Aplicaciones del Numero de oro

1. Ф, el Número de Oro
Proyecto de matemáticas
Autor: Andrés Rivadeneira

2. ¿Cuál de los siguientes
rectángulos te parece más
armonioso?
a b
c
d
e
f

3. La sección áurea y el
número de oro

4. La sección áurea es la división armónica
de un segmento en media y extrema
razón. Es decir, que el segmento mayor
dividido por el segmento menor es igual
a la totalidad del segmento dividido por
el segmento mayor.

5. 1
1-xx
xx
x 1
1



6.   0111
1
1
22


xxxx
xx
x
Al resolver la ecuación de 2º grado,
obtenemos como solución positiva:
2
51
x
Hacemos operaciones

7. Nº Áureo o de oro
2
51
x
2
511
1


 xx
xPor tanto,
........618,1
2
51



Hemos visto,

8. •El número áureo o de oro
Es un nº irracional, tiene por tanto
infinitas cifras decimales no periódicas.
........618,1
2
51




9. El rectángulo áureo

a
b

b
a
b

10. El rectángulo áureo es el único en el cual la
prolongación de una diagonal contiene al
vértice del mismo rectángulo adyacente
colocado verticalmente al lado.

11. División de un segmento
en sección áurea
a
b


12. El número de oro en el
arte, el diseño y la
naturaleza

13. El número áureo aparece, en las proporciones que guardan
los edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro
cuerpo, …..
• Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado
del Partenón griego.
• En la figura se puede comprobar que AB/CD=Φ.
Hay más cocientes entre sus medidas que dan el
número áureo, por ejemplo: AC/AD= Φ y
CD/CA= Φ.

14. • El Templo de Ceres en Paestum (460 a.C.)
tiene su fachada construida siguiendo un
sistema de triángulos áureos, al igual que
los mayores templos griegos, relacionados,
sobre todo, con el orden dórico.

15. • Los lados del rectángulo en el cual está
idealmente inscrita la estatua del Apolo de
Belvedere están relacionados según la
sección áurea, es decir, con una proporción
de 1:1,618.

16. • El número áureo no sólo lo podemos encontrar en
las antiguas construcciones y representaciones
artísticas, diariamente manejamos objetos en los
cuales se ha tenido en cuenta las proporciones
áureas para su elaboración. Por ejemplo, la mayoría
de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet
de identidad tienen la proporción de un rectángulo
áureo. También lo podemos encontrar en las
cajetillas de tabaco, construcción de muebles,
marcos para ventanas, camas, etc.

17. • Unas proporciones armoniosas para el
cuerpo, las plasmó en este dibujo Leonardo
da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La
Divina Proporción de Luca Pacioli editado
en 1509.

18. • Estirando manos y pies y haciendo centro en el
ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado
tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en
un cuerpo armonioso, con la longitud entre los
extremos de los dedos de ambas manos cuando los
brazos están extendidos y formando un ángulo de
90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la
altura del hombre (lado del cuadrado) y la
distancia del ombligo a la punta de la mano (radio
de la circunferencia) es el número áureo.
En dicho libro se describen cuales han
de ser las proporciones de las
construcciones artísticas. En
particular, Pacioli propone un hombre
perfecto en el que las relaciones entre
las distintas partes de su cuerpo sean
proporciones áureas

19. El número de oro y el
pentágono

20. l
d

a
b

b
c

c
d


21. La sucesión de
Fibonacci y el número
de oro

22. • Consideramos la siguiente sucesión de
números:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …….
Cada número a partir del tercero, se
obtiene sumando los dos que le
preceden.
Esta sucesión es la llamada
Sucesión de Fibonacci.

23. F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 …
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 …
11 F
12 F
12   nnn FFF 3n

24. A partir de la sucesión de Fibonacci Fn,
calculemos ahora los primeros términos
de la sucesión:
n
n
n
F
F
a 1


25. 1
1
1
1
2
1 
F
F
a
2
1
2
2
3
2 
F
F
a
5'1
2
3
3
4
3 
F
F
a
..666666'1
3
5
4
5
4 
F
F
a
6'1
5
8
5
6
5 
F
F
a
625'1
8
13
6
7
6 
F
F
a

26. ...6153846'1
13
21
7
8
7 
F
F
a
...6176471'1
34
55
9
10
9 
F
F
a
....6190476'1
21
34
8
9
8 
F
F
a
...6181818'1
55
89
10
11
10 
F
F
a
...6179775'1
89
144
11
12
11 
F
F
a

27. Cuanto mayores son los términos de an,
los cocientes se acercan más al nº de
oro, Φ=1’61803…..
En lenguaje matemático,
...61803'1
2
51
lim 1





n
n
x F
F

28. La espiral
logarítmica

29. Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le
sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado
menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo
EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el
cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF
también es áureo. Este proceso se puede reproducir
indefinidamente, obteniéndose una sucesión de
rectángulos áureos encajados que convergen hacia el
vértice O de una espiral logarítmica.

30. Esta curva ha cautivado, por su belleza y
propiedades, la atención de matemáticos,
artistas y naturalistas. Se le llama también
espiral equiangular (el ángulo de corte del
radio vector con la curva es constante) o
espiral geométrica (el radio vector crece en
progresión geométrica mientras el ángulo
polar decrece en progresión aritmética). J.
Bernoulli, fascinado por sus encantos, la
llamó spira mirabilis, rogando que fuera
grabada en su tumba.

31. Curiosidades Áureas

32. 11


12
 
La ecuación x2-x-1=0 tiene como solución al nº áureo,
por tanto Φ2-Φ-1=0 → Φ2=Φ+1
Dividiendo la ecuación Φ2-Φ-1=0 entre Φ y
despejando Φ-1

33. Consideramos la sucesión de término
general an=Φn
  1
1a
12
2  a
123
3  a
234
4  a
En general, cada término a partir del
tercero se obtiene sumando los dos
anteriores, es decir, la misma
relación que en la sucesión de
Fibonacci
21 
 nnn
