O documento apresenta um caderno de estudos de finanças com exemplos e exercícios resolvidos sobre juros simples, juros compostos, taxas equivalentes e capitalização composta. Inclui tópicos como cálculo de juros, montante, valor presente, taxa efetiva e exemplos numéricos para exercitar os conceitos.

1. CADERNO
Matemática
Financeira
3º semestre
Luan Guerra

2. FACEBOOK
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SUGESTÕES
cadernosppt@gmail.com.br

3. Aviso
Esse material foi criado a partir do caderno
de um aluno do curso de administração.
Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte
didática como: livros, artigos científicos, etc.
Observação
O objetivo dessa apresentação é
simplesmente ajudar o estudante, nada além
disso.

4. CADERNO
+
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

5. Juros
• Juros Simples:
INT: $1000 . 5
=$1000 . 10% . 5 = 1500
INT: PV . I . N

6. Calculando o montante
(Juros Simples)
• FV: PV + INT
= PV + PV . I . N
FV: PV. (1 + I. N)
PV: FV/ (1+ I . N)

7. Exercícios – Juros Simples
• Verifique se os dois capitais são (ou não
são) equivalentes na data fiscal e à taxa
de juros simples de 10% a.m.
Na data fiscal:
a) FV1 = PV1(1+ i . n)
FV1 = 3635,35 (1+ 0,1 . 1)
FV1 = 3635, 35 . 1,1 = $4000

8. Exercícios – Juros Simples
b) PV2 = FV2 / (1 + i . N)
PV2 = 5600 / (1 + i . N)
PV2 = 5600 / 1,4 = $4000
Resp:
São equivalentes na dela 2 à taxa de 10% a. m.

9. Exercício
• O exemplo foi para verificar o valor que
seria no futuro.

10. Exercícios – Juros Simples
a) FV1 = PV1 (1 + i . N)
FV1 = 3636, 35 (1 + 0,1 . 5)
FV1 = 3636, 35 . 1,5
FV1 = 5454, 53 (Aproximadamente)

11. Exercícios – Juros Simples
b) PV2 = FV2 / (1 + i . N)
PV2 = 5600 / (1 + 0,1 . 0)
PV2 = 5600 / 1
PV2 = $5600

12. Exercício de Juros Simples
• Valor da dívida = FV1 / (1 + i . N)
VD = 2000 / (1 + 0,1 . 3)
VD = 2000 / 1,3
VD = 1538,47 (Aproximadamente)
• Valor da dívida = FV2 / (1 + i . N)
VD2 = 2500 / (1 + i . N)
VD2 = 2500 / 1,8
VD2 = 1388,89 (Aproximadamente)

13. Exercício de Juros Simples
• VD1 + VD2 = X
VD = 1538,47 (Aproximadamente)
+
VD2 = 1388,89 (Aproximadamente)
_____________________________
$ 2927,36 (Aproximadamente)

14. Pagamentos
x / (1 + 0,1 . 10) + x / (1 + 0,1 . 15) = 2927,35
x / 2 + x / 2,5 = 2927,35
0,5x + 0,4x = 2927,35
0,9x = 2927, 35 ---- X= $3252,61
Resp: O valor $3252,61 será em cada cheque.

15. Capitalização Composta
• Taxas Equivalentes

16. Exemplo 1
• Determine a taxa anual equivalente a 2%
a.m.

17. Modelo Meses

18. Modelo Anos

19. Resolução
FV 1 = FV 2
PV . (1 + 0,02) = PV (1 + i a)
1 + i . a = 1,02¹²
ia = 1,02¹² - 1 = 0,2682 ou 26,82%

20. Ou seja...
FV 1 = $126, 82
FV 2 = $126, 82

21. Exercício II
• Determine a taxa mensal equivalente a
24% a.a.FV
Cap. Anual: FV 2 = PV (1 + ia)¹
Cap. Anual: FV 1 = PV (1 + im)¹²

22. Cont.
FV 1 = FV 2 (1 + im)¹² = (1 + ia)¹
(1 + im)¹²= 1,24¹
im = 1,24 ¹/¹²
= 0,0181
ou
i = 1,81% a.m.

23. Equivalência de Capitais a
Juros Compostos

24. Dois capitais, com datas de vencimentos
determinados, são equivalentes quando,
levados para uma mesma data a mesma
taxa de juros, tirevem valores gerais.
No sistemas de juros compostos, se dois
capitais são equivalentes em determinado
data também o serão em qualquer outro
data.

25. Exercícios
Verifique se os dois capitais
são equivalentes, a juros
compostos de 10% a.m.

26. Exemplos

27. Data Focal

28. Meses

29. Resolução
Data focal:
1) FV1 = 2000 . (1 + 0,1)¹ = $ 2200
2) PV2 = 2662 / (1+0,1)² = $ 2200

30. Resposta
Eles são equivalentes a
taxa de juros compostos
de 10% a.m. (Data Focal)

31. Data Focal

32. Nova data focal
Data focal = 3º Mês
• FV 1 = 2000 (1 + 0,1)² = $2420
• PV 2 = 2662 / (1 + 0,1)¹ = $2420
Resposta: Eles são equivalentes a taxa de
10% a.m. em qualquer data focal.

33. Exercício
Verificar se os conjuntos de capitais A e B
são equivalentes, considerando-se uma
taxa de juros compostos de 10% a.m.

35. Resolução
Escolher uma data focal:

36. Resolução
FV: 2000 . 1,1³ + 2200 . 1,1² + 2420 . 1.1¹ +
2662 = $10.648,00
FV: 2100 . 1,1³ + 2200 . 1,1² + 2300 . 1.1¹ +
2902,40 = $10.648,00
Respostas: São Equivalentes...

37. Equivalência de Capitais e Juros
Compostos
• Exercício:
Em vendas à vista, uma loja dará um
desconto de 5%, pagando-se com cheque
pré-datado para um mês, “não há
cobrança em juros”, com cheque pré-
datado para dois meses, há um acréscimo
de 3%.

38. Perguntas
a) Qual a melhor forma de pagamento para
o cliente, se o rendimento do dinheiro for
de 3,5% a.m.? É o pior?
b) Determine as taxas de juros cobradas
nos cheques pré-datados?

39. a)
• À vista
•
Cheque p/ 30 dias
• Cheque p/ 60 dias

40. a)
• À vista: 0,95 x = $95
• 1 Mês: 1 x = $100
• 2 Meses: 1,03 x = $103

41. a)
Data focal: 0 mês (à vista)
• À vista: 0,95 x = $95

42. a)
• Cheque para 30 dias:
FV = PV . (1 + i)n
PV = FV / (1 + i)n
FV = 1 x / (1,035)¹ = $96,62

43. a)
• Cheque para 60 dias:
FV = PV . (1 + i)n
PV = FV / (1 + i)n
FV = 1,03 x / (1,035)² = $96,15

44. Convenção Linear

45. Convenção Linear
• Montante no final do 5º ano:
FV=1000.(1+0,1)5 = $1610,51
• Montante no final do 5º ano e meio:
FV=1610,51.(1+0,1.0,5) = $1691,04

46. Convenção Exponencial
• Montante no final do 5º ano:
FV = 1000.(1+0,1)5 = $1610,51

47. Taxa semestral
• Equivalente a 10%
iq = (1 + it)q/t - 1
Iq = (1 + 0,1)1/2 - 1
Iq = (1,1)1/2 - 1
Iq = 1,0488 – 1 = 0,0488 a.s.
Iq = 1,10,5 – 1
(1 + i) = 1,10,5

48. Convenção Exponencial
• Montante no final do 5º ano e médio:
FV = PV . (1+ isem )¹
• FV = 1610,51 . (1+ isem )¹
• FV = 1000 . 1,15 1000.1,1 5,5
$1689,12

49. Capitalização Composta
Atividade 6

50. Exercícios - 4
Qual o valor do capital, que aplicado a
taxa de 18% ao trimestre durante 181
dias, produziu um montante de
$5.000,00?

51. Resolução
PV?
i = 18 a. t.
n = 181 dias
FV = $5000

52. Determine o capital:
PV = FV / (1 + i)n
PV = $5000 / (1 + 0,18)181/190
PV = $5000 / (1,18)2,011
PV = $5000 / 1,3950
PV = $3584,23

53. Exercício - 5
Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em
que prazo um investidor poderá receber o
dobro da sua aplicação?
FV = 2 PV
1 = 0,225% a.d.
n = ? dias

54. Resolução

55. FV = PV . (1 + i)n
(1 + i)n = (FV / PV)
n . ln (1 + i) = ln (FV / PV)
n = ln (FV / PV) / ln (1 + i)
n = ln (2PV / PV) / ln (1 + 0,00225)
= ln 2 / ln 1,00225 = 0,6931 / 0,0022
= 308,41 dias

56. Exercício - 6
A aplicação de $ 380.000,00 proporcionou
um rendimento de $ 240.000,00 no final
de 208 dias. Determinar as taxas diária,
mensal, trimestral e anual de juros.

57. Resolução
PV = $380.000
INT = $240.000
_____________
FV = $620.000
N = 208 dias
i=?

58. Determine a taxa:
FV / PV = (1 + i)n
1 + i = (FV / PV)
i = (FV / PV)

59. Taxa diária
i = (620000/380000)1/208 -1
= 0,024
ou
0,24 a% a.d.

60. Taxa Mensal
n = 203/30 meses = 6,93 meses
i = (620000 / 380000)30/208 – 1
= 0,0732
ou
7,32% a.m.

61. Taxa EQUIVALENTE
iq = (1+ it)q/t - 1
iq = (1+ 0,732160)³ - 1 ³ = 90/30 = 3 trimestres
= 0,2359
ou
23,59% a.t.

62. Taxa Anual
n = 208/360 ano = 0,5638 ano
i = (620000/380000)360/208 – 1
= 1,333
ou
=133,33% a.a.

63. Taxa Nominal

64. Poupança
• Nominal j = 6% a.a. Capitalização Mensal
Taxa i = 0,5% a.m.
• Taxa anual equivalente a 0,5%a.m.
iq = ( 1 + it)q/t – 1

65. Como calcular:
iq = (1 + 0,005)¹² - 1 = 0,0617 . 100%
EFETIVA = 6,17% a.a

66. Convenção
• A taxa efetiva por período de capitalização
seja proporcional à taxa nominal:
j é a taxa nominal
k é o número de vezes em que os juros são
capitalizados no período que se refere a
taxa nominal

67. Exemplo 1
12% ao ano:
j 12%
Taxa efetiva : i= = = 1% ao mês
k 12
Taxa efetiva (anual): 12,68%
12 1
i = (1 + 0,01) − 1 = 0,1268

68. Exemplo 4
5% ao ano, capitalização semestralmente:
Taxa efetiva: i = j / k = 5/2 = 2,5 a.s.
iq = (1+ 0,025)2/1 -1 =
Iq = 1,0506 – 1 = 0,0506
5,06% a.a.

69. Cálculo da TAXA EFETIVA a
partir da Taxa Nominal
A taxa efetiva (período referencial)
equivalente à taxa nominal j capitalizada k
vezes no período referencial é:
k
 j
i = 1 +  − 1
 k

70. Exemplo 5
Um banco faz empréstimos à taxa de 5%
ao ano, mas adotando a capitalização
semestral do juros.
Qual seria o juro pago por um
empréstimo de $10.000,00, feito por 1
ano?

71. Resolução
Juros = 5% a.a.
K = 2 capital a.m.
a) FV = $10000
INT = ?
N = 1 ano

72. Taxa Efetiva Semestral
i = j/k
i = 5%/2= 2,5% a.s
Montante ao final de 1 ano:
FV = PV . (1 + i)N
FV = 1000 . (1 + 0,025)²
FV: $10506,24

73. Cont.
INT = FV – PV
INT = 10506,25 – 10000
INT = $506,25

74. b)
Taxa efetiva anual
i = INT/PV = 506,24/10000 = 0,050625
OU
5,0625% a.a.

75. Outra possibilidade?
• Taxa efetiva anual
iq = (1+ it)q/t - 1
iq = (1+ it)q/t - 1 = (1+0,025)² - 1 =
0,050625 ou 5,0625% a.a.

76. Exercício 6
Calcular o montante resultante de um
investimento de $1.200 aplicado por 3
anos a juros nominais de 16% a.a.,
capitalizados mensalmente

77. Dados
PV = $1200
Prazo = 3 anos
i = 16% a.a.
K= 12 Capitalização Mensal (em 1 ano)
FV = ?

78. Resolução
• Montante no FV = $1200(1+ 0,16/12)12.3
final de 3
anos: FV = $1200(1+ 0,16/12)36
FV = $1200(1+ 0,0133)36
FV = $1200(1,0133)36
FV = $1200 . 1,6109
FV = $1933,15

79. Exercício 7
Qual o valor de resgate para um capital de
$200 aplicado pelos seguintes prazos e
taxas?

80. Resolução

81. a)
27 dias a 9% a.m., capitalização diária
FV = $200 (1 + 0,09/30)30 . 27/30
FV = $200 (1 + 0,003)27
FV = $200 (1,003)27
FV = $200 . 1,0842
FV = $216,85

82. b)
6 meses a 28% a.a., capitalização mensal
FV = $200 (1 + 0,28/12)12 .
FV = $200 (1 + 0,023)6
FV = $200 (1,023)6
FV = $200 . 1,1462
FV = $229,23

83. c)
8 meses a 18% a.s., capitalização mensal
FV = $200 (1 + 0,18/6)6. 8/6
FV = $200 (1 + 0,03)6 . 8/6
FV = $200 (1,03)8
FV = $200 . 1,12668
FV = $253,35

84. HP
FN
28 E 12 / i
6N
200 PV
FV

85. Exercício 8
Vamos supor que tenham sido pesquisadas e
encontradas as três taxas a seguir:
• Banco A: 15% a.a. capitalizados diariamente
• Banco B: 15,5% a.a. capitalizados
trimestralmente
• Banco C: 16% a.a. capitalizados anualmente
Qual dessas taxas será a melhor, caso você
esteja pensando em abrir uma caderneta de
poupança?

86. Resolução
Banco A: 15% a.a. capitalizados
diariamente
FV = 100 (1 + 0,15/360)360 . 1 ano
FV = 100 (1 + 0,0004)360
FV = 100 (1,0004)360
FV = 100 . 1,1618
FV = 116,18

87. Resolução
Banco B: 15,5% a.a. capitalizados
trimestralmente
FV = 100 (1 + 0,155/4)4 . 1 ano
FV = 100 (1+ 0,0388)4
FV = 100 (1,0388)4
FV = 100 . 1,1642
FV = $116,42

88. Resolução
Banco C: 16% a.a. capitalizados
anualmente
FV = 100 (1 + 0,16)¹ = 100 . 1,16 = $116

89. Desconto

90. Exemplo
Uma empresa emitiu uma duplicata de $ 8.000,00 ,
com vencimento em 03 de novembro. No dia 16 de
agosto descontou o título num banco que cobra 2%
a.m. de desconto bancário. Determinar o valor de
desconto.
O desconto bancário segue a regra dos banqueiros.
FV = $ 8.000,00
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 16/08 a 03/11 = 79 dias = 79/30 meses
DB = ?

91. Como DB = FV * i * n , então:
DB = 8000 * 0,02 * ( 79/30 )
DB= $ 421,33

92. Valor Atual ou Valor de Resgate:
PV = FV ( 1 - i * n )

93. Exemplo
• Qual o valor de resgate do título do
exemplo anterior ?
• PV = FV ( 1 – i * n )
• PV = 8.000,00 ( 1- 0,02 * 79/30 )
• PV = $ 7.578,67

94. Capitalização Simples

95. Resolução
INT = $421,33
PV . i . N = 421,33
7578,67 . i . 79/30 = $421,33
i = 2,11% a.m.

96. Capitalização Composta
i = (FV/PV)1/n – 1
i = (8000/7578,67)30/79 -1
i = 2,0758% a.m.

97. Desconto Simples para Séries de
Mesmo Valor :
Vários títulos de mesmo valor apresentados
a um banco, com vencimentos em datas
diferentes podem ter seus valores de
desconto (total) calculado. Sendo i a taxa
de desconto, temos:

98. DB1 = FV * i * n1
DB2 = FV * i * n2
...........................
DBN = FV * i * nN
DBTOTAL = DB1 + DB2 + ..... + DBN
DBTOTAL = FV * i * n1 + FV * i * n2 + .... + FV * i * nN
DBTOTAL = FV * i * ( n1 + n2 + ... + nN )
DBTOTAL = FV * i * (n1 + nN ) * N/2

99. Exemplo
Quatro duplicatas, no valor de $32.000,00 cada
uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 180
dias, são apresentadas para desconto.
Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada
pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do
desconto.
FV = $32.000,00 n1=90 dias = 3 meses
iD = 3% a.m. nN=180 dias = 6 meses
N=4
Desconto Total: DBTotal=FV.N.iD.(n1+nN)/2 =
DBTotal=32.000 .4.0,03.(3+6)/2 = $17.280,00

100. 1 Resolução
D1 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 3 = 2.880,00
D2 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 4 = 3.840,00
D3 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 5 = 4 800,00
D4 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 6 = 5.760,00
Dt = $17280,00

101. 2 Resolução
Dt = FV . i . (n1 + Nn) . n/2
Dt = 32000 . 0,03 . ( 3 + 6 ) . 4/2
Dt = 960 . 18 = $17280,00

102. Exemplo
Uma empresa apresenta 6 títulos de mesmo valor para
serem descontados em um banco. Sabendo-se que a
taxa de desconto é de 2,8% ao mês, que os títulos
vencem de 30 em 30 dias, a partir da data de entrega do
boderô e que o valor líquido creditado a empresa foi de
$25.000,00, calcular o valor de cada título.
PV = $25.000,00
N=6 títulos
n1=1 mês
n6=6 meses
iD=2,8% a.m.
Pede-se: FV

103. Resolução
PVt = n . FV – Dt
25000 = 6 . FV – FV . id . (n1 + n6) . n/2
25000 = 6 . FV – FV . 0,028 . (1 + 6) . 6/2
25000 = 6FV – 0,5880FV
5,4120FV = 25000
FV = $4619,16

104. CALCULANDO O PV
PV = FV . (1 – i . N)
PV = 4619,36 . (1 – 0,028 . 1)
PV = $4490,02

105. PV = $25.000,00
N=6 títulos
n1=1 mês
n6=6 meses
iD=2,8% a.m.
Pede-se: FV
PV = N.FV – DBTOTAL
25.000 = 6 . FV – DBTOTAL (*)
Por outro lado,
DBTotal=FV.N.iD.(n1+nN)/2 = FV . 6 . 0,028 . (1+6)/2
DBTotal=0,5880 FV (**)
Substituindo (**) em (*), temos que:
25.000 = 6FV – 0,5880FV
Resolvendo a equação acima, temos: FV= $4.619,36

106. Desconto Composto
PV = FV ( 1 – i )n

107. Desconto Composto :
É o abatimento concedido sobre um título
por seu resgate antecipado, com os
critérios da capitalização composta.
Dcomp = FV – PV
sendo FV o valor nominal e PV o valor do
resgate do título.
PV = FV ( 1 – i )n

108. Exercício
• Desconto Composto
Exemplo:
FV = $1000
Id = 2% am (Em meses para o vencimento)
PV = Valor de resgate ou creditado na conta
(Valor presente)

109. Resolução

110. Exemplo
Um duplicata no valor de $25.000,00, com
90 dias para o seu vencimento, é
descontada a uma taxa de 2% ao mês.
Calcular o valor líquido creditado na conta
e o valor do desconto concedido.
a) De acordo com o conceito de desconto
Bancário.
b) De acordo com o conceito de desconto
composto.

111. Dados: FV=$25.000,00
N=90 dias = 3 meses
Id=2% ao mês
a) Desconto Bancário
DB=FV.iD.n = 25.000 . 0,02 . 3 = $1.500,00
Valor líquido creditado na conta:
PV = FV – DB = 25.000–1.500= $23.500,00
b) No desconto Composto, o valor líquido creditado em
conta é de:
PV = FV.(1 – iD)n = 25.000 . (1-0,02)3= $23.529,80
O valor do desconto composto é de:
DCOMP = FV – PV = 25.000 – 23.529,80 = $1.470,20.

112. ANUIDADES OU
SÉRIES DE
PAGAMENTOS

113. Valores que são pagos ou recebidos através de
uma sucessão de pagamentos ou recebimentos.
Chama-se de amortização quando o objetivo de
sucessivos pagamentos é a liquidação de uma
dívida.
Chama-se de capitalização quando o objetivo de
sucessivos pagamentos é constituir um capital em
data futura.

114. Classificação das Séries de Pagamentos
As Séries de Pagamentos podem ser
classificadas :
Quanto ao prazo:
Podem ser temporárias (duração limitada)
ou perpétuas (duração ilimitada, como
alugueis)

115. Classificação das Séries de Pagamentos
Quanto a valor:
Podem ser constantes (pagamentos ou
recebimentos em valores iguais) ou
variáveis (pagamentos ou recebimentos
com valores diferentes)

116. Classificação das Séries de Pagamentos
Quanto a forma:
Imediatas: quando o primeiro pagamento
ocorre no primeiro período. Subdividem-se
em postecipada (primeiro pagamento se dá
no final do primeiro período,ou seja, sem
entrada) e antecipada (primeiro pagamento
no início do primeiro período, ou seja, com
entrada igual as demais prestações)

117. Classificação das Séries de Pagamentos
Diferidas: quando o primeiro pagamento
não ocorre no primeiro período. O período
sem pagamentos é chamado de Período de
Carência, e normalmente, nele são
cobrados juros. Também se subdividem em
postecipadas e antecipadas.

118. Classificação das Séries de Pagamentos
Quanto ao período:
Podem ser periódicas (intervalos de
tempo entre pagamentos iguais) ou não
periódicas (intervalos de tempo entre
pagamentos diferentes).

119. Modelo Básico de Série
O modelo básico de Série de Pagamentos
que vamos tratar é uma série:
• Temporária
• Constante
• Imediata
• Periódica

120. Exemplo
Determinar o montante ao final do 5o. mês
de uma série de 5 pagamentos mensais,
iguais e consecutivos de $ 1.000,00 a taxa
de 1% ao mês, de forma postecipada.

121. Solução
Esquematicamente temos a série
representada pelo Diagrama do Fluxo de
Caixa: FV
0 1 2 3 4 5
$1000

122. ´PASSO A PASSO - SOLUÇÃO
1a. parcela: FV1 = PV1(1+i)4
FV1 = 1000(1+0,01)4 = $ 1.040,60
2a. parcela: FV2 = PV2(1+i)3
FV2 = 1000(1+0,01)3 = $ 1.030,30
3a. parcela: FV3 = PV3(1+i)2
FV3 = 1000(1+0,01)2 = $ 1.020,10
4a. parcela: FV4 = PV4(1+i)1
FV4 = 1000(1+0,01)1 = $ 1.010,00
5a. parcela: FV5 = PV5(1+i)0
FV5 = 1000(1+0,01)0 = $ 1.000,00
FVTOTAL= $ 5.101,01

123. Juros Compostos
i = 10% a.m.
FV = PV . (1 + i)n
FV1 = 1000 . (1 + 0,1)4
FV2 = 1000 . (1 + 0,1)3
FV3 = 1000 . (1 + 0,1)2
FV4 = 1000 . (1 + 0,1)1
____________________________
FVt = 1000 . (1,010 + 1,011 + 1,012 + 1,013 + 1,014)

124. Resultado
FVt = $5101,01

125. Juros Compostos
FVt = 1000 . (1,010 + 1,011 + 1,012 + 1,013 + 1,014)
FV = 1000 . 1,010 . 1,015 – 1/ 1,01 - 1

126. Fórmula
FV = PMT . (1 + i)n – 1/ i
Fazendo com a fórmula:
FV = 1000 . (1 + 0,01)5 – 1/ 0,01
FV = $5101,01

127. Fórmula

128. 2) Quantas prestações de $4.000,00 devo
aplicar trimestralmente, à taxa de 7% ao
trimestre, para acumular um montante de
$100.516,08 no final de certo prazo? E
qual esse prazo?

129. Exercício II
PMT = $4000
i = 7% a.t.
FV = $100.516,08
n=?

130. $ 4000

131. Determinar:
FV = PMT . (1 + i)n – 1/ i
(1 + i)n – 1/ i = FV / PMT
(1 + i)n – 1= i . FV / PMT
(1 + i)n = 1 + i . FV / PMT
n. Ln (1+ i) = ln (1 + i . FV / PMT)

132. Fórmula
N = ln (1 + i . FV / PMT) / Ln (1+ i)

133. Séries de Pagamentos
Postecipados

134. Fórmula

135. Exercícios
• A que taxa devo aplicar $15.036,28 por
ano para que eu tenha um montante de
$500.000,00 no final de 10 anos?

136. Exercícios
$5000000
10
$15036,28

137. Resolução
Séries Postecipada
PMT = $15036,28
FV = $500.000
N = 10 prestações anuais
I = ? A.A

138. Determinar:
(1 + i)n – 1 / i = FV / PMT
(1 + i)10 – 1/ i = 500000/15036,38
(1 + i)10 – 1/ i = 33,2529
i = 25% a.a.

139. 1 - Exercício
• Quanto terei que aplicar mensalmente, à
taxa de 1% ao mês, para ter um montante
de $1.000.000,00 no final de 20 anos, de
acordo com os conceitos de termos
postecipados?

140. Resolução
$ 1.000.000
Meses
PMT

141. Série Postecipada - Resolução
FV = $ 1.000.000
N = 240 prestações
i = 1 % a.a
PMT = ?

142. De valor de cada prestação?
PMT = FV . i / ( 1 + i)n – 1
PMT = 1000000 . 0,01/1,01240 – 1
PMT = $ 1010,86

143. Na HP12C
G END
F FIN
1i
240 n
1000000 FV
PMT = -1010,86 (CHS)

144. AO DIA?
G END
F FIN
0,033173 i (i = (1+0,01)1/30 -1)
7200 n (240.30 = 7200 ao dia)
1000000 FV
PMT = -33,53 (CHS)

145. Outra maneira...
• Quanto terei que aplicar mensalmente, à
taxa de 1% ao mês, para ter um montante
de $1.000.000,00 no final de 20 anos, de
acordo com os conceitos de termos
postecipados?
• E diariamente, à taxa equivalente a 1% ao
mês? (ano comercial: 360 dias)

146. Nova Fórmula

147. FFC

148. FVA

149. FRC (i,n)

150. Exemplo
Qual é o valor de um empréstimo que
pode ser liquidado em 10 prestações
mensais (vencidas ou postecipadas), à
taxa de 2% ao mês, sendo as quatro
primeiras prestações de $3.000,00 e as 6
últimas de $4.000,00?

151. Resolução

152. Série 1
END
PMT = $3000
N = 4 prestações mensais
i = 2% a.m.

153. Valor atual
PV = PMT . (1 + i)n – 1 / i . (1 + i)n
PV = 3000 . 1,024 – 1 / 0,02 . 1,024
PV = $11.423,1861

154. Série 2
PMT = $4000
N = 6 prestações meses
I = 2% a.m

155. Valor atual
PV = 4000 . 1,026 – 1 / 0,02 . 1,026
PV = 22.405,7236

156. Data Zero
PV = 22405,7236/ 1,024
PV = $20699,4252

157. Valor do empréstimo
X – 11423,1861 + 20699,4252 =
$32122,61

158. Exercícios 1
Qual o montante, no final de 20
meses, resultante da aplicação de 14
parcelas iguais, mensais e
consecutivas de $1.800,00 cada
uma, sabendo-se que a taxa
contratada é de 3,5% ao mês e que a
primeira aplicação é feita “hoje”?

159. Exercícios 1

160. Série Antecipada
PMT = $1800
N = 14 Prest.
I = 3,5% a.m.
FV = ?

161. Montante no final do 14º mês
FV = (1+i) . PMT (1+i)n – 1/i
FV = 1,035.1800.1,03514-1/0,035
$32432,23

162. Montante no final do 20º mês
FV = PV . (1+i)n
=
$32932,23 . 1,035
=
$40482,11

163. HP 12C
G beg
F fin
1800 CHS PMT
3,5 i
14 n
FV = 32932,23

164. HP 12C
F FIN
32932,23 CHS PV
6n
3,5 i
FV $40482,11

165. Exercício 2

166. Série Antecipada
FV = $20000
N = 12 prestações mensais
I = 3% a.m
PMT = ?

167. Valor de cada prestação
PMT = 1/(1+i) . FV . i/(1+i)n – 1
PMT = 1/1,03 . 20000 . 0,03/1,0312 – 1
PMT = $ 1368,20

168. HP 12C
G BEG
F FIN
20000 FV
3I
12 N
PMT = -1368,20

169. Exercício 3
Um empréstimo de $50.000,00 deve
ser liquidado em 12 prestações iguais.
Sabendo-se que a primeira vence no
final do 4o mês e que a taxa de juros
cobrada pela instituição financeira é
de 5% ao mês, determinar o valor da
prestação.

171. Série Antecipada
PMT = ?
PV = $60775,31
N = 12
I = 5% a.m

172. Valor de cada prestação
PMT = 1/(1+i) . PV . i.(1+i)n/(1+i)n-1
PMT = 1/1,05 . 60775,31 . 0,05 . 1,05/1,0512 – 1
PMT = $6530,48

173. HP12C
F fin
50000 pv
4n
5i
FV = $-60775,31

174. Série de Pagamentos Antecipado
Exemplo:
Um financiamento de $40.000 será pago
em oito prestações mensais de $6.413,44.
O início do pagamento das prestações
será logo ao término de um determinado
período de carência. Considerando juros
efetivos de 3% ao mês, determinar o
período de carência.

175. Dados

176. Dados
PMT = $6413,44
N = 8 prestações mensais
i = 3% a.m.

177. Fórmula
Valor atual
PV = (1+i) . PMT . (1+i)n – 1 / i . (1+i)n

178. Resolução
PV: 1,03 . 6413,44 . 1,038 – 1 / 0,03 . 1,038
PV: 46370,9859

179. Período de Carência

180. HP12C
G BEG
F FIN
6413,44 CHS PMT
8N
3i
PV 46370,9859
F FIN
46370,9859 CHS FV
40000 PV
3i
N = 5,00

181. Questão
Exemplo:
Um bem cujo valor à vista é de $10.000 será
pago por meio de uma entrada de 20% mais 13
prestações antecipadas mensais de $800 cada
e mais um pagamento final junto com a última
prestação. Considerando que são aplicados
juros efetivos de 4% ao mês e que há um
período de carência de três meses, calcular o
valor do pagamento final de modo que a dívida
seja liquidada.

182. Dados

183. Dados
Série antecipada
PMT = $800
N = 13 prestações mensais
i = 4% a.m.

184. Fórmula
Valor atual:
PV = (1+i) . PMT . (1+i)n – 1 / i . (1+i)n

185. Resolução
PV: 1,04 . 800 . 1,0413 – 1 / 0,04 . 1,0413
PV: 8308,06 (Mês 3)

186. Data Zero
PV = FV / (1 + i)n
PV = 8308,059 / 1,04³
PV = $7385,83

187. Resta uma dívida (data 0)
Parcela = 8000 – 7385,83 = $614,1658
Data 15
X = 614,1658 . 1,0415
X = $1106,08

188. Solução 2
Data 15
FV = 8000 . 1,0415
FV = $14407,5480

189. Continuação
FV = PMT . (1 + i)n – 1 / i
FV = 800 . 1,0413 – 1 / 0,04
FV = 13301,47
X = 14407,5480 – 13301,47 = $1106,08

190. MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE
FLUXO DE CAIXA

191. Exemplo
Uma pessoa tem as seguintes opções
para investimento de $800.000,00 :
1. Receber $1.000.000,00 em 2 anos.
2. Receber 4 pagamentos semestrais de
$230.000,00.
3. Receber 24 pagamentos mensais de
$38.000,00.
Qual a melhor alternativa se a taxa de
retorno (atratividade) é de 12% aa ?

192. Solução
1. FV = PV (1+i)n
1.000.000 = PV (1+0,12)2
PV = $ 797.193,88
NPV = 797.193,88 – 800.000,00
NPV = - $ 2.806,12

193. Solução
2. Série de pagamentos postecipada,
com:
PMT = $ 230.000,00
n = 4 parcelas
i = 5,83% as
Calculando-se PV e NPV, temos
PV = $ 800.085,57
NPV = $ 85,75

194. Solução
3. Série de pagamentos postecipada, com:
PMT = $ 38.000,00
n = 24 parcelas
i = 0,9488793% am
Calculando-se PV e NPV, temos:
PV = $ 812.182,61
NPV = $ 12.182,61
Portanto a melhor alternativa é a 3.

195. Se NPV é negativo significa que as despesas
são maiores que as receitas.
Se NPV é positivo significa que as receitas são
maiores que as despesas.
Se NPV é igual a zero significa que as receitas
e as despesas são iguais

196. Valor presente líquido
VPL ou NPV

197. Receita Atualizada
VLP = CF1/(1+i)¹ + CF2/(1+i)² + CF2/(1+i)³ + CF2/(1+i)4 - CF0

198. Taxa Interna de Retorno (IRR)
O Método da Taxa Interna de Retorno é
aquele que permite encontrar a
remuneração do investimentos em termos
percentuais.
Encontrar a taxa Interna de Retorno é
encontrar a taxa de juros que permite
igualar receitas e despesas na data zero.

199. A Taxa Interna de
Retorno é a taxa de
desconto que leva o
valor presente das
entradas de caixa de
um projeto a se
igualar ao valor
presente das saídas
de caixa.
Se NPV = 0, então:

200. Exercício
VPL

201. Exemplo
Um máquina no valor de $ 10.000,00
proporcionará receitas anuais de $
3.500,00 , $ 2.800,00 , $ 2.300,00 e $
1.700,00 , quando poderá ser revendida
por $ 2.000,00. Imaginado-se uma taxa
mínima de retorno de 7% aa, o
investimento deve ser realizado?

202. Resolução

203. Resolução
i = 2%
VLP = 3500/1,07¹ + 2800/1,07² + 2300/1,07³
+ 3700/1,74 – 10000 = $416,85
Valor ($416,85) > 0
Se o valor final for maior que zero, vale a pena!

204. HP12C
F reg
10000 CHS g CF0
3500 g CFj
2800 g CFj
2300 g CFj
3700 g CFj
7i
F NPV = 416,85

205. Solução
O Fluxo de Caixa desse investimento pode ser
representado da seguinte forma:
$ 3.500 $ 2.800 $ 2.300 $ 3.700
0 1 2 3 4
-$ 10.000

206. Solução – Através do NPV
Em primeiro lugar o fluxo deve ser introduzido
na calculadora. Para isso é necessário lembrar
que os valores (receitas e despesas) devem ser
introduzidos em ordem cronológica:
f Reg
10000 CHS g CF0
3500 g CFj
2800 g CFj
2300 g CFj
3700 g CFj
7i
f NPV

207. Solução – Através do NPV
O resultado do NPV é $ 416,85 , o que
significa que as estimativas de receitas
são maiores que o investimento inicial,
valendo a pena ser feito.

208. Solução – Através da IRR
A situação também poderia ser resolvida através
da taxa interna de retorno:
f Reg
10000 CHS g CF0
3500 g CFj
2800 g CFj
2300 g CFj
3700 g CFj
f IRR

209. Solução – Através da IRR
A resposta encontrada para IRR é 8,84%
aa, maior que a taxa mínima de retorno
exigida (7% aa), o que significa que o
investimento deve ser feito.

210. Exercício
Uma taxa foi liquidada em quatro
prestações anuais de $25331,01,
$11200,00, $137250,00, $87500,00
respectivamente, vencimento final de cada
ano. Sabendo-se que a taxa de juros
cobrada for de 30% a.a., calcular o valor
da dívida.

211. Resolução

212. HP12C
F reg
0 g CF0
25331,01 g CFj
11200 g CFj
137250 g CFj
83500 g CFj
30 i
F NPV = 117.819,84

213. VALOR PRESENTE LÍQUIDO
VPL ou NPV

214. VPL = SOMAN J = 1 CFJ / (1+i)j - CF0

215. VPL = CF1/(1+i)1 + CF2/(1+i)2 ...
Exemplo
Dado o fluxo de caixa de um projeto,
avalie a viabilidade, sabendo-se que o
investidor pode aplicar no mercado
financeira à raxa de 15% ao anos.

216. Modelo

217. VPL (15%) = 145/1,15¹ + 184/1,15² + 210/1,15³
+ 350/1,154 + 421,5/1,155
= $312,97 milhares de reais > 0
Projeto é viável

218. NA HP12C
F REG
500 CHS G CF0
145 G CFJ
210 G CFJ
350 G CFJ
421,5 G CFJ
15 I
F NPV = 312,969

219. Taxa de Retorno (TIR ou IRR)
SOMAN J = 1 = CFj/ (1 + i)j = CF0
i = TIR
VPL(TIR) = 0

220. Exemplo
Determine a TIR de problema anterior e
utilizar o resultado para avaliar a
viabilidade do projeto.
145/(1+i)¹ + 184/(1+i)² + 210/(1+i)³ +
350/(1+i)4 + 421,5/(1+i)5
= 500

221. TIR = 34,37% a.a. > 15% a.a.
O PROJETO É VIÁVEL
F REG
500 CHS G CF0
145 G CFJ
210 G CFJ
350 G CFJ
421,5 G CFJ
F IRR = 34,367

222. Exercício 13 – Lista 4

223. Dívida na dada 6

224. Resolução
FV = PV . (1 + i)n
FV = 185428,78 . (1 + i)6
PV
PV = PMT . (1+i)12 – 1/i . (1+i)12
185428,78 = (1+i)6 = 25000 (1+i)12/ i.(1+i)12

225. IRR
HP 12C
F reg
185428,78 CHS g CF0
0 g CFj
6 g NJ
25000 g CFJ
12 g NJ
F IRR 4

226. Exemplo
Um banco credita $200,16 na carta de um
cliente, referente ao desconto de 3
duplicatas de valores. R$ 100, R$ 120 e
R$ 80 com prazos.
42, 63 e 84 dias, respectivamente.
Determinar a taxa mensal de juros,
cobrada nessa operação,

227. Exercício – Calculando a IRR

228. HP12C
F REG
260,18 CHS G CF0
0 G CFJ
100 G CFJ
120 G CFJ
80 G CFJ
F IRR = 4,9% em 21 dias

229. Taxa
i = (1+0,05)30/21 – 1 = 7,22% a.m

230. VPL e TIR
Exemplo:
Considere as seguintes alternativas de
investimento mutualmente exclusivas:

231. Exercício
Considerando um custo do capital de 10%
a.a., pede-se:

232. A) Calcular o VPL para cada
alternativa:
VPL(i) = 25/(1+i)¹ +
125/(1+i)² = -100
VPL(10%) = 25/1,1¹ +
25/1,1² = $26,03

233. HP12C
F REG
100 CHS g CF0
25 g CFj
125 g CFj
10 i
F NPV 26,03

234. b) Determinar a TIR para cada
alternativa:
TIR?
25/(1,1)¹ + 25/(1,1)² = 100
TIRa = 25% a.a.

235. HP12C
F REG
100 CHS g CF0
25 g CFj
125 g CFj
F IRR 25,00

236. b)
• VPL(i) = 95/(1+i)¹ +
45/(1+i)² = -100
• VPL(10%) = 95/1,1¹ +
45/1,1² = $23,55

237. b)
TIR?
95/(1+i)¹ + 45/(1+i)² = 100
TIRb = 29,70% a.a.

238. c) Para cada alternativa (A e B),
construa o gráfico de VPL versus
custo do capital (i). Represente
os dois gráficos num mesmo
plano cartesiano.

239. c)
ALTERNATIVA b ALTERNATIVA a

240. Gráfico

241. Gráfico
Quando a reta intercepta o eixo do custo do
capital, define a taxa de retorno.

242. d) Utilize os gráficos para
estabelecer qual deve ser a
alternativa escolhida. Justifique
sua reposta.

243. d)
Considerando o custo do capital de
10%a.a., seleciona-se a alternativa A,
pois:
VPLb (10%) > VPLa (10%)

244. O valor de cada prestação é composto
por: uma parcela de juros e uma de capital
(amortização).

245. Sistema de Amortização
Sistema Francês de Amortização (PRICE)
Este sistema consiste em um plano de
amortização de uma dívida em prestações
periódicas, iguais e sucessivas, dentro de
conceito de termos postecipados.

246. Exemplo
Um banco empresta $10000, com taxa de
10% a.m., para ser pago em 5 parcelas,
sem carência, calculada pela tabela
PRICE.
Pede-se: elaborar a planilha de
financiamento

247. Valor de cada prestação?
PMT = PV . i.(1+i)n/(1+i)n – 1
PMT = 10000. 0,1 . 1,15/1,15 – 1
PMT = $2.637,97

248. 1º Parcela de Juros
INT1 = i . PV
INT1 = 0,10 . 10000 = $1000

249. 1º Parcela da Armotização
A1 = PMT - INT1
A1 = 2637,97 – 1000 = $1637,97

250. Saldo devedor após o pagamento
da 1º parcela
PV1 = PV0 - A1 = 10000 – 1637,97 = $8362,03

251. TABELA

252. Calculando o Juros:

253. Calculando Amortização:

254. Calculando o Saldo devedor:

255. Saldo devedor, logo após o
pagamento da 1º parcela.

256. PV3
PV3 = PMT . (1+i)5-3 -1/i . (1+i)5-3
PV3 = 2637,97 1,1² - 1/ 0,1 . 1,1²
PV3 = $4578,32

257. Saldo devedor logo após o
pagamento da t-ésima prestação
PVt = PMT . (1+i)n-t – 1/i . (1+i)n-t

258. Fórmula
At = A1 . (1+i) t-1
Cresce exponencialmente

259. Amortização
A1 = A1 . 1,1²
A3 = PV2 - PV3

260. Verificação de Taxa
(Amortização x Taxas)
A2 / A1 = 1801,77 / 1637,97 = 1,10
Aumenta 10%

261. HP12C
F fin
G end
10000 CHS PV
10 I
5N
PMT $2637,97
CONTINUANDO....

262. HP12C
PMT $2637,97
1 f AMORT 1000
X y 1637,97
RLC PV -8362,03

263. SAC

264. Sistema de Amortização Constante
(SAC)
As amortização periódicas são todas
iguais.
As prestações são periódicas, sucessivas
e descrentes em progressão aritmética
(PA).
As prestações são pagos no final de cada
periódo.

265. Exemplos
Um banco empresta R$ 10000 com taxa
de 10% a.m., para ser pago em cima
parcelas mensais, sem prazos de
carência, calculando pelo sistema de
Amortização constante (SAC).
Pede-se: Elaborar a planilha de
financiamento.

266. Resolução

267. Resolução

268. Tabela

269. Juros

270. PMT

271. Como encontrar alguns valores das
prestações?

272. P.A.
As prestações descrevem em P.A. com
razão r = i . PV0 / n
PMTt = PMT1 – (t – 1) . r

273. Valor total pago:

274. Último termo de juros:
PMTn = A + R
PMTn = PV0 / n + i . PV0 / n
INTn = r

275. Lista 6 – Exercício da Caixa
Econômica

276. Dados
12) PV0 = $864.000
n = 120 prestações mensais
SAC
i = 1% a.m.

277. a)
PMT1 = ?
PMT103 = ?

278. Valor da Amortização
A = PV0 / n = 864000 / 120 = $7200

279. Resolução a)
PMT1 = A + INT1
PMT1 = A + PV0
PMT1 = 7200 + 0,01 . 864000
PMT1 = 7200 + 8640 = $15840

280. PMT103 = PMT1 - 102 . r
r = i . PV0 / n = 0,01 . 7200 = 72
PMT1 = $15840
PMT103 = 15840 - 102 . 72
PMT103 = $8496,00

281. b)
Valor total de juros pagos:

282. Total do valor pago de juros:

283. Resultado b)

284. OBS:
PRICE
Todas as parcelas são iguais.
Amortização cresce exponencialmente
SAC
Parcelas diferentes. (Decrescente)
Amortização todos iguais.

285. Gráfico

286. PRICE
PMT = VERDE
A = ROSA
SEMPRE POSTECIPADO

287. SAC
PMT = AMARELA
A = AZUL

288. Valor do Financiamento
r = i . PV0 / n
300 = i . 3000
i = 15% a.m.

289. Curva “Price” x Reta “Seca”
SALDOS DEVEDORES
12.000,00
10.000,00
SALDOS DEVEDORES
8.000,00
Saldo Devedor Price
6.000,00
Saldo Devedor SAC
4.000,00
2.000,00
0,00
0 1 2 3 4 5 6
NÚMERO DA PARCELA

290. Amortização
Prestações e Amortizações
4.000,00
3.500,00
3.000,00
Amortização PRICE
Valores em Reais
2.500,00 Prestação PRICE
Amortização SAC
2.000,00
Prestação SAC
1.500,00 Amortização SAM
Prestação SAM
1.000,00
500,00
0,00
0 20 40 60 80 100 120 140
Núm ero de Ordem das Prestações

291. Devedor
Saldo Devedor
140.000,00
120.000,00
100.000,00
Valores em Reais
80.000,00
Saldo Devedor PRICE
60.000,00 Saldo Devedor SAC
Saldo Devedor SAM
40.000,00
20.000,00
0,00
0 20 40 60 80 100 120
Núm ero de Ordem das Prestações

292. Exercício
• Um empréstimo de $2000, contratado a
juros efetivos de 1% ao mês, de acordo
com tabela PRICE. Ele será pago em trÊs
prestações mensais com carência de dois
meses. Durante a carência os juros
efetivos são capitalizados e incorporados
ao principal. Construir a planilha de
amortização.

293. HP 12C
F FIN
G END
2040,20 CHS PV
3N
1I
PMT = 693,71

294. HP12C
PMT 693,71
1 f AMORT 20,40
X y 673,31
RLC PV 1366,89

295. Planilha