monomio:
Multiplicar 3a2 por 6a4. Se multiplican los coeficientes (+3)(+6) = +18 y a continuación se hace la
multiplicación de las letras (a2)(a4) = a2 + 4 = a6, por lo tanto, el resultado será:
(3a2)(6a4) = 18a6
De polinomio:
Multiplicar 2a por (b + a2), en este caso lo que se tiene es (2a)(b + a2), se tiene una multiplicación de 2a
por el primer término del polinomio que es “b” y otra multiplicación de 2a por el segundo término que
es “a2", por lo tanto se tendría:
(2a)(b + a2) = (2a)(b) + (2a)(a2) = 2ab + 2a3
Con la práctica se puede hacer la multiplicación de forma directa sin tener que hacer una separación
de los términos, para quienes inician se recomienda hacer la separación para verificar el resultado.
Multiplicar 4b por (a2 – 3ab + 5b2c), otra forma recomendable para analizar es realizando la
multiplicación en forma de columna.
(a2 – 3ab + 5b2c) x (4b) 4a2b – 12 ab2 + 20b3c
5. División de expresiones algebraicas
La división de expresiones algebraicas consta de las mismas partes que la división aritmética, así que si hay 2
expresiones algebraicas, p(x) dividiendo, y q(y) siendo el divisor , de modo que el grado de p(x) sea mayor o
iguala 0 siempre hallaremos a 2 expresiones algebraicas dividiéndose.
División de monomios: - Se dividen los coeficientes y las literales se restan junto con sus exponentes.
Ejemplo.- 5xm+2y4z / -4xm-4y3z = 5/4 x6y
División de polinomios:- Para dividir un polinomio entre otro polinomio es necesario seguir los
siguientes pasos.
1.- Se ordenan los 2 polinomios en orden descendente y alfabético.
2.- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
3.- Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del
dividendo, obteniendo un nuevo dividendo.
4.- Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el resultado sea 0 o de menor exponente que el dividendo.
Ejemplo: -15x2+22xy-8y2 / -3x+2y = 5x-4y
6. Valor numérico de expresiones algebraicas
Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica, se reemplaza el valor dado de la(s) letra(s) y se
realizan las operaciones indicadas en la expresión, ahora, entre números, El valor obtenido, es el valor
numérico de la expresión dada.
Ejemplo 1
Evalúe la expresión para x = -1.
Luego el valor numérico de la expresión
para x = -1 , es 1
Ejemplo 2
Evalúe la expresión para x = -2.
El valor numérico de la expresión dada es -16.
7. Productos notables de expresiones algebraicas
Los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas, que por sus
características destacan de las demás multiplicaciones. Las características que hacen que un producto sea
notable, es que se cumplen ciertas reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante una simple
inspección, sin la necesidad de verificar o realizar la multiplicación paso a paso.
Los productos notables están íntimamente relacionados con fórmulas de factorización, por lo que su aprendizaje
facilita y sistematiza la solución de diversas multiplicaciones, permitiendo simplificar expresiones algebraicas
complejas.
Existe varios tipos de productos notables o identidades notables, cada uno con su característica particular, sus
diferente forma de resolver y con distintas reglas que cumplir, entre estos podemos mencionar los siguientes:
1. Binomio al cuadrado.
2. Binomio al cubo.
3. Binomios conjugados.
4. Binomios con un termino común.
5. Trinomio al cuadrado
6. Trinomio al cubo
Existen diversas formulas todo dependerá del tipo de factorización que se desee realizar, entre las mas
importantes podemos mencionar:
8. Formulas de binomio al cuadrado:
En este producto notable podemos encontrarnos con dos formulas:
Formula de suma de un binomio al cuadrado:
(x+a) = x +2xa+a
Formula de resta de un binomio al cuadrado
Formulas de binomio al cubo
En este producto notable podemos encontrarnos con dos formulas:
Formula de suma de un binomio al cubo
Formula de resta de un binomio al cubo
Las Formulas de binomios conjugados
Formulas de binomios con un termino común
2 2 2
9. La Formula de un trinomio al cuadrado
Con las dadas se pueden formar otras cambiándole los signos a los términos; pero el procedimiento es el
mismo.
Formula de trinomio al cubo
Al igual que la anterior, podemos formar varias formulas, con solo cambiar los signos de los términos, pero el
procedimiento es el mismo; los negativos colocarlos entre paréntesis y no olvidar multiplicar los signos al
momento de resolver.
10. Factorización por productos notables
Factorización: es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión
dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores.
•Factorización por factor común: se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y
dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio
por el F.C.
Factor común monomio:
Descomponer en factores a + 2a
a y 2a contienen el factor común “a”. Escribimos el factor común “a” como coeficiente de un paréntesis
dentro del cual escribimos los cocientes obtenidos de dividir a ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 y tendremos:
a + 2a = a(a + 2).
Factor común polinomio:
Descomponer x (a + b) + m(a + b)
Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a + b), por lo que ponemos (a + b) como
coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la
expresión dada entre el factor común (a + b), o sea:
X(a+b)/(a+b)=x y m(a+b)/(a+b)=m y tendremos:
x (a + b) + m(a + b) = (a + b)(x + m).
2
2
2
2
