1. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE
PROF. ALBINO SANCHEZ BARROS
PROFESORADO DE MATEMATICAS
CATEDRA: ANALISIS II
Trabajo Resumen: Derivada
Introducción
La derivación es una de las operaciones que el Análisis Matemático efectúa
con las funciones, y permite resolver numerosos problemas de geometría,
economía, física y otras disciplinas.
DERIVADA
Recta Tangente y Derivada
Para introducir el concepto de derivada, se recurre por lo general a un
problema físico y otro geométrico: El cálculo de la velocidad instantánea de un
móvil y la definición de la recta tangente a una curva en un punto de la misma
respectivamente. Se considerara solo la segunda situación de la recta
tangente.
En la figura, la recta que debería ser la recta tangente a la curva en el punto P,
intercepta a la curva en otro punto Q.
Figura 1
Para obtener una definición adecuada de la recta tangente a la grafica de una
función en un punto, se emplea el concepto de límite, a fin de definir la
pendiente de la recta tangente en el punto. Después, la recta tangente se
determina por medio de su pendiente y el punto de tangencia.
Se desea definir la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en el punto
P (x₁, f (x₁)) en una función f continua en x₁.

2. Sea I un intervalo abierto que contiene a x₁, en el cual está definida f. Sea Q
(x₂, f(x₂)) otro punto sobre la grafica de f tal que x₂ también este en I, como en
la figura.
Figura 2
Cualquier recta que pase por dos puntos de una curva se denomina recta
secante, en la figura tenemos rectas secantes para varios valores de x₂.
Interpretación geométrica
La figura 3 muestra una recta secante particular. En esta figura Q esta a la
derecha de P. Sin embargo Q puede estar a la derecha o a la izquierda de P
como lo muestra la Figura 2
Figura 3 Figura 4
La diferencia de las abscisas de Q y P en la figura 3 se denota por Δx (se lee
“delta x”) de modo que
. Donde Δx puede ser positivo o negativo. Δx es el incremento
de x. En la figura 4, Δx se hace cada vez más pequeño, el punto Q se aproxima
cada vez más a P, obteniéndose un haz de rectas secantes cuando Δx
secantes; 0 la
posición limite de estas secantes es la de la tangente a la curva en P,

3. determinando el ángulo α con el semieje positivo de las x, cuya tangente
trigonométrica del mismo es tg α = ΔY
Δx
Considerando el límite en la igualdad para Δx 0
Lim ΔY = Lim tg α = tg Lim α
Δx 0 Δx Δx 0 Δx 0
Donde Lim ΔY = tg Lim α
Δx 0 Δx Δx 0
El límite del primer miembro es, por definición, la derivada de la función, el
límite del segundo miembro, cuando Δx tiende a 0, el incremento de la función
ΔY también tiende a 0, la recta secante se transforma en la tangente
geométrica a la curva en el punto P, por lo tanto el ángulo trigonométrico α
tiende al ángulo α que forma la tangente geométrica a la curva en el punto P,
localizado este ultimo α sobre las abscisas y queda.
y = tg lim α = tg α o sea y = tg α
α α abs
Definición de recta tangente a la grafica de una función
Se supone que la función f es continua en x₁. La recta tangente a la grafica de f
en el punto P (x₁, f (x₁)) es:
I) La recta que pasa por P y tiene pendiente dada por
Si este límite existe.
II) La recta x = x₁ si
Si no se cumple ninguno de los dos incisos de la definición, entonces no existe
la recta tangente a la grafica de f en el punto P (x₁, f (x₁)), o sea la derivada en
x₁ que se verá enseguida
La figura muestra la grafica de una función f y su recta tangente cuando
existe la pendiente de la función para x₁

4. Cociente incremental
La pendiente de la recta secante PQ en la figura 3 está determinada por
Como x₂ = x₁ + Δx, la ecuación anterior puede escribirse como
Expresión conocida como cociente incremental, representa una variación
media de crecimiento o de decrecimiento de la función en el intervalo
[x₁ ; x₁ + Δx], para tener una idea más aproximada de la rapidez de la variación
de la función, se consideran Δx cada vez menores en la Figura 3, considerando al
punto P como fijo y que el punto Q se mueve a lo largo de la curva hacia P, es
decir Q tiende o se aproxima a P. Esto equivale a decir que Δx tiende a 0. Si la
recta secante PQ tiene una posición límite, es esta posición límite la que se
quiere como la recta tangente a la grafica de f en el punto P. Se desea así, que
la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en P sea el límite de
conforme Δx tiende a 0, si este límite existe es igual a +∞ o a - ∞, entonces
conforme Δx tiende a 0 la recta PQ tiende a la recta que pasa por P y es
paralela al eje Y.
Derivada de una función en un punto
Se llama derivada de una función continua en un punto, al límite del cociente
incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a 0.
La derivada de la función f(x) en el punto x₀ se representa con cualquiera de
las dos notaciones siguientes:
De acuerdo a lo dicho:

5. Este límite finito es un número.
Como consecuencia de lo visto: si hay derivada de una función para un
determinado x, hay tangente a la curva en el punto correspondiente y
recíprocamente
Ejemplo
Encontrar una ecuación de la recta tangente a la parábola en el
punto (2,3). Dibujar la parábola y mostrar un segmento de la recta tangente
en (2,3)
Solución primero se calcula la pendiente de la recta tangente en (2,3) con
se tiene:
Así, la recta tangente en (2,3) tiene pendiente 4. De la forma punto-pendiente
de la ecuación de una recta se obtiene
La figura presenta la parábola y un segmento de la recta tangente en (2,3)
Ejemplo

6. a) Calcular la pendiente de la recta tangente a la grafica de , en el
punto (x₁, f (x₁))
b) Determinar los puntos de la grafica donde la recta tangente es horizontal y
utilizar estos puntos para dibujar la grafica de f
Solución
a)
Aplicando la fórmula para encontrar la pendiente
Se obtiene finalmente pendiente y derivada de la función
b) La recta tangente es horizontal en los puntos donde la pendiente es 0,
considerando a se tiene
Luego de reemplazar el valor encontrado de x₁ en la función, se obtiene las
coordenadas en donde la recta tangente es horizontal, es decir en los puntos
(-1,2) y (1,-2). Al localizar estos puntos y algunos otros se obtiene la siguiente
grafica

7. Definición de función derivada y particularidades de la notación
Hasta ahora se ha considerado la derivada de una función en un punto. En
los problemas en general, es necesario conocer la derivada de la función en
distintos puntos
Notación
El uso del símbolo f´ para la derivada de la función f fue introducido por el
matemático francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Esta notación
destaca que la función f´ se deriva (o proviene) de la función f y su valor en x
es f´(x).
Y´ se utiliza también como notación para la derivada de f(x). Con la función f
definida por la ecuación y = f(x) se considera que
Donde Δy se denomina incremento de y de
nota un cambio en el valor de la función cuando x varía en Δx, al utilizar esta
fórmula y escribir en lugar de f´(x) la formula de la derivada de una
función se transforma en el símbolo fue empleado como

8. notación para la derivada por primera vez por el matemático alemán Gottfried
Wilheim Leibniz (1646-1716) y Sir Isaac Newton (1642-1727), cuando se
utiliza como notación para la derivada de una función se debe tener en cuenta
que no se considera una razón, sino simplemente como signo para la derivada,
significa la derivada de “y” con respecto a “x”
Ejemplo
Calcular si y =
Solución se ha dado y = f(x) donde f(x)=
Se racionaliza el numerador
Al dividir numerador y denominador en Δx (ya que ) se obtiene
Otras dos notaciones para la derivada de una función f son
Cada una de estas notaciones permite indicar la función original en la
expresión para la derivada. Por ejemplo se puede escribir el resultado del
ejemplo anterior como:
Propiedades de las funciones derivables
Sea f(x) y g(x) 2 funciones definidas en un intervalo común en cada punto en
que f(x) y g(x) tienen derivada, también tienen derivada la suma f(x) + g(x),
f(x) – g(x), f(x).g(x), el cociente f(x)/g(x) con g(x) = 0 y además el producto por
una escalar c.f(x).
La obtención de las formulas:
1)

9. g´(x) = c.f´(x)
La derivada de la multiplicación de una función por una constante es igual a
la derivada de la función multiplicada por la constante
2)
Si f y g son funciones y si h es la función definida por
h(x) = f(x) + g(x)
y si f´(x) y g´(x) existen, entonces
h´(x) = f´(x) + g´(x)
Dx [f(x) + g(x)] = Dx f(x) + Dx g(x)
La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus derivadas si estas
derivadas existen, extendiendo el resultado por inducción matemática, la derivada de
la suma de un número finito de funciones es igual a la suma de sus derivadas si estas
derivadas existen.
3)
Si f y g son funciones y si h es la función definida por
h(x) = f(x) . g(x)
y si f´(x) y g´(x) existen, entonces
h(x) = f´(x) . g(x) + f(x) . g´(x)

10. La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera
función por la segunda función más la primera función por la derivada de la
segunda función.
4)
Si u y v son funciones y si y es la función definida por
si u´(x) y v´(x) existen, entonces
y´(x) = u´(x). v(x) + u(x). v´(x)
v²
Diferenciabilidad y continuidad
El proceso de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación
Definición
Si f(x) es una función derivable en un intervalo y x₀ es un punto del mismo, se
define, de acuerdo con Leibniz, diferencial de la función en el punto x₀
correspondiente a un incremento Δx de la variable independiente, al producto
de la derivada de la función en el punto por el incremento de la variable
independiente. El símbolo de diferencial es d y se tiene:
El primer miembro se lee: diferencial de la función f en el punto x₀. También
la diferencial de la función y = f(x) en el punto, se designa con y se tiene
Interpretación geométrica de la diferencial en un punto
Dado x₀, se elige Δx, P es el punto de la curva que corresponde a x₀, por el
punto P se traza la tangente. En el triangulo PTB se verifica
es la pendiente de la recta
tangente en P luego es igual a la derivada de la
función
En x₀ ; el segmento PB = Δx, se reemplaza y se
tiene:

11. Es decir que la diferencial en un punto es el incremento de la ordenada de la
tangente en el punto correspondiente
El incremento de la función es Δy = AB
En este caso particular la diferencial es mayor que el incremento, pero
puede ocurrir que sea menor o igual, como ocurre en los siguientes
ejemplos

12. En particular, la diferencial de de f(x) = x es:
Es decir que la diferencial de la variable independiente, es igual al incremento
de la misma.
Se reemplaza en la definición Δx por dx y se tiene
O bien
Las dos últimas expresiones de la derecha, indican que la derivada de una
función, es igual al cociente entre el diferencial de la función y la de la variable
independiente; esta notación tiene la ventaja de destacar la variable respecto a
la cual se deriva pues se lee: la derivada de y con respecto de x

13. Se comienza con la discusión acerca de diferenciabilidad y continuidad con el
ejemplo siguiente
Sea
Aplicando la fórmula alternativa de función derivada, si el limite existe
La figura muestra la grafica de f trazada en el rectángulo [-6,6] , [-4,4]
TEOREMA
Si una función f es diferenciable en un número x₁, entonces f es continua en x₁
Demostración para demostrar que f es continua, se debe probar que se
cumplen las tres condiciones de la definición de función continua, es decir, se
debe probar que:
i)f(x₁) existe
ii)
iii)

14. Por hipótesis f es diferenciable en x₁. Por tanto, existe f´(x₁), debido a la formula
equivalente de la derivada de un función
f(x₁) existe, por lo tanto se cumple la condición (i).
Ahora si se considera
(1)
Como
Aplicando el teorema de limite de un producto al miembro de la derecha en (1)
se obtiene
(2)
Por el siguiente teorema de límite
El límite de la expresión (2) equivale a
De esta ecuación se concluye que se cumplen las condiciones (ii) (iii) para la
continuidad de f en x₁. Por tanto el teorema se ha demostrado
Una función puede no ser diferenciable en un número c por alguna de las
siguientes razones
1. La función f es discontinua en c como se ve en la grafica

15. 2. La función f es continua en c, pero la grafica de f tiene una recta
tangente vertical en el punto donde x = c de la figura
3. La función f es continua en c pero la grafica de f no tiene recta tangente en
el punto donde x = c en la figura se observa un cambio brusco o pico en ese
punto
Lo anterior precisa establecer la definición de derivadas laterales
Derivadas Laterales
i) Si la función f está definida en x₁, entonces la derivada por la derecha de f
en x₁, denotada por f´ ₊ (x₁), está definida por
Si existe el limite
ii) Si la función f está definida en x₁, entonces la derivada por la izquierda de
f en x₁, denotada por f´ ₋ (x₁), está definida por
Si existe el límite
Definición

16. Decimos que existe f´(x₁) si y solo si existen las derivadas laterales y son
iguales o sea si existe f´(x₁) ⇒∃f´ ₊ (x₁) ∃f´ ₋ (x₁) y f´ ₊ (x₁) = f´ ₋ (x₁)
-Ejemplo
Sea f la función valor absoluto definida por
Con su grafica
si el limite existe
Como los limites laterales cuando x=0, la grafica de la función absoluto no
tiene recta tangente en el origen

17. Como este tipo de funciones
Son continuas en un número pero no son diferenciables en ese número, se
puede concluir que la continuidad de la función en un número no implica la
diferenciabilidad de la misma en el punto en cuestión. Sin embargo, l la
diferenciabilidad implica continuidad, lo cual quedo establecido en el teorema