Методичний посібник "Готуємось до олімпіади з математики"

1. Нетішинська загальноосвітня школа
І-ІІІ ступенів №1
Нетішинської міської ради Хмельницької області
О.А. Шевчук
Л.М.Нижня
Готуємось до
олімпіади з
математики
7 клас
Посібник для вчителів та учнів

2. Схвалено методичним об’єднанням вчителів математики
Нетішинської ЗОШ І-ІІІ ступенів №1
Нетішинської міської ради
Хмельницької області
(протокол №3 від 12.12. 2013 р.)
Нижня Л.М., Шевчук О.А.
Готуємось до олімпіади з математики. 7 клас. Посібник
для вчителів та учнів. – Нетішин, 2014. – 90с.
Даний посібник розроблений на основі досвіду
роботи вчителів математики Нетішинської ЗОШ І-ІІІ
ступенів №1.
Посібник покликаний допомогти вчителям при
проведенні гуртків, факультативних занять та курсів за
вибором, при підготовці учнів до математичних олімпіад та
інших математичних змагань. Він буде корисний учням,
які бажають досконало, поглиблено і всебічно вивчати
математику, розвивати свій кругозір, логіку та креативне
мислення.
2

3. ПЕРЕДМОВА
Школа повинна бути не коморою
знань, а середовищем думки.
В.Сухомлинський
Математична підготовка в загальноосвітній школі
насамперед спрямована на міцне забезпечення системою
знань та вмінь, засвоєння учнями основних алгоритмів
розв’язування задач стандартних типів. Тому значна роль у
вирішенні завдання розвитку творчої особистості належить
різним формам позакласних занять. Своєрідним підсумком
їх служать математичні олімпіади та конкурси, МАН.
Одним із важливих засобів розвитку математичних
здібностей та творчого мислення учнів є розв’язування
логічних задач.
Логічними називають нестандартні задачі, які дають
змогу формувати в школярів вміння розмірковувати,
критично мислити, знаходити розв’язання проблеми,
застосовувати отримані знання на практиці, переносити
відомі йому способи дій у нестандартні ситуації та
відкривати нові способи діяльності.
Для формування логічних умінь необхідна вміло
підібрана, цілеспрямована система вправ. На заняттях
математичного гуртка, факультативу чи курсу за вибором
можна запропонувати цікаві нестандартні задачі, що
вимагають уважності, кмітливості й винахідливості; задачі
парадоксального характеру, які потребують прояву інтуїції,
домислу тощо.
Даний збірник створений, щоб надати допомогу
вчителю у важливій і важкій справі розвитку у школярів
креативного мислення, їх творчих здібностей, у підготовці
їх до олімпіад з математики.
3

4. Збірник призначений для навчання
обдарованих та математично здібних
учнів 7-х класів.
1. Принцип Діріхле
Німецький математик Петер Лежен Діріхле у своїх
наукових працях часто користувався міркуваннями, які
зараз називають принципом Діріхле.
Знайомство із цим принципом можна розпочати із
задачі: «Чи можна розмістити 5 кроликів у чотирьох
клітках так, щоб у жодній з кліток не містилося більше
одного кролика?»
Розв’язати задачу можна завдяки таким міркуванням:
якби у кожній клітці сиділо не більше одного кролика, то у
чотирьох клітках помістилося б не більше чотирьох
кроликів. А тому п’ять кроликів таким способом не можна
розмістити.
В загальному випадку принцип Діріхле можна
сформулювати так:
у кожній сукупності з n множин, де загальна
кількість елементів перевищує n, є принаймні одна
множина, в якій міститься не менше двох елементів.
Приклад 1. У похід пішли 12 туристів.
Наймолодшому з них – 20 років, а найстаршому – 30. Чи є
серед них однолітки?
Розв’язання
Туристи утворюють 30–20+1=11 вікових груп.
Тому є 11 груп (кліток) і 12 туристів (кроликів).
Оскільки 12>11, то принаймні в одній віковій групі
знайдеться два туристи, які є однолітками.
4

5. Приклад 2. На 5 поличках розміщено 160 книг,
причому на одній із них - 3 книги.
Доведіть, що знайдеться поличка, на якій буде стояти
не менше ніж 40 книг.
Розв’язання
Нехай на кожній із решти 4 поличок не більше ніж 39
книг. Тоді на всіх 5 поличках не більше ніж 3 + 4∙39 = 159
книг, що суперечить умові. Отже, на одній із поличок не
менше ніж 40 книг.
Приклад 3. У школі навчається 400 учнів. Доведіть,
що хоча б двоє з них народилися в один день.
Розв’язання
Роль кроликів у цій задачі відіграють учні, а роль
кліток – дні. За умовою задачі маємо 400 учнів і 365 днів.
Оскільки 400 > 365, то принаймні знайдеться два учні,
що народилися в один день.
Приклад 4. Хлопчик мав 100 табличок з числами 1, 2,
3, …, 100, але загубив 79 з них. Чи обов’язково серед
решти табличок знайдуться чотири такі, що сума чисел на
двох із них дорівнюватиме сумі чисел на двох інших?
Розв’язання
У хлопчика залишилася 100 – 79 =21 табличка. Із цих
табличок можна утворити: різних пар.
(Кроликами є пари, а клітками – суми).
Оскільки усі пари з чисел 1, 2, …, 100 дають 197
різних сум – від 3 до 199 і 197 < 210, то принаймні у двох
парах із 210-ти суми співпадатимуть. Отже, серед табличок
знайдеться чотири такі, що сума чисел на двох із них
дорівнюватиме сумі чисел на двох інших.
5

6. Приклад 5. Доведіть, що серед будь-яких шести
цілих чисел знайдеться два числа, різниця яких буде кратна
5.
Розв’язання
При діленні на число 5 можна отримати п’ять різних
остач: 0, 1, 2, 3, 4.
Шість чисел при діленні на 5 дають шість остач, серед
яких може бути найбільше п’ять різних. Оскільки 6 > 5, то
серед остач знайдеться дві однакові. Різниця чисел, що
дають однакові остачі при діленні на 5, буде кратна 5.
Задачі для самостійного розв’язування
1. 15 хлопчиків зібрали 100 грибів. Доведіть, що
принаймні двоє з них зібрали однакову кількість.
(Оскільки 100 >15, і 100 можна представити
100 = 15 6 + 10, то принаймні двоє з хлопчиків зберуть
однакову кількість грибів. Якби вони всі зібрали б
різну кількість, то грибів було б 120 ≠ 100).
2. 10 друзів надіслали один одному святкові листівки.
Кожний з них надіслав 5 листівок. Доведіть, що принаймні
двоє друзів надіслали листівки один одному.
(З 10 друзів утворити можна 45 пар:
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45, а листівок всього 5 і
50>45, тому принаймні двоє надіслали листівки один
одному).
3. У ящику лежать червоні і чорні кульки. Яку
найменшу кількість кульок потрібно вийняти з ящика, щоб
серед них дві кульки виявилися одного кольору?
(Кульки є двох кольорів, тому взяти потрібно 3
кульки. У цьому випадку роль кроликів відіграють
кульки, а роль кліток - кольори).
6

7. 4. На кожній клітинці дошки 5х5 сидить жук. За
командою жуки переповзають на сусідні клітинки.
Клітинки вважаються сусідніми, якщо вони мають спільну
сторону. Довести, що після того, як усі жуки переповзуть,
знайдеться клітинка, на якій сидітимуть принаймні два
жуки.
(На шахівниці 5х5 є 25 клітинок, серед яких 12
білих і 13 чорних. Оскільки жуки переповзають на
сусідні клітинки, тоді на білі клітинки мають
переповзти чорні жуки. Але 13 >12, тому на одній білій
клітинці сидітиме щонайменше два чорних жуки).
5. У сьомому класі навчається 30 учнів. У диктанті
один учень припустився 12 помилок, а решта – менше.
Довести, що принаймні троє учнів припустились однакової
кількості помилок.
(Оскільки помилок може бути 0, 1, 2, 3, …, 12 і
якщо кожну кількість помилок допустили б тільки два
учні, то всього учнів було б 2 +1=25, але їх 30. 30>25,
тому принаймні троє учнів припустились однакової
кількості помилок).
6. Дано 12 довільних двоцифрових чисел. Доведіть,
що серед них є два, різниця яких дорівнює двоцифровому
числу, записаному однаковими цифрами.
(Однаковими цифрами записуються двоцифрові
числа, кратні 11. Остачі від ділення на 11 можуть
дорівнювати: 0, 1, 2, 3, …, 10, тобто їх 11. Але 12>11,
тому хоча б два числа дають однакові остачі. Це
значить, що різниця цих чисел ділиться на 11 і є
двоцифровим числом, записаним однаковими
цифрами).
7. У квадраті зі стороною 1 взяли 51 точку. Довести,
що деякі три із цих точок можна накрити квадратом зі
стороною 0,2.
7

8. (Розіб’ємо квадрат площею 1 на 25 маленьких
квадратиків. Площа кожного з них дорівнює 0,04, а
сторона – 0,2. Оскільки 2 ·25+1=51, то це значить, що в
один квадратик попаде принаймні три точки).
8. У місті більше ніж 8 мільйонів жителів. Науковці
вважають, що в кожної людини менш ніж 200 000 волосин
на голові. Доведіть, що є принаймні 41 житель з однаковою
кількістю волосин на голові.
(Роль кроликів відіграють жителі, а роль кліток -
усі можливі варіанти кількості волосин на голові.
Оскільки в кожної людини менш ніж 200000
волосин на голові, то це значить, що кількість волосин
може бути від 0 до 199999. Тому існує всього 200000
варіантів, а 40 ·200000 = 8000000, і згідно з принципом
Діріхле знайдеться принаймні 41 житель, що має
однакову кількість волосин на голові).
9. Доведіть, що в будь – якій компанії із 5 чоловік
знайдеться двоє, які мають однакову кількість знайомих у
цій компанії.
(Число знайомих може бути: 0,1,2,3,4. Якщо у
когось четверо знайомих, то ні в кого не може бути 0
знайомих).
2. Зважування
Задачі на зважування - досить поширений
вид олімпіадних завдань. У таких завданнях, той, хто
розв’язує, повинен локалізувати предмет, що відрізняється
від інших по вазі за обмежене число зважувань. Пошук
розв’язування в такому випадку здійснюється шляхом
операцій порівняння, правда, не лише одиночних
елементів, але і груп елементів між собою. Розв’язуючи
такі задачі, не забувайте розібрати всі варіанти.
8

9. Приклад 1. На столі лежать 9 монет і одні шалькові
терези. Одна із монет є легшою, ніж всі інші.
Як за допомогою 2 зважувань визначити, яка із них
легша?
Розв’язання
Розділимо 9 монет по 3 у три купки. Дві з трьох купок
покладемо на різні сторони терезів. Якщо терези не
переважили в одну зі сторін, то виходить, що вага монеток
є рівною, отже, легша монета залишилася в незваженій
третій купці. З 3-ма монетами, що залишилися, вчиняємо
так само. Зважуємо дві монети. Якщо їхня вага виявилася
рівною, то легшою буде незважена монета.
Приклад 2. На столі лежить десять пронумерованих
капелюхів. У кожному капелюсі лежить по десять золотих
монет. В одному з капелюхів монети фальшиві. Справжня
монета важить 10 грамів, а фальшива - 9. Як визначити в
якому з капелюхів знаходяться фальшиві монети,
використовуючи ваги тільки для одного зважування? Ваги
можуть зважувати не більше 750 грам.
Розв’язання
З першого капелюха беремо одну монету, з другого
дві, з третього три й т.д., кладемо всі ці монети на ваги.
Якби всі монети були справжніми, то вага була б:
10∙(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10). Разом: 550 грам. Але кілька
монет є фальшивими, а скільки - легко довідатись. Досить
із 550 відняти ту вагу, що ми одержали і ми побачимо
«погрішність», рівну кількості фальшивих монет. Кількість
монет вкаже на капелюх.
Задачі для самостійного розв’язування
9

10. 1. Серед чотирьох монет є одна фальшива, як знайти її
за 2 зважування на шалькових терезах без гир? Чи можна
при цьому з’ясувати легша вона чи важча?
(Позначимо монети a, b, c, d. Першим зважуванням
порівнюємо вагу a і b. Нехай a ≠ b (наприклад, a < b ).
Тоді c і d – справжні, а фальшива a чи b . Для
визначення порівнюємо a і с. Якщо a = с, то b фальшива
і важча, оскільки a < b. Якщо a ≠ с, то фальшива a.
Аналогічно поступаємо, якщо a = b) .
2. Є 5 монет, серед яких одна - фальшива. Невідомо,
легша вона або тяжча дійсної. Вага дійсної монети - 5г. Як
за допомогою двох зважувань на терезах можна знайти
фальшиву монету, маючи одну гирю вагою 5г?
(Позначимо монети А, В, С, D, Е. Покладемо
монети А і В на одну чашу терезів, а монету С з гирею -
на другу. Якщо терези врівноважені, тоді фальшива
монета серед D і Е. Наступним зважуванням покладемо
на терези гирю і монету D (за рівноваги терезів - Е, за не
рівноваги - D). Коли терези не врівноважені, то
потрібно розглянути 2 випадки. Якщо переважує чаша
з А і В, тоді фальшива монета серед трьох: А, В або С.
Відкладені D і Е - справжні. Для другого зважування
покладемо на чашу терезів монети А і С, а на другу - 2
справжніх (або одну справжню і гирю), а монету В
відкладемо. Якщо монети врівноважаться, то монета В
– фальшива. Якщо терези не врівноважаться і
переважать чаші з монетами А і С, тоді фальшива А,
коли ж ця чаша легша, тоді і фальшива монета С).
3. Маємо 6 однакових за виглядом монет, чотири з
них справжні, а дві фальшиві: обидві легші за справжні,
але їх маса різна. За три зважування на шалькових терезах
без гир знайдіть обидві фальшиві монети.
10

11. (Позначимо вагу монет a1, …, a6. Першим
зважуванням порівняємо a1 і a2.
1) a1= a2. Тоді a1 і a2 справжні. Порівнюємо a3 і a4,
якщо a3 = a4 , тоді a5 і a6 – фальшиві. Якщо a3 < a4, то одна
з фальшивих a3, а друга знаходиться серед 4, 5 і 6
(визначається порівнянням a4 і a5 ). Випадок a3 > a4
аналогічний.
2) a1 < a2 – монета а1 фальшива. Друга фальшива
монета визначається порівнянням монет 1 і 3 та монет
4 і 5. Випадок а1 > a2 подібний до випадку 2).
4. У Буратіно є 27 золотих монет. Але відомо, що Кіт
Базиліо замінив одну монету на фальшиву, і вона по вазі
важче справжніх. Як за три зважування на шалькових
терезах без гир Буратіно знайти фальшиву монету?
(Розділимо монети на 3 купки по 9 штук.
Покладемо на шальки першу і другу купки; в
результаті цього зважування ми точно дізнаємось, в
якій з купок знаходиться фальшивка (якщо ваги
покажуть рівність, то вона - в третій купці). Тепер,
аналогічно, розділимо вибрану купку на три частини по
три монети, покладемо на терези дві з цих частин і
визначимо, в якій з частин знаходиться фальшива
монета. Нарешті, залишається з трьох монет визначити
важчу: кладемо по 1 монеті - фальшивою є важча; якщо
ж на терезах рівність, то фальшивою є третя монета з
частини).
6. Серед 101 однакових за виглядом монет одна
фальшива, така, що відрізняється за вагою. Як за
допомогою шалькових терезів без гир за два зважування
визначити, легшою або важчою є фальшива монета?
(Зважуємо 50 і 50 монет, можуть бути два
випадки. 1) Монети мають однакову вагу. Беремо
монету, що залишилася, і ставимо її в ліву купку
замість однієї з тих, що є там: а) ліва купка важча -
11

12. фальшива монета важча; б) ліва купка легша -
фальшива монета легша. 2) Монети мають різну вагу.
Беремо важчу купку і розбиваємо її на дві купки по 25
монет: а) вага купок однакова - фальшива монета
легша; б) вага купок неоднакова - фальшива монета
важча).
7. У ящику 25кг цвяхів. Як за допомогою шалькових
терезів і однієї гирі в 1кг за два зважування відміряти 19кг
цвяхів?
(При першому зважуванні на одну шальку
покладемо гирю, а цвяхи розкладемо так, щоб терези
були в рівновазі. Одержимо 12кг і 13кг цвяхів.
12кг розкладемо на шальки і отримаємо дві купки
по 6кг. Тоді 13+6=19(кг) цвяхів).
8. У кошику міститься 13 яблук. Є вага, за допомогою
одного зважування якої можна знайти сумарну вагу будь-
яких двох яблук. Як за допомогою восьми зважувань
знайти сумарну вагу всіх тринадцяти яблук?
(Зважимо яблука парами: 1 і 2, 3 і 4,…, 11 і 12. Це
шість зважувань.
Сьоме зважування – 11 і 13 яблуко, восьме – 12 і
13яблуко.
Додавши результати трьох останніх зважувань,
одержимо подвоєну сумарну вагу 11, 12 і 13 яблук.
Поділивши її на два і додавши до результату вагу
перших п’яти зважувань, знайдемо сумарну вагу всіх
тринадцяти яблук).
9. Є чотири пакети різної маси і терези з двома
шальками без гир. За допомогою п’яти зважувань
розмістити пакети в порядку зростання їх мас.
(Розіб’ємо пакети на дві пари і, здійснивши
порівняння ваги пакетів у кожній парі, позначимо
важчі через А та С, а легші – через В та D. Тоді серед
пакетів А та С визначимо найважчий, а серед В та D –
12

13. найлегший. П’яте зважування використаємо для
порівняння ваги двох інших пакетів).
3. Переливання
Задачі на переливання допоможуть
розвивати логічне мислення, просторову уяву, витримку,
наполегливість у знаходженні оптимального розв’язку.
Приклад 1. Як за допомогою 3-літрового і 5-
літрового відер набрати 1 літр води?
У нашому розпорядженні є водопровідний кран і
раковина, куди можна виливати воду.
Розв’язання
Розв’язання цієї задачі можна записати у вигляді
таблиці. Спочатку обидва відра порожні. Наповнюємо 3-
літрове відро і виливаємо воду з нього у 5-літрове. Знову
наповнюємо 3-літрове відро і виливаємо її у 5-літрове,
поки воно не наповниться. У
3-літровому відрі залишиться 1 літр води.
3 літри 0 3 0 3 1
5 літрів 0 0 3 3 5
Приклад 2. Маємо дві ємності 5л і 7л. Як за
допомогою цих ємностей відміряти 6л води з крана?
Розв’язання
Спочатку обидва відра порожні.
Набирати воду будемо таким чином (розв’язання
запишемо у вигляді таблиці):
7л 7 2 2 0 7 4 4 0 7 6
5л 0 5 0 2 2 5 0 4 4 5
13

14. Приклад 3. Маємо три посудини: 9л, 5л, 3л. Перша
наповнена водою, а інші дві порожні. Як за допомогою цих
посудин відміряти 1л води? Як відміряти 4л води?
Розв’язання
Кількість посудин збільшилася, але як і в попередніх
задачах можна виконувати переливання по кроках,
записуючи їх в таблицю:
3л 0 3 3 4
5л 0 0 5 5
9л 9 6 1 0
Задачі для самостійного розв’язування
1. В бочці міститься не менше 13 відер пального. Як
відлити з неї 8 відер за допомогою 9-відерної і 5-відерної
бочок?
5 в 0 5 0 4 4 5
9 в 9 4 4 0 9 8
2. Поряд із школою протікає бурхлива річка. Як за
допомогою двох посудин об'ємом 3 і 5 літрів відміряти
рівно 4 літри річкової води?
3л 0 0 3 0 2 2 3
5л 0 5 2 2 0 5 4
річка +3
14

15. 3. Бідон ємністю 10л наповнений молоком. Необхідно
перелити з цього бідона 5л у семилітровий,
використовуючи при цьому бідон місткістю 3л. Як це
зробити?
3л 3 0 3 0 3 2 2 0 3 0
7л 0 3 3 6 6 7 0 2 2 5
4. Як, маючи лише дві посудини ємністю 12л і 7л,
набрати із крана 1л води?
7л 7 0 7 2 2 0 7 0 7 4
12л 0 7 7 1
2
0 2 2 9 9 12
7л 4 0 7 0 7 6 6 0 7 1
12л 0 4 4 1
1
1
1
1
2
0 6 6 12
5. Як двома відрами місткістю 9л та 4л набрати з
озера 6л води?
(Оскільки 6=9·2-4·3, то досить буде двічі наповнити
дев’ятилітрові відра, виливаючи з них воду у
чотирилітрові, а з останніх тричі після їх наповнення –
у річку).
6. Дано два баки ємністю по 10 літрів із сольовим
розчином 10%-ої і 15%-ої концентрації та посудини
ємністю 3, 4 та 5 літрів. Як за допомогою переливань
отримати 1 літр 12%-го сольового розчину?
(Для отримання 12%-го розчину потрібно змішати
дві частини 15%-го та три частини 10%-го розчинів.
15

16. Це можна зробити так: налити 5л 15%-го розчину
у 5-ву посудину, а звідти перелити 3л у 3-ву посудину.
Спорожнивши останню, налити в неї 3л 10%-го
розчину, а потім перелити весь вміст у 5-ву посудину.
Відлити зайвих 4л отриманого 12%-го розчину у 4-ву
посудину).
4. Задачі, «розв’язані з кінця»
Цей вид задач можна розділити на
три підвиди.
Перший підвид становлять задачі,
при розв’язуванні яких учні можуть
графічно побудувати «ланцюжок» послідовних дій за
умовою задачі, а потім здійснювати розв’язання з кінця:
виконувати певні дії, обернені тим, що подані у
«ланцюжку». Саме з таких задач бажано розпочинати
знайомство із задачами, які розв’язуються з кінця.
Приклад 1. Господиня продала першому покупцеві
половину груш, які вона мала, та ще 5 груш, другому —
половину залишку та ще 3 груші, а третьому покупцеві —
половину нового залишку та ще 4 груші. Після цього в неї
залишилося 2 груші. Скільки груш було в господині
спочатку?
Розв’язання
Таку задачу можна ділити на етапи: перший етап —
перший покупець, другий етап — другий покупець, третій
етап — третій покупець. Щоб її розв’язати, потрібно
почати обчислювати вирази з кінця, змінюючи при цьому
ділення на множення, а віднімання на додавання.
1) (2 + 4) • 2 = 12 (груш)
2) (12 + 3) •2 = 30 (груш)
3) (30 + 5) • 2 = 70 (груш)
16

17. Відповідь: 70 груш було в господині спочатку.
Приклад 2. Магазин першого дня продав половину
сувою тканини, другого дня — половину решти, а третього
— половину нового залишку й останні 5 метрів. Скільки
метрів було в сувої спочатку?
Розв’язання
В цій задачі розв’язання містить три кроки – треба
взнати кількість метрів тканини, яка залишалась у
магазині, відповідно, на початку третього, другого та
першого дня. В першому кроці – дві арифметичні дії, в
другому і третьому – одна.
1) (0 + 5) • 2 = 10 (м)
2) 10 • 2 = 20 (м)
3) 20 • 2 = 40 (м)
Відповідь: 40 метрів тканини було у сувої спочатку.
Другий підвид становлять задачі, в процесі
розв’язування яких учні поряд з алгоритмічними
прийомами в більшій мірі (порівняно з першим підвидом)
залучають евристичні прийоми інтелектуальної діяльності.
За змістом в цих задачах відбувається розподіл предметів
переважно між трьома (двома) особами або розкладають
предмети у дві (три) купки. В результаті чого відомий
кінцевий результат. Треба взнати, скільки предметів було у
купках (у людей) спочатку. Учні полегшать собі процес
розв’язування, якщо розв’язання цих задач вони будуть
оформлювати у вигляді таблиці.
Приклад 3. Три брати розподілили між собою 24
яблука так, що кожен із них отримав стільки яблук, скільки
йому років. Молодший брат, який був не задоволений
розподілом, бо отримав найменше від усіх яблук,
запропонував: «Я залишу собі тільки половину своїх яблук,
17

18. решту розділю між вами порівну. Після мене нехай
спочатку середній, а потім і старший брати зроблять так
само, як і я». Брати погодилися, і яблук врешті-решт у всіх
стало порівну. Скільки років було кожному з братів?»
Розв’язання
Нам відомо, що яблук стало порівну. Отже, ми
можемо взнати, скільки яблук стало у кожного з братів в
кінці розподілу. Для цього треба 24 розділити на три. По 8
яблук стало у кожного з братів.
З цього моменту можна накреслити таблицю і
заповнювати її згідно умови задачі з кінця:
Молодший брат Середній брат Старший брат
8 8 8
4 4 16
2 8 14
4 7 13
Потім необхідно перевірити правильність
розв’язання, міркуючи від знайдених чисел. Пояснення має
бути таким: молодший брат віддав половину своїх яблук
середньому і старшому, порівну кожному. Отже, у
молодшого залишиться 2 яблука, у середнього стане 8, а у
старшого – 14 яблук, тобто на одне яблуко більше, ніж
було. Коли ж ці самі операції зроблять відповідно середній
і старший брати, то врешті-решт залишиться у кожного по
8 яблук. Отже, задача розв’язана правильно.
Відповідь: молодшому брату було – 4, середньому – 7, а
старшому – 13 років.
Третій підвид - ігри на аналіз із кінця.
Приклад 4. У коробці знаходиться 60 сірників. За
один хід можна взяти будь-яку кількість від 1 до 5 сірників.
18

19. Програє той, хто не може зробити хід. Хто з гравців
(починаючий чи його суперник) може забезпечити собі
виграш?
Розв'язання
Проаналізуємо кінцівку такої гри. Якщо кількість
сірників менша за 5, то той гравець, чия черга ходити,
закінчує гру. Якщо кількість сірників більша за 6, то гра
закінчиться через два або більше ходи. Якщо ж кількість
сірників дорівнює 6, то гравець, чий хід передував цій
позиції, точно наступним своїм ходом закінчує гру (для
цього він на хід суперника в k сірників бере 6 – k сірників).
Тобто така позиція є виграшною для цього гравця.
Очевидно, що позиції 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 (і т.
д,) сірників для нього також є виграшними, бо таким самим
способом він від позиції "24 сірники" переходить до
позиції "18 сірників", від "18" до "12". Отже, початкова
позиція виграшна для другого гравця «6 сірників», а його
виграшною стратегією є доповнення ним ходів першого
гравця до 6 сірників.
Відповідь: другий гравець.
Задачі для самостійного розв’язування
1. Турист пройшов 15% всього шляху, а
потім – 1/5 від того, що залишилось. В результаті він
пройшов на 18км менше від половини шляху. Визначити
довжину всього шляху.
(100км)
2. Після того, як пішохід пройшов 1км і половину
шляху, що залишився, йому зосталося пройти третину
всього шляху і один кілометр. Чому дорівнює весь шлях?
(9км)
19

20. 3. Три друга-колекціонери: Денис, Сашко та Кирило
домовилися зіграти три партії в шахи за умови, що той, хто
програє партію, додає іншим двом гравцям ще по стільки
марок, скільки у кожного вже є. Зіграли три партії.
Причому програв кожний: спочатку Денис, потім – Сашко,
за ним – Кирило. Після цього у кожного з них залишилось
по 24 марки. Скільки марок було у кожного з друзів
спочатку?
(У Дениса 39, Сашка – 21, Кирила – 12 марок)
4. 16 паличок розподілили на дві нерівні купки. Коли
з першої купки переклали у другу стільки паличок, скільки
у цій другій було, а потім з другої переклали у першу
стільки паличок, скільки в першій залишилося, то в обох
купках паличок стало порівну. Скільки паличок було у
кожній купці спочатку?
( У І – 10, у ІІ – 6 паличок)
5. а) Є дві купки по 7 камінців. За хід дозволяється
взяти один камінець із будь-якої купки або по камінцю з
кожної купки. Програє той, хто не може зробити хід. б)
Крім ходів, допустимих в пункті а) дозволяється
перекладати один камінець із першої купки в другу. В
усьому іншому правила ті ж самі.
(В обох пунктах виграє перший)
6. Гра починається із числа 1. За один хід
дозволяється помножити наявне число на будь-яке
натуральне число від 2 до 9. Виграє той, хто першим
одержить число, більше 1000.
(Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції.
Це числа від 56 до 111 і від 4 до 6. Таким чином, виграє
перший гравець (його перший хід - в 4, 5 або 6).
7. Гра починається із числа 2. За хід дозволяється
додати до наявного числа будь-яке натуральне число,
менше за нього. Виграє той, хто одержить 1000.
20

21. (Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції:
500, 250, 125, 62, 31, 15, 7, 3. Виграє перший гравець).
8. Гра починається із числа 1000. За хід дозволяється
відняти від наявного числа будь-яке, що не перевищує
його, натуральне число, що є степенем двійки (1 = 2°).
Виграє той, хто одержить нуль.
(Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції.
Це числа, що діляться на 3.
Виграє перший гравець. Першим ходом він може,
наприклад, відняти 1, 4, 16).
II. ЧИСЛА
1. Числові множини
Поняття множини належить до первісних понять
математики, якому не дається означення. Множину можна
уявити собі, як сукупність деяких предметів, об’єднаних за
довільною характеристичною властивістю. Наприклад,
множина учнів класу, множина цифр десяткової системи,
множина натуральних чисел.
Предмети, з яких складається множина, називаються її
елементами і позначаються малими буквами латинського
алфавіту. Наприклад, a = 5 – елемент множини цифр
десяткової нумерації. Для позначення множин
використовують великі букви латинського алфавіту або
фігурні дужки, всередині яких записуються елементи
множини. При цьому порядок запису елементів не має
значення.
Наприклад, множину цифр десяткової нумерації можна
позначити буквою А і записати так:
А={1, 3, 5, 2, 4, 6, 8, 7, 9, 0}.
Числовими називаються множини, елементами
яких є числа. Множина натуральних чисел – N, множина
21

22. цілих чисел – Z. Належність предмета даній множині
позначається символом є. Наприклад, число 7 є N.
Множини бувають скінченні і нескінченні. У
скінченній множині кількість елементів можна порахувати.
Наприклад, множина А містить десять елементів. У
нескінченній множині – нескінченна кількість елементів.
Наприклад, множина натуральних чисел, множина точок
прямої – нескінченні множини.
Множина, в якій немає жодного елемента, називається
порожньою і позначається символом .
Над множинами виконуються певні операції (дії).
1) Перерізом множин А і В (А∩В) називається множина
С, яка складається з усіх тих і тільки тих елементів, які
належать кожній з даних множин А і В.
2) Об’єднанням (або сумою) двох множин А і В (АUВ)
називається така множина С, яка складається з усіх
елементів множин А і В, і тільки з них.
Дуже важливими для практичних задач є формули
підрахунку кількості різних елементів у декількох
множинах, що містять спільні елементи, тобто кількості
елементів в об’єднанні двох або трьох множин.
Кількість елементів об’єднання n(А+В) будь-яких двох
скінченних множин А і В обчислюється за формулою:
n(А+В) = n(А) + n(В) –n(А∩В).
Для будь-якої трійки скінченних множин А1, А2, А3
має місце формула кількості елементів множини
n(А1+А2+А3), що є об’єднанням трьох множин, тобто
n(А1+А2+А3)=n(А1)+n(А2)+n(А3)–n(А1∩А2)–n(А1∩А3)–
n(А2∩А3)+n(А1∩А2∩А3).
Деякі задачі математики розв’язуються за допомогою
цих формул і кругів Ейлера. За допомогою них зручно
відображати відношення між множинами.
22

23. Приклад 1. В класі 35 учнів. З них 20 - займаються в
математичному гуртку, 11 – в біологічному, а 10 учнів не
відвідують ці гуртки. Скільки біологів захоплюється
математикою?
Розв’язання
Зобразимо круги Ейлера на малюнку:
М – математики, Б – біологи, МБ –
математики-біологи.
Як бачимо, 6 біологів захоплюється
математикою.
35 – 10 = 25 (учн.)
(20+11) – 25 = 6 (учн.)
Відповідь: 6 біологів захоплюється
математикою.
Приклад 2. У кондитерському відділі супермаркету
покупці купують або один торт, або коробку цукерок.
Одного дня було продано 62 тортів та 48 коробок цукерок.
Скільки було покупців, якщо 21 з них придбали і торт, і
коробку цукерок?
Розв’язання
Використаємо принцип суми:
62 + 48=110(п.)
110 - 21 = 89(п.)
Відповідь: 89 покупців.
Приклад 3. У класі навчається 42 учні. Із них 16
відвідують секцію легкої атлетики, 24 – футбольну, 15 –
шахову, 8 – з легкої атлетики і шахову, 11 – з легкої
атлетики і футболу, 12 – футбольну і шахову, а 6 – усі три
секції. Решта учнів займається туризмом. Скільки учнів
займається туризмом?
Розв’язання
16 + 24 + 15 – 11 – 12 – 8 + 6 = 30 (учн.)
42 – 30 = 12 (учн.) – займається туризмом.
23

24. Відповідь: 12 учнів займається туризмом.
Приклад 4. В піонерському таборі 70 дітей. З них 27
займаються в драмгуртку, 32 – співають в хорі, 22 –
займаються спортом. В драмгуртку 10 дітей з хору, в хорі –
6 спортсменів, в драмгуртку – 8 спортсменів, 3 спортсмени
відвідують драмгурток і хор. Скільки дітей не співають в
хорі, не займаються спортом і не займаються в
драмгуртку? Скільки дітей займаються лише спортом?
Розв’язання
Зобразимо на малюнку
круги Ейлера. Д – драмгурток, Х
– хор, С – спортсмени.
10 дітей не співають в хорі,
не займаються спортом і не
займаються в драмгуртку, 11
дітей займаються тільки спортом.
27+32+22-10-6-8+3=60 (д.)
70-60=10 (д.)
Відповідь: 10 дітей не займається у гуртках, 11 дітей
займається тільки спортом.
Задачі для самостійного розв’язування
1. Кожен учень ліцею вивчає або англійську, або
французьку мову. Англійську мову вивчають 250 учнів,
французьку – 270, а обидві мови – 180 учнів. Скільки учнів
у ліцеї?
(340)
2. У чотирьох сьомих класах 100 учнів, з них співають - 45,
танцюють – 65, співають і танцюють – 25 учнів. Скільки
учнів не володіють жодним видом мистецтва?
24

25. (15)
3. У спортивному таборі 65 дітей вміють грати в футбол, 70
– у волейбол і 75 – у баскетбол. Всього дітей у таборі 100.
Яка найменша кількість дітей, які вміють грати і у футбол,
і у баскетбол, і у волейбол? (55)
4. У групі зі 100 туристів 70 знають англійську мову,
45 – французьку і 23 – знають обидві мови. Скільки
туристів у групі не знають ні англійської, ні французької?
(8)
5. В одній родині було багато дітей. 7 з них любили
капусту, 6 – моркву, 5 – горох. 4 – любили капусту та
моркву, 3 – капусту та горох, 2 – моркву та горох, 1 – і
капусту, і моркву, і горох. Скільки дітей було у родині?
(10)
6. Серед учнів нашого класу проводили опитування
щодо улюблених жанрів фільмів. Усього в класі 38 учнів.
Фантастичним фільмам надає перевагу 21 учень, серед
яких троє полюбляють ще й комедії, шестеро —
мультфільми, а один — усі три жанри. Комедії
подобаються 13 учням, серед яких п'ятеро вибрали
одразу два жанри. Скільки учнів полюбляють
мультфільми?
(8)
7. Із 35 учнів одного класу за підсумками навчального
року 10 балів з математики мали 14 учнів, з фізики – 15, з
хімії – 18, з математики та фізики – 7, з математики та хімії
– 9, з фізики та хімії – 6, з усіх трьох – 4. Визначити,
скільки учнів :
А) не мають жодної оцінки 10 балів хоча б з одного з цих
предметів;
Б) хоча б одну оцінку 10 балів із цих предметів;
В) оцінку 10 балів хоча б із двох з перелічених предметів;
Г) оцінку 10 балів рівно з двох цих предметів.
(6; 29; 14; 10)
25

26. 8. Скільки чисел серед перших 100 натуральних не
ділиться ані на 2; ані на 3; ані на 5 ?
(26)
9. У футбольній команді «Динамо» 30 гравців, серед
яких 18 нападаючих, 11 півзахисників, 17 захисників і
воротарі. Відомо, що троє можуть бути півзахисниками і
захисниками, 10 захисниками і півзахисниками, 6
нападаючими і захисниками, а 1 і нападаючим, і
захисником, і півзахисником. Воротарі не замінимі.
Скільки в команді «Динамо» воротарів?
(2)
10. У класі 30 учнів. 20 з них кожного дня
користуються метро, 15 – автобусом, 23 – тролейбусом, 10
– і метро, і тролейбусом, 12 – і метро, і автобусом, 9 – і
тролейбусом, і автобусом. Скільки учнів користуються
усіма трьома видами транспорту?
(3)
11. У школі відбулися три олімпіади. З’ясувалося, що
в кожній з них брали участь по 50 школярів. При цьому 60
учнів приходили тільки на одну олімпіаду, а 30 учнів –
рівно на дві. Скільки учнів брали участь у всіх трьох
олімпіадах?
(10)
2. Числа та їх властивості
На множині натуральних чисел
виконуються операції додавання і множення, але не завжди
виконується операція віднімання. Розширюючи множину N
так, щоб арифметична операція віднімання завжди
виконувалася, ми отримаємо множину цілих чисел Z. Тому
множина цілих чисел містить цілі від’ємні числа, нуль, та
цілі додатні числа.
26

27. Властивості додавання, множення та відношення
порядку для множини цілих чисел ті самі, що й для
множини натуральних чисел.
Головну роль у всій теорії цілих чисел відіграють
наступні властивості чисел:
1) Для будь-якого цілого а і b > 0 існують і притому
єдині цілі q та r, такі, що а = bq + r, де r < | b |.
2) Сума двох цілих чисел q та r є цілим числом.
3) Добуток двох цілих чисел q та r є цілим числом.
Приклад 1. У виразі 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 розставити між
деякими із цифр знаки чотирьох арифметичних дій +, -, ∙, :
та дужки так, щоб вийшло 2014.
Розв’язання
Джерелом для пошуку розв’язку є такі рівності:
9 ∙ 8 ∙ 7 = 504 і 504 ∙ 4 = 2016.
Далі використовуємо решту цифр, щоб одержати
рівність:
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ (6 + 5 – 4 – 3) – 2 + 1 ∙ 0 = 2014.
Це є одна є можливих відповідей.
Приклад 2. Число закінчується цифрою 7. Якщо цю
цифру відкинути і від першого числа відняти отримане
число, то дістанемо 2014. Знайти початкове число.
Розв’язання
Нехай отримане число дорівнює х, тоді початкове
число буде дорівнювати 10х + 7.
Маємо рівняння: 10х + 7 – х = 2014;
9х = 2007;
х = 223.
Відповідь: 2237.
Приклад 3. Двозначне число помножили на суму
його цифр. Отримали 814. Знайдіть це число.
27

28. Розв’язання
Нехай x – шукане двозначне число, y – сума його
цифр.
За умовою добуток числа x на суму y його цифр
дорівнює 814.
Тому має місце рівність x ∙ y = 814.
Розкладемо число 814 на прості множники:
814 = 2 ∙ 11 ∙ 37 Оскільки числа x і y є натуральними,
добуток яких дорівнює 814, то з урахуванням розкладу 814
і того, що x є двозначним числом, можливими є лише
наступні випадки:
1)



=
⋅=
;37
,112
у
х



=
=
;37
,22
у
х
2)



=
=
;11
,74
у
х
3)



=
=
.2
,407
у
х
Оскільки число y повинно дорівнювати сумі цифр
шуканого числа x, то перший і третій випадки не
задовольняють умову задачі.
Очевидно, що сума цифр числа 74 становить 11.
Отже, 74 є шуканим числом.
Відповідь: 74.
Приклад 4. Чи можна у виразі
1 * 2 * 3 * … * 2014 = 2 * 0 * 1 * 4 замінити кожний знак
«*» знаком «+» або «-» так, щоб отримати вірну рівність?
Розв’язання
= 2 + 0 + 1 – 4 = -1.
Відповідь: Можна.
Приклад 5. Чотиризначне число закінчується
цифрою 4. Якщо цю цифру перенести на початок числа, то
28

29. отримаємо число, різниця між яким і даним числом
дорівнює сьомому степеню числа 3. Знайти дане
чотиризначне число.
Розв’язання
Відомо, що 37
= 2187.
Нехай шукане чотиризначне число дорівнює або
1000a + 100b + 10c + 4.
Тоді нове число буде дорівнювати:
4000 + 100a + 10b + c.
Згідно умови 4000 +100а + 10b + с - 1000а - 100b -10с – 4 =
2187;
1000 (4 – а) + 100 (а – b) + 10 (b – с) + (с - 4) = 2187.
Звідки а = 2, b = 0, с =1.
Відповідь: 2014.
Задачі для самостійного розв’язування
1. Розв’язати ребус: А2014А = Б ∙ В ∙ 1Б0В. Однакові
букви позначають однакові цифри, а різні букви
позначають різні цифри.
(120141 = 9 ∙ 7 ∙ 1907)
2. Знайти найменше натуральне число, сума цифр
якого дорівнює 2014.
( )
3. У числі 7 ****** 1 замініть зірочки цифрами так,
щоб сума будь-яких трьох сусідніх цифр дорівнювала 11.
Знайдіть всі розв’язання і доведіть, що інших немає.
(71371371)
4. Вася задумав три різні ненульові цифри. Петро
записав всі дев'ять можливих двозначних чисел, у
десятковому записі яких використовувалися тільки ці
29

30. цифри. Сума записаних чисел дорівнює 231. Знайдіть
цифри, задумані Василем.
(1, 2 і 4)
5. Про деяке двозначне число зроблені наступні
твердження. «Це число або закінчується на 5, або ділиться
на 7». «Це число або більше 20, або закінчується на 9». «Це
число або ділиться на 12, або менше 21». Знайдіть всі
двозначні числа, які задовольняють умовам задачі.
(84)
6. Різні натуральні числа x, y, z збільшили на 1, 2 і 3
відповідно. На яку найбільшу величину могла змінитися
сума їх обернених величин?
(13/12)
7. Від тризначного числа відняли суму кубів його
цифр. Який найбільший результат міг при цьому вийти?
(396)
8. Чи існують такі натуральні числа а і b, що число b є
натуральним степенем числа a і число b в 16 разів більше
числа а?
(2,32; 4,64; 16,256)
9. Чи існують такі три різні числа а, b і с, що
а (b - c) = b (c - a) = c (a - b)?
( ні)
10. Назвемо натуральне число гарним, якщо його
можна подати у вигляді суми двох тризначних чисел сва
+ авс , (a і с не рівні 0). Скільки існує гарних чисел?
(170)
11. Відновіть ребус КОКА+ КОЛА = ВОДА
(однаковим буквам відповідають однакові, різним буквам -
різні цифри).
(3930 + 3980 = 7910)
12. Назвемо число «дзеркальним», якщо справа наліво
воно читається так само, як і зліва направо. Наприклад,
число 78887 . Знайдіть усі «дзеркальні» п’ятицифрові
30

31. натуральні числа, в записі яких використовуються тільки
цифри 1 та 0.
(100001, 10101, 11011, 11111)
13. Мар’ян задумав натуральне число, про яке його
друзі сказали: Тарас: «Це число 9», Роман: «Це число
просте», Андрій: «Це число парне», Михайло: «Це число
15». Роман з Тарасом разом сказали одне правильне
твердження, як і Андрій з Михайлом.
Яке це число?
( 2)
14. Знайдіть всі трицифрові числа, які в результаті
викреслювання середньої цифри зменшуються в 7 разів.
(105)
15. Чи існує чотири натуральних числа, сума яких
дорівнює їх добутку?
(Так, 1+1+2+4=1∙1∙2∙4)
16. Знайдіть усі такі чотирицифрові числа , для
яких виконується рівність + + +а=2013.
(1813)
17. У Андрійка на картках записані лише одиниці,
четвірки, шістки та дев’ятки. Він склав із них два числа. Чи
може одне з них у 17 разів більше від іншого?
(Ні)
3. Розв’язування задач на
подільність.
Основна теорема
арифметики
Усі натуральні числа, крім одиниці, поділяють на
прості і складені. Простим називається число, яке має лише
31

32. два дільники: одиницю і саме число. Найменшим простим
числом є два ( це єдине парне просте число). Складеним
називається число, яке має більше двох дільників.
Основна теорема арифметики:
кожне натуральне число, більше одиниці, можна
представити, як добуток простих чисел.
Це представлення єдине, якщо не враховувати
порядок, у якому записані прості множники.
Надалі слово «ділиться» - означає, що «ділиться без
остачі» або націло.
Якщо n m, то це значить, що ціле число n ділиться
без остачі на ціле число m.
Приклад 1. Чи ділиться число 320
513
на число 135?
Розв’язання
Оскільки число 135 = 33
5, а числа 33
і 5 входять до
розкладу 320
513
, то число 320
513
ділиться на 135.
Приклад 2. Відомо, що n 4 і n 6. Чи ділиться n на
24?
Розв’язання
Ні. Наприклад, число 12 4 і 12 6, але 12 не ділиться
на 24. Це пояснюється тим, що числа 4 і 6 мають спільний
дільник – 2.
Приклад 3. Відомо, що n 9 і n 5. Чи ділиться n на
45?
Розв’язання
Так. Оскільки n 9, то розклад числа n на прості
множники містить 3 хоча б у другому степені. Але n 5,
32

33. тобто розклад числа n містить 5. А це значить, що n
ділиться на 32
∙5, тобто на 45.
Приклад 4. Відомо, що число n, не ділиться на 7. Чи
ділиться число 2010n на 7 без остачі?
Розв’язання
Оскільки 2010 = 287 7 + 1, то 2010 не ділиться на 7.
А якщо кожен із множників 2010 і n не ділиться на 7, то і
добуток 2010n не ділиться на 7.
Задачі для самостійного розв’язування
1. Чи ділиться 32
73
на 18?
(Ні)
2. Чи може сума трьох послідовних натуральних
чисел бути простим числом?
((n - 1) + n + (n + 1) = 3n 3, тому не може)
3. Просте, чи складене число 22002
– 1?
(Складене)
4. У запису натурального числа n використовуються
тільки одиниці та двійки. Відомо, що одиниць у 4 рази
більше, ніж двійок. Довести, що число n + 1989 складене.
5. Чи існує прямокутний паралелепіпед, довжини
ребер якого натуральні числа, а площа поверхні – просте
число?
(Ні)
6. Минулого року добуток віків черепах Тора і Тори
дорівнював 22
33
11. Чи може цього року добуток їхніх
віків бути кратним 22?
(Ні)
33

34. 7. Ішли 40 мишей і несли 40 грошей. Дві худіші миші
несли по два гроша. Кілька мишей – зовсім без грошей.
Здорові миші тягнули по 7 грошей. Решта несли по 4.
Скільки мишей йшло без грошей?
(32)
8. Шматок дроту довжиною 102см потрібно розрізати
на частини довжиною 15см і 12см. Як це зробити?
(6 і 1; 2 і 6)
9. П’ятниця написав у рядок декілька різних
натуральних чисел, менших 11. Робінзон Крузо,
побачивши ці числа, зауважив, що у кожній парі сусідніх
чисел одне з них ділиться на інше. Яку найбільшу кількість
чисел міг виписати П’ятниця?
(9 чисел: 8, 4, 1, 5, 10, 2, 6, 3, 9)
10. На кожній з 18 карток записано число 4, або число
5. Сума всіх записаних чисел ділиться на 17. На скількох
картках записано число 4?
(5)
11. Знайти усі прості числа , для яких 2
+ 3 + 11 –
просте число.
( = 3)
12. Відновіть цифри, які зображені зірочками в записі
2 * * 1 : 13 = * 2 *, якщо відомо, що ділення виконане без
остачі.
(2951 : 13 = 227)
13. Знайдіть найменше складене число, яке не
ділиться на жодне із натуральних чисел від 2 до 10.
(121)
14. Знайдіть усі прості числа, квадрат яких,
збільшений або зменшений на 2013, теж просте число.
(2)
15. Простим чи складеним є число 2323
– 1717
?
(Складене)
34

35. 4. Ознаки подільності
Ознаки подільності на 2, 3, 5, 9 і 10
вивчаються учнями у 6 класі. Але при
підготовці до олімпіад необхідно знову їх повторити і
розглянути ознаки подільності на 4, 6, 25, 8, 7, 11, 13, 17,
19, 37.
Число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли дві його
останні цифри складають число, яке ділиться на 4.
Двозначне число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли
подвоєне число десятків, складене з числом одиниць
ділиться на 4.
Число ділиться на 6 тоді, коли воно ділиться і на 2, і
на 3, тобто якщо воно парне і сума його цифр ділиться на 3.
Число ділиться на 25, якщо дві останні цифри
складають число, яке ділиться на 25.
Число ділиться на 8, якщо число утворене трьома
останніми цифрами цього числа ділиться на 8. Щоб
дізнатися, чи ділиться тризначне число на 8, можна
половину одиниць додати до десятків. У числа, що вийшло
також половину одиниць додати до десятків. Якщо
підсумкова сума ділиться на 2, значить, число ділиться на
8.
Число ділиться на 11, якщо різниця між сумою цифр,
що стоять на непарних місцях і сумою цифр, розташованих
на парних місцях, ділиться на 11.
Число ділиться на 7, 11, 13, якщо різниця між S1–S2
ділиться на 7, 11, 13 (S1 – сума трійок з непарними
номерами,
S2 – сума трійок з парними номерами. Число
розбивати на трійки справа наліво).
35

36. Число ділиться на 17 тоді і тільки тоді, коли число
його десятків, складене із збільшеним в 12 разів числом
одиниць, кратне 17.
Число ділиться на 19 тоді і тільки тоді, коли число
його десятків, складене з подвоєним числом одиниць,
кратне 19.
Число ділиться на 37, якщо сума трійок, на які
поділене число з кінця, ділиться на 37.
Число ділиться на n-у степінь десятки тоді і тільки
тоді, коли n його останніх цифр - нулі.
Приклад 1. Шестизначне число закінчується
цифрами 137 і ділиться на 7, 11 і 13. Знайти це число.
Розв’язання
Оскільки число ділиться на 7, 11 і 13, значить воно
ділиться на добуток 7 11 13 = 1001, тому це число 137137.
Відповідь: 137137.
Приклад 2. П’ятицифрове число 24х8у ділиться на 4,
5 і 9. Чому дорівнює сума цифр х і у?
Розв’язання
Оскільки число 24х8у ділиться на 4 і 5, то у = 0. Але
це число ділиться на 9, тому (2 + 4 + x + 8 + 0) 9,
(14 + x) 9, значить х = 4, звідси 4 + 0 = 4.
Відповідь: 4.
Приклад 3. Які цифри можна поставити замість
зірочок у запису 320*2*44, щоб отримане число ділилося
на 132?
Розв’язання
Оскільки 132 = 4 3 11. Число 320*2*44 4, бо 44 4.
При діленні на 3 має виконуватись умова:
36

37. (3+20+x+2 + у + 4 + 4) 3; (15 + х + у) 3; (х + у) 3.
А при діленні на 11 – ((3 + 0 + 2 + 4) – (2 + х + у + 4)) 11;
(3 – (х + у) 11.
Враховуючи, що х і у – цифри, то x + у = 3. Це
рівняння має чотири розв’язки: (0; 3); (3; 0); (1; 2); (2; 1).
Числа 32002344, 32012244, 32022144, 32032044 діляться
на132.
Відповідь: 32002344, 32012244, 32022144, 32032044.
Приклад 4. Чи існує восьмицифрове число, у запису
якого всі цифри різні, і яке ділиться на всі свої цифри?
Розв’язання
Ні, не існує. Цифра нуль відсутня. Сума інших
дев’яти цифр дорівнює 45. Якщо ще одна цифра відсутня -
це 5, то число не ділиться на 3. Якщо 5 присутня, то число
ділиться на 5, цифра 5 на останньому місці, але тоді не
буде подільності на будь-яку парну цифру.
Відповідь: не існує.
Задачі для самостійного розв’язування
1. Яке із чисел : 2009; 2+0+0+9; (2 + 0) (9 + 0); 29
чи
200–9 ділиться на 3?
((2 + 0) (9 + 0))
2. Чи існують числа цифри a і b такі, щоб число
76аb119 99.
(так; а = 2, b = 1)
3. Довести, що будь-яке тризначне число, записане
однаковими цифрами, ділиться на 37.
( =100х+10х+х=111х,а 111 37, тому 111х 37)
37

38. 4. У шестизначному числі перша цифра співпадає з
четвертою, друга з п’ятою, а третя з шостою. Доведіть, що
це число ділиться на 7, 11 і 13.
( авсавс = 1001 авс = 7 11 13 )
5. Доведіть, що (967
– 225
– 486
) 10.
6. Доведіть, що 220
+ 320
+ 420
+ 721
10.
7. Доведіть, що (165
+ 215
) 33.
8. Доведіть, що 333555
+ 555333
37.
9. Число ділиться на 8. Яку найбільшу суму цифр
воно може мати?
(999888 – сума цифр = 51)
10. Чи ділиться на 9?
81раз (Так)
11. До числа 10 справа і зліва приписати по одній
цифрі так, щоб число було кратне 72.
(4104)
12. Знайти найменше натуральне число, що ділиться
на 36, у запису якого зустрічаються всі 10 цифр.
13. На дошці написано число 321321321321. Які
цифри треба стерти, щоб отримати найбільше число, яке
ділиться на 9?
(Дві 3 з кінця)
14. Доведіть, що коли натуральне число а ділиться на
3, то число а2
ділиться на 9.
15. Доведіть, що коли натуральне число а ділиться
націло на 8, а натуральне число b ділиться націло на 4, а
>b, то число а2
– b2
ділиться на 16.
16. У числі 8030604 замініть усі нулі такою цифрою,
щоб знайдене число ділилося на 9.
(2)
38

39. 17. Доведіть, що сума двох послідовних непарних
чисел ділиться на 4.
18. Знайдіть останню цифру числа 97531*, щоб воно
ділилося на 6, але не ділилося на 9.
(8)
19. Знайдіть найбільше трицифрове число, яке
ділиться на 9 та цифри ідуть зліва направо у порядку
зростання.
(567)
20. Три цифри п’ятицифрового числа одиниці.
Відомо, що це число ділиться на 72. Знайти усі такі
п’ятицифрові числа.
(14112, 41112, 11160)
21. Доведіть, що сума чисел і кратна 11.
22. Скільки існує натуральних чисел, не більших
1999, які не діляться ні на 5, ні на 7?
(1372)
23. Числа 2013...,,2,1 переставили у деякому
порядку і отримали набір чисел 201321 ...,,, aaa . Чи
обов’язково число )2013)...(2)(1( 201321 +++ aaa ділиться
націло на а) 2 ; б) 4 ?
(а)так; б) ні)
24. Серед чисел виду 3n+2 знайти три числа, які
діляться на 5.
(п=1, 6, 11)
25. Чи можна числа 1, 2, 3,…, 1999, 2000 записати в
такому порядку, щоб сума будь-яких чисел, які записані
через одне число, ділилася без остачі на 7?
(Ні)
26. Знайдіть найменше натуральне число п таке, щоб
число п2
+п ділилось без остачі на 2006.
(118)
39

40. 5. Взаємно прості числа
Два цілих числа називають взаємно простими, якщо вони
не мають спільних додатних дільників, крім 1.
Два різні прості числа є взаємно простими.
Число 1 є взаємно просте з довільним цілим числом.
Якщо деяке ціле число ділиться на кожне із взаємно
простих чисел, то це число ділиться на їх добуток.
Приклад 1.Нехай для цілих чисел а і b існують цілі
числа m і n такі, що аm + bn = 1. Доведіть, що а і b взаємно
прості.
Розв’язання
Припустимо, що а і b не є взаємно простими, тобто
мають спільний дільник х > 1. Тоді (аm + bn) х, але 1 не
ділиться на х, що суперечить умові аm + bn = 1. Отже, а і b
– взаємно прості числа.
Приклад 2. Чи є числа 14n + 3 і 21n + 4 взаємно
простими для довільного цілого числа n?
Розв’язання
І спосіб:
Оскільки 3 (14n +3) – 2 (21n +4) = 1, то згідно з
попередньою задачею, числа 14n + 3 і 21n + 4 взаємно
прості.
ІІ спосіб:
Умова буде виконуватися, коли дріб
нескоротний. Тоді = 1 + ; = 2 + .
40

41. Дріб – нескоротний для довільного цілого n.
Отже, дані числа є взаємно простими.
Задачі для самостійного розв’язування
1. Доведіть, що при будь-яких n дріб не
можна скоротити.
2. Знайдіть будь-які два натуральні значення n при
яких дріб можна скоротити.
(n = 1; n = 4)
3. Доведіть, що для всіх натуральних n числа 2n + 1 і
2n(n + 1) взаємно прості.
4. Знайдіть усі пари взаємно простих чисел ( q), де
q, для яких q та q – прості числа.
( q = 2)
5. Знайдіть усі цілі n, для яких числа 9n + 5 та 3n + 1
взаємно прості.
(для n – парних чисел)
6. Нехай х – просте число. Скільки всього існує
натуральних чисел, менших х2
і взаємно простих з х2
?
(х2
– х)
7. На екрані комп'ютера було записано число
123456789. Вася так вставив пробіли між деякими цифрами
цього числа, що воно розбилося на кілька частин, причому
числа, записані в будь-яких двох частинах, виявилися
взаємно простими. Яка найбільша кількість частин могла
при цьому утворитися?
( шість)
41

42. 8. Знайдіть всі натуральні числа, на які можна
скоротити дріб
78
65
+
+
х
х
при різних цілих х.
(13)
9. Знайдіть усі такі p , щоб числа p , p +10 та p +14
були простими.
(р=3)
6. Періодичність остач
Ділення числа а на число в з остачею
можна записати у вигляді: а = bq + r, де r
– остача.
Нехай при діленні числа а на число b залишається
остача r, то при діленні аn
на b – остача rn (n є N). Оскільки
різних остач всього b, то остачі мають повторюватися.
Нехай для деяких натуральних чисел R і m : rR = rR+m. Тоді
за правилами дій над остачами rк+1= rк+m+1, rк+2 = rк+m+2, rк+m =
rк+2m, тобто послідовність остач періодична.
Періодичність остач на одноцифрове число означає
періодичність останньої цифри; а на двоцифрове –
останньої і передостанньої цифр і т.д.
Помітивши періодичність остач, можна
раціональніше знайти розв’язок олімпіадних задач.
Якщо остача від ділення числа а на b дорівнює с, то
остача від ділення числа аn
на b дорівнює остачі від ділення
числа сn
на b.
Приклад 1. Знайдіть остачу від ділення 22010
на 7?
Розв’язання
Оскільки 21
= 2; 22
= 4; 23
= 8; 24
= 16; 25
= 32; 26
=64,
то при діленні на 7 степенів числа 2, отримаємо остачі:
2; 4; 1; 2; 4; 1 і т.д.
42

43. Послідовність остач має період 3. Оскільки 22010
= 23∙
670
, то 22010
має ту саму остачу від ділення на 7, що й 23
,
тобто 1.
Відповідь: 1.
Приклад 2. Знайдіть останню цифру числа 999
.
Розв’язання
Оскільки 91
= 9, 92
= 81, 93
= 729, 94
= 6561, то остання
цифра степенів 9 - непарна, а саме 1 або 9. Тому 99
закінчується непарною цифрою 9. А непарний 9 степінь
цифри 9 закінчується на 1.
Відповідь: 1.
Приклад 3. На столі лежать 15 сірників. Грають двоє.
За один хід дозволяється взяти 1, 2 або 3 сірники. Програє
той, хто забирає останнього сірника. Хто з гравців має
виграшну стратегію?
Розв’язання
Виграшну стратегію має перший гравець. Першим
ходом він має взяти два сірники, а надалі доповнювати
число сірників, що взяв другий гравець до чотирьох. Тут
незмінною є остача 1 від ділення на 4, яку дає число 13 (13
= 15 – 2).
Відповідь: перший гравець.
Приклад 4. Знайти остачу від ділення числа 2222n
на
7.
Розв’язання
Знайдемо остачу від ділення числа 2222 на 7:
2222 : 7 = 317 (ост. 3). Остача від ділення 2222n
на 7 така
сама, як остача від ділення 34 на 7, тобто 4, бо 34:7 = 81:7 =
11 (ост. 4).
Відповідь: 4.
43

44. Задачі для самостійного розв’язання
1. Знайдіть остачу від ділення 444333
на 7.
(6)
2. Знайдіть остачу від ділення 7100
+ 11100
на 13.
(12)
3. Якою цифрою закінчується 19821982
.
(4)
4. Знайдіть останню цифру 22013
.
(2)
5. Скільки існує тризначних чисел, які при діленні на
8 дають в остачі 3?
(112)
6. Знайдіть х, якщо 144 і 220 при діленні на х дають
остачу 11.
(19)
7. Знайдіть останню цифру числа 20092011
.
(9)
8. Знайти останню цифру числа 3322
+ 2211
.
(7)
9. Доведіть, що 22225555
+ 55552222
ділиться на 7.
10. Гра полягає в тому, що кожен із двох гравців по
черзі забирає будь-яку кількість камінців тільки з однієї із
двох куп (з однаковою кількістю камінців). Виграє той, хто
забере останній камінець. Хто з гравців має виграшну
стратегію?
(Перший, потрібно забирати кожен раз стільки,
щоб камінців було однаково на двох купах).
11. На столі лежать 13 паличок. Двоє дітей по черзі
беруть 1 або 2 палички з цієї купки. Виграє той, хто візьме
останній сірник. Хто з дітей виграє?
(Виграє перший, якщо спочатку візьме 1, а потім
буде брати число кратне 3).
44

45. 12. Знайти остачу від ділення числа 72003
на 10.
(3)
13. Довести, що 22011
+ 32011
ділиться на 5.
2, 4, 6, 8,… 7. Парність цілих чисел
Спроба класифікувати числа приводить до поділу їх
на парні і непарні.
Парні – числа, що закінчуються парною цифрою: 0, 2,
4, 6, 8. Непарні – всі інші числа. Іншими словами, парне
число, це таке ціле число n, що можна представити у
вигляді n = 2k, а непарне
n = 2k + 1, де k — довільне ціле. Такий поділ є змістовним,
оскільки використовується при розв’язуванні олімпіадних
задач.
Варто звернути увагу на те, що сума парної кількості
непарних чисел є парною. Сума будь-якої кількості парних
доданків – парна. Різниця будь-якої кількості парних чисел
– парна. Таким чином, парність результату не залежить від
розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а
залежить тільки від кількості непарних чисел в
початковому наборі.
Сума квадратів парної кількості непарних чисел є
парною.
Сума квадратів непарної кількості непарних чисел є
парною.
Добуток двох послідовних чисел число парне
Приклад 1. Доведіть, що сума двох непарних чисел –
число парне.
Розв’язання
Якщо а = 2n + 1, b = 2m + 1, то а + b = 2n + 2m + 2 =
45

46. =2 (n+ m+1), а це число парне. Отже, сума двох непарних
чисел – число парне.
Приклад 2. Знайти всі цілі числа m і n, для яких
виконується умова: m2
+ m = n2
+ n +2013
Розв’язання
За умовою m2
+ m = n2
+ n +2013,
m( m + 1) = n( n + 1) + 2013; тоді m( m + 1) - n ( n + 1) =
2013.
Оскільки добуток двох послідовних чисел число
парне, то m(m+1) і n( n + 1) – парні, але 2013 – непарне
число.
Виходить, що m(m+ 1) - n ( n + 1) – парні і дорівнює
2013. Цього бути не може, значить такі числа m і n не
існують.
Відповідь: такі числа m і n не існують.
Приклад 3. Василько купив загальний зошит на 96
аркушів і пронумерував всі його сторінки по порядку
числами від 1 до 192. Потім вирвав з цього зошита 35
аркушів і додав всі 70 чисел, що на них були написані. Чи
міг він дістати 1990?
Розв’язання
Ні, не міг. Тому що на кожному аркуші сума номерів
сторінок непарна, а сума 35 непарних чисел - непарна і не
може дорівнювати парному числу 1990.
Відповідь: не міг.
Задачі для самостійного розв’язування
1. Знайдіть різницю між сумою перших ста
парних і перших ста непарних натуральних чисел.
(100)
46

47. 2. По колу вписали 2003 натуральних числа. Доведіть,
що знайдуться два сусідніх числа, сума яких є парною.
3. Розставити замість зірочок знаки «+» чи «–» так,
щоб одержати правильну рівність:
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9=10.
(Рівність не виконується, бо зліва записана
непарна кількість непарних чисел)
4. Чи можна в таблицю 5х5 записати числа 1, 2, …, 25
так, щоб у кожному рядку сума деяких із записаних в
ньому чисел дорівнювала сумі решти чисел цього рядка?
(Ні, бо тоді сума чисел у всій таблиці була б
парною, а 1+2+…25=325 - непарне число)
5. Довести, що серед будь-яких трьох цілих чисел є
два числа, сума яких парна.
6. Чи можна в запису 1*2*3* …*1997 = 1*9*9*7
розставити замість зірочок знаки «+» або «–» так, щоб
одержати правильну рівність.
(Ні)
7. На чудо-дереві садівник виростив 2013 бананів і
2012 апельсинів. Кожен день він зривав два плоди, а на їх
місці виростав новий, притому якщо зривали два
однакових плоди, то виростав апельсин, а якщо різні, то
банан. Який може бути останній плід на цьому дереві?
(Банан)
8. Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36
простих чисел?
(Ні)
9. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої,
причому першого разу він стрибнув на 1см в якийсь бік,
другого – на 2см і так далі. Доведіть, що після 2013
стрибків він не може зупинитися там, де починав.
(сума 1 + 2 + … + 2013 – непарна)
47

48. 10. Сума 2010 натуральних чисел - непарне число.
Яким числом - парним або непарним - є добуток цих
чисел?
(парним)
11. На паралелі сьомих класів 120 учнів. Кожного дня
чергують в шкільній їдальні троє. Чи можна скласти графік
так, щоб кожні дві особи чергували разом рівно один раз?
(Ні)
12. Числа від 1 до 20 виписані в рядок. Гравці, по
черзі розставляють між ними плюси і мінуси. Після того,
як всі місця заповнені, підраховується результат. Якщо він
парний, виграє перший гравець, якщо непарний - другий.
Хто програє у цій грі?
(Парність результату не залежить від розстановки
плюсів і мінусів, а залежить тільки від кількості
непарних чисел в початковому наборі. Оскільки сума
будь-якої кількості парних чисел є завжди парним
числом, а їх в даному випадку 10 (тобто парне число), то
виграє перший(починаючий гру) гравець).
8. Число натуральних дільників
Якщо число a можна представити у
вигляді добутку простих множників
a = α
qβ
, де q – різні прості числа, то кількість
усіх додатних дільників a дорівнює ( + 1) (β + 1).
Приклад 1. Скільки дільників у числа 1010
?
Розв’язання
Оскільки 1010
= (2 5)10
= 210
510
, то кількість усіх
дільників
48

49. дорівнює (10+1) (10+1) = 11 11 = 121.
Відповідь: 121.
Приклад 2. Скільки дільників має число 250
52
610
?
Розв’язання
Представимо дане число у вигляді добутку простих
множників:
250
52
610
= 250
52
210
310
= 260
52
310
,
тому кількість дільників 61 3 11= 2013.
Відповідь: 2013.
Задачі для самостійного розв’язування
1. Скільки дільників має число 23
32
35?
(48)
2. Скільки дільників у числа 100?
(9)
3. Скільки дільників має число 972004
?
(2005)
4. Які натуральні числа мають рівно три натуральні
дільники?
(квадрати простих чисел)
5. Які натуральні числа мають непарну кількість
додатних дільників?
(квадрати натуральних чисел)
9. НСД і НСК
Множина всіх спільних дільників цілих
чисел m і n– скінченна, і тому має
найбільший спільний дільник (НСД). Правила, за якими
знаходять НСД і НСК чисел а і b учні вивчили у 6 класі.
49