Polinomios y fracciones algebraicas. 4º ESO - 1º BACH

1. 2.1 – Expresiones algebraicas
• Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por
los signos de las operaciones aritméticas. Los números se llaman coeficientes
y las letras se llaman variables, incógnitas o indeterminadas.
• Hay expresiones algebraicas de muy distintos tipos:
- Monomios: 3x2 , - 2x, 2pr,...
- Polinomios: 3x2 - 2x +1, 2prh + 2pr2
• Algunas expresiones algebraicas son igualdades:
- Identidades: 3(x + 4) = 3x +12
- Ecuaciones: 3(x + 4) = 27
Se verifica para cualquier valor de “x”.
Se verifica para “x = 5”
•Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la
expresión.

2. 2.1 – Expresiones algebraicas
x
y
• Si x y y son las medidas de los lados de un
rectángulo, 2x + 2y es la expresión algebraica
que nos da el perímetro del rectángulo.
• Su valor numérico para x = 3 y y = 2 nos da el
perímetro de un rectángulo de esas dimensiones:
2 . 3 + 2 . 2 = 10
Ejemplo:

3. 2.2 – Monomios
• Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas
operaciones que afectan a las letras (parte literal) son la multiplicación
y potenciación de exponente natural.
• El coeficiente es el número que acompaña a las incógnitas
• El grado de un monomio es la suma de sus exponentes.
• Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica la parte literal.
Grado respecto de la letra x
8x2y5 El grado de este monomio es 2 + 5 = 7
Coeficiente
• Valor numérico de un monomio es el resultado que se obtiene al
sustituir las incógnitas por sus valores. (x = 2, y = -1  -32)

4. 2.2 – Monomios
• Suma o diferencia de monomios: La suma (diferencia) de monomios
semejantes es otro monomio también semejante a ellos cuyo coeficiente es la
suma (diferencia) de sus coeficientes.
Si dos monomios no son semejantes, su suma (diferencia) no se puede
simplificar y hay que dejarla indicada.
12x2y – 2x2y + 4x2y = (12 – 2 + 4)x2y = 14x2y
5x2 + 6xy = 5x2 + 6xy
12x2y – 2x2y + 4x2y + 5x2 + 6xy = 14x2y + 5x2 + 6xy
Ejemplos:

5. 2.3 – Polinomios
Un polinomio es una expresión que es suma o resta de monomios. Cada uno
de los monomios que lo forman se llama término.
Término principal Grado del polinomio
P = 8x5 – 6x4 – 3x2 + x – 2
Término de grado 2 Término independiente
o término de grado 0
El valor numérico de P en a, P(a), se obtiene sustituyendo x por a

6. 2.3 - Polinomios
• Suma o resta de polinomios agrupamos los términos del mismo grado.
P = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4
Q = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x
P + Q = x5 + 5x4 – 2x3 + 3x – 4
P = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4
Q = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x
P – Q = x5 – x4 + 2x3 – 6x2 – x – 4
Ejemplo
El grado de P ± Q es, como mucho, el mayor de los grados de P y Q

7. 2.3 – Polinomios
• El producto de un polinomio por un monomio es otro polinomio cuyos
términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio
2xy2 . (3x – 2y + 4) = (2xy2 . 3x) + (2xy2 . (– 2y) + (2xy2 . 4) = 6x2 y2 – 4xy3 + 8xy2
• El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se
obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo
y sumando luego los términos semejantes
–7x3 + 3x2 – 0x + 2
2x2 + 3x – 1
7x3 – 3x2 + 0x – 2
– 21x4 + 9x3 – 0x2 + 6x
–14x5 + 6x4 + 0x3 + 4x2
–14x5 –15x4 +16x3 + x2 + 6x – 2

8. 2.3 - Polinomios
• Productos notables • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
• (a + b) (a – b) = a2 – b2
• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
• Sacar factor común: Cuando todos los términos de un polinomio, P(x),
son múltiplos de un mismo monomio, M(x); podemos extraer M(x) como
factor común.
• 2x+3x 2 – 7x4 = x.(2 +3x – 7x3)

9. 2.3 - Polinomios
• Cociente de polinomios: La división de polinomios es similar a la división
entera de números naturales: al dividir dos polinomios, se obtiene un
cociente y un resto (el grado del resto es menor que el grado del divisor).
La relación entre D(x), d(x), C(x) y R(x) es:
D(x) = d(x).C(x) + R(x), o bien, D(x) = +
C(x) R(x)
d(x)
d(x)
Cuando el resto es cero, R(x) = 0, la división es exacto y se cumple:
C(x)
D(x) = d(x).C(x), o bien, D(x) =
d(x)

10. 2.3 - Polinomios
Cociente de
los términos
de mayor grado x3
resto
Se resta x3 . d
Se resta 2x2 . d
Se resta (–1) . d –(– 3x2 – 2x + 4)
cociente
Cociente de
los términos
de mayor grado
3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4
– (3x5 + 2x4 –4x3)
6x4 + 4x3 – 11x2 – 3x + 6
Primer paso
3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4
– (3x x3 5 + 2x4 –4x3)
6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6
Segundo paso
– (6x4+ 4x3 – 8x2)
– 3x2 – 3x + 6
3x5 + 8x4 – 11x2 – 3x + 6 3x2+2x–4
– (3x x3 + 2x2 5 + 2x4 –4x3)
6x4– 4x3 – 11x2 – 3x + 6
– (6x4– 4x3 – 11x2)
– 3x2 – 3x + 6
Tercer paso
Cociente de
los términos
de mayor grado
– x + 2
+ 2x2
– 1

11. 2.4 – Regla de Ruffini
r
La Regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a.
Ejemplo: Dividir P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se
Coeficientes de P 2 – 6 – 4 12
a 2
se suma
Se opera:
2 – 6 – 4 12
2
2
4 – 4 – 16
– 4
–2 –8
se multiplica por a
Hemos obtenido que: P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)

12. 2.4 – Regla de Ruffini
Criterio de divisibilidad por x – a: Si un polinomio tiene coeficientes enteros,
para que sea divisible por x –a es necesario que su término independiente sea
múltiplo de a.
Por tanto, para buscar expresiones x –a que sean divisores de un polinomio,
probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del
término independiente
Valor de un polinomio para x = a: El valor numérico de un polinomio, P(x),
para x = a, es el número que se obtiene al sustituir la x por a y efectuar las
operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a).
Teorema del resto: El valor que toma un polinomio, P(x), cuando x =a,
coincide con el resto de la división P(x) : (x – a), es decir, P(a) = r
El resto de dividir P(x) = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede obtener así:
P(2) = 2 . 23 – 7 . 22 – 4 . 2 + 12 = – 4

13. 2.5 – Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios
(factores) del menor grado posible.
Método para factorizar un polinomio:
•Sacar factor común.
•Recordar los productos notables.
•Si es un polinomio de grado > 2: Por Ruffini, probando con los divisores del
término independiente, hasta obtener resto cero: P(x) = (x –a).C(x)
•Si es un polinomio de grado = 2. Se resuelve la ecuación de segundo grado:
Þ -
2 soluciones distintas a.(x - x ).(x x )
ì
Þ
1 solución doble a.(x - x )
No tiene solución ax bx c
ax bx c 0
2
2
1
1 2
2
ïî
ïí
Þ + +
+ + = Þ

14. 2.5 – Factorización de polinomios
Ejemplo: Factorizar el polinomio P = x4 + 3x3 – x2 – 3x
• Se saca factor común x: x(x3 + 3x2 – x – 3)
• Por Ruffini: x3 + 3x2 – x – 3 Para ello probamos con los divisores positivos y
negativos de 3
1 3 –1 -3
1 1 4 3
1 4 3 0
• Por la fórmula:x2 +4x + 3 = 0  x = -1, x = -3
x.(x – 1).(x + 1).(x + 3)

15. 2.5 – Factorización de polinomios
Ejemplo: descomponer P = x3 – 2x + 4
1.– No podemos sacar factor común
2 – Regla de Ruffini. Buscamos posibles soluciones de la ecuación x3 – 2x + 4
= 0 entre los divisores del término independiente: {1, –1, 2, –2, 4, –4}.
1 0 –2 4
–2 –2 4 –4
1 –2 2 0
3.– Por la fórmula x2 – 2x + 2 = 0. No tiene solución
(x + 2).(x2 – 2x + 2)

16. 2.6 – Divisibilidad de polinomios
• Múltiplos y divisores: Un polinomio D(x), es divisor de otro, P(X), si la
división P(x) :D(x) es exacta. En tal caso, se dice también que P(x) es
múltiplo de D(x), ya que P(x) = D(x).C(x)
• Polinomios irreducibles: Un polinomio es irreducible cuando no tiene
ningún divisor de grado inferior al suyo.
• Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios:
Un polinomio, D(x), es el máximo común divisor de dos polinomios, P(x)
y Q(x), si es divisor de ambos y no hay otro polinomio divisor común con
mayor grado que él. Se denota: D(x) = M.C.D. [P(x),Q(x)]
Método para calcularlo:
-Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x)
-Se toman los factores comunes al menor exponente

17. 2.6 – Divisibilidad de polinomios
Un polinomio, M(x), es el mínimo común múltiplo de dos polinomios,
P(x) y Q(x), si es múltiplo de ambos y no hay otro polinomio múltiplo
común con menor grado que él. Se denota: M(x) = m.c.m. [P(x),Q(x)]
Método para calcularlo:
-Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x)
-Se toman los factores comunes y no comunes al mayor exponente
Ejemplo: P(x) = x3 – x2 – x + 1, Q(x) = 2 x3 + 6 x2 – 8
-Factorizamos : P(x) = (x – 1) 2 .(x + 1) Q(x) =2.(x –1).(x + 2)2
-m.c.m [P(x),Q(x)] = 2.(x –1)2 .(x + 1).(x + 2) 2
-M.C.D [P(x),Q(x)] = x - 1

18. 2.7 – Fracciones algebraicas
P(x)
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios Q(X)
Simplificación: Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y
denominador y se eliminar los factores comunes obteniéndose otra fracción
equivalente. x3 – 3x2 + x – 3
x4 – 1
(x – 3) (x2 + 1)
(x – 1) (x + 1) (x2 + 1)
x – 3
x2 – 1
Reducir a común denominador: Se sustituye cada fracción por otra
equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el
mínimo común múltiplo de los denominadores.
+
, x 1
x 1
, x
x 1
3
x 1
2 -
- +
=
+
, x 1
- +
, x
3
- +
=
(x 1)(x 1)
x 1
x 1
+
, x 1
(x 1)(x 1)
-
, x(x 1)
(x 1)(x 1)
= +
3(x 1)
(x 1)(x 1)
- +
+ -
- +
, x 1
-
= +
2 2 2 -
x 1
, x(x 1)
x 1
3(x 1)
x 1
+
-
-

19. 2.7 – Fracciones algebraicas
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Suma y diferencia: para sumar o restar fracciones algebraicas, se buscan
fracciones algebraicas equivalentes con denominador común y se suman o restan
los numeradores
x – 2 +
x2 – 3x
= x – 2 +
(x – 3)x
=
x2 – 1
x2 – 2x + 1
(x – 1)(x + 1)
(x – 1)2 (x – 2)(x – 1) +
(x – 1)2 (x + 1)
(x – 3) x (x + 1)
(x – 1)2 (x + 1)
= x2 – 3x + 2 + x3 – 2x2 – 3x
(x – 1)2 (x + 1)
=
x3 – x2 – 6x +2
(x – 1)2 (x + 1)
=

20. 2.7 – Fracciones algebraicas
Producto: para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican entre si los
numeradores y los denominadores
x – 2
x2 – 2x + 1 .
=
x4 – 1
2x + 1
(x – 2) (x4 – 1)
(x2 – 2x + 1) (2x + 1) =
(x – 2) (x – 1) (x + 1) (x2 + 1)
(x – 1)2 (2x + 1) =
(x – 2) (x + 1) (x2 + 1)
(x – 1) (2x + 1) =
x4 - x3 -x2 -x -2
2x2 - x - 2
=

21. 2.7 – Fracciones algebraicas
Inversa de una fracción algebraica: la inversa de una fracción algebraica
P(x)/Q(x) es la fracción (P(x)/Q(x)) -1 = Q(x)/P(x)
División de fracciones algebraicas: para dividir una fracción algebraica
entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda
x3 – 1
2x2 + x = :
x3 – 1
2x2 + x . = x4 + 1
(x3 – 1) (2x – 1)
(2x2 + x) (x4 + 1) =
2x – 1
x4 + 1
2x4 - x3 - 2x + 1
2x6 + x5 + 2x2 + x
2x – 1