Unidad 4. Diseño de filtros digitales.pdf

Filtros ideales
 En el diseño de filtros selectivos en frecuencia, la característica del filtro deseado se
especifica en el dominio de la frecuencia en función del módulo y de la fase de la respuesta
del filtro.
 En el proceso de diseño del filtro, determinamos los coeficientes de un filtro FIR o IIR causal
que es buena aproximación de las especificaciones de la respuesta en frecuencia deseada.
 Junto con el diseño de filtros digitales, vamos a describir también las transformaciones en
frecuencia tanto en el dominio analógico como en el digital, para transformar un filtro paso
bajo prototipo en otro filtro paso bajo, paso banda, de banda eliminada o paso alto.
1
Los filtros ideales son no causales y, por tanto,
no son físicamente realizables para aplicaciones
de tratamiento de señales en tiempo real.
Elaboró: Ing. Jhonattan Bulla Espinosa, MSc.

Diseño de filtros FIR
 Filtros FIR simétricos y antisimétricos
Un filtro FIR de longitud 𝑀𝑀 con entrada 𝑥𝑥 𝑛𝑛 y salida 𝑦𝑦 𝑛𝑛 se describe mediante la ecuación en
diferencias
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1 1
1
0
1 ... 1
k
M
M
k
y n b x n b x n b x n M
y n x n k
b
−
−
=
= + − + + − +
= −
∑
Donde 𝑏𝑏𝑘𝑘 es el conjunto de coeficientes del filtro.
Alternativamente, y considerando el filtro como un sistema con respuesta al impulso unitario
ℎ 𝑛𝑛 podemos expresar la secuencia de salida como la convolución entre ℎ 𝑛𝑛 con la señal de
entrada
( ) ( ) ( )
1
0
M
k
y n x n k
h k
−
=
= −
∑

Un filtro FIR tiene fase lineal si su respuesta al impulso unidad satisface la condición de simetría
y antisimetría
El filtro también puede caracterizarse mediante su función de sistema 𝐻𝐻 𝑧𝑧 , que es un
polinomio de grado 𝑀𝑀 − 1 en la variable 𝑧𝑧−1
3
( ) ( )
1
0
M
k
k
H z h k z
−
−
=
= ∑ Las raíces de este polinomio son los ceros del filtro.
( ) ( )
1 , 0,1,2,3,..., 1
h n h M n n M
=± − − = −
0
0.5
1
Amplitud
h(n) = h(M-1-n), M par
0 2 4 6 8
n
0
0.5
1
Amplitud
h(n) = h(M-1-n), M impar
0 2 4 6
n
-1
0
1
Amplitud
h(n) = -h(M-1-n), M impar
0 2 4 6
n
-1
0
1
Amplitud
h(n) = -h(M-1-n), M par
0 2 4 6
n

Si ℎ 𝑛𝑛 = ℎ 𝑀𝑀 − 1 − 𝑛𝑛 es simétrica, 𝐻𝐻 𝑤𝑤 puede expresarse como
4
( ) ( )
( )
1
2
M
jw
r
H w H w e
−
−
=
En donde
( ) ( )
3
2
0
1 1
2 Cos , Impar
2 2
M
r
n
M M
H w h h n w n M
−
=
− −
   
=
+ −
   
   
∑
( ) ( )
1
2
0
1
2 Cos , Par
2
M
r
n
M
H w h n w n M
−
=
−
 
= −
 
 
∑
Y sus características de fase para 𝑀𝑀 impar y par
( )
( )
( )
1
, si 0
2
1
, si 0
2
r
r
M
w H w
w
M
w H w
π
 −
 
− >
 

  
Θ =

−
 
− + <
 
  


( )
( )
( )
1
, si 0
2 2
3 1
, si 0
2 2
r
r
M
w H w
w
M
w H w
π
π
 −
 
− >
 

  
Θ =

−
 
 − <
 
  

Si ℎ 𝑛𝑛 = −ℎ 𝑀𝑀 − 1 − 𝑛𝑛 es antisimétrica, 𝐻𝐻 𝑤𝑤 puede expresarse como
5
( ) ( )
( )
1
2 2
M
j w
r
H w H w e
π
−
 
− +
 
 
=
En donde, si 𝑀𝑀 es impar ℎ
𝑀𝑀−1
2
= 0
( ) ( )
3
2
0
1
2 Sin , Impar
2
M
r
n
M
H w h n w n M
−
=
−
 
= −
 
 
∑
( ) ( )
1
2
0
1
2 Sin , Par
2
M
r
n
M
H w h n w n M
−
=
−
 
= −
 
 
∑
Y sus características de fase para 𝑀𝑀 impar y par

Calculo de la respuesta en frecuencia 𝐻𝐻 𝑤𝑤
Diseño de filtro FIR simétrico con 𝑀𝑀 impar
6

Expandiendo 𝐻𝐻 𝑧𝑧 e incorporando las condiciones de simetría, tenemos que:
7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 1
0 1 2 3 ...... 1 M
H z h h z h z h z h M z
− − − −
= + + + + + −
Si 𝑴𝑴 es impar, i.e. 𝑴𝑴 = 𝟓𝟓
Sacando factor común 𝑧𝑧
− �
(𝑀𝑀−1)
2
y agrupando términos de acuerdo con la simetría
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 2 2 1 1
0 1 2
H z z h z z h z z h
− − −
 
= + + + +
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 1 2
0 1 2 3 4
H z h z h z h h z h z
z− − −
 
= + + + +
 
Con ℎ 0 = ℎ 4 y ℎ 1 = ℎ 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 4
2 3
0 1 2 3 4
z
H z h h z h h z h z
− − −
−
= + + + +
Posición central de secuencia

Finalmente, evaluando 𝐻𝐻 𝑧𝑧 en la circunferencia unidad [es decir con 𝑧𝑧 = 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗
]
8
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
0 1 2
2 0 Cos 2 2 1 Cos 2
j w j w j w jw jw
j w
H w e h e e h e e h
H w e h w h w h
− − −
−
 
= + + + +
 
= + +
 
 
En donde:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
2
2
2 0 Cos 2 2 1 Cos 2
M
j w r
r j w
H w h w h w h
H w H w e
w e
−
−
−
= + +


= = 
Θ =



 Diseño de filtros FIR de fase lineal utilizando ventanas
9
( ) ( )
0
jwn
d d
n
H w h n e
∞
−
=
= ∑ ( ) ( )
1
2
jwn
d d
h n H w e dw
π
π
π −
= ∫
( )
1, 0,1,2,..., 1
0, en otro caso
n M
w n
= −

= 

En general, la respuesta al impulso unidad es infinita en duración y tiene que truncarse en
algún punto, para proporcionar un filtro FIR de longitud 𝑀𝑀.
Truncar ℎ𝑑𝑑 𝑛𝑛 una longitud 𝑀𝑀 − 1 es equivalente a multiplicar ℎ𝑑𝑑 𝑛𝑛 por una “ventana
rectangular”, definida como
Por lo que:
( ) ( ) ( )
( ), 0,1,2,..., 1
0, en otro caso
d
d
h n n M
h n h n w n
 = −
= = 

A partir de la respuesta en frecuencia deseada 𝐻𝐻𝑑𝑑 𝑤𝑤 podemos determinar la correspondiente
respuesta al impulso unidad ℎ𝑑𝑑 𝑛𝑛 .

 Multiplicar la función ventana 𝑤𝑤 𝑛𝑛 con la respuesta al impulso ℎ𝑑𝑑 𝑛𝑛 es equivalente a
convolucionar 𝐻𝐻𝑑𝑑 𝑤𝑤 con 𝑊𝑊 𝑤𝑤 .
10
( ) ( )
2 2
2
1
1 1
1
2
0 2 2
2
2
2 Sin
1 2
1
1
Sin
2
2
2
wM wM
j j
wM
j
M
jwM
M jw
jwn
jw w w
j j
n w
j
e e
j e wM
j
e
W w e e
w
e
e e
j e
j
−
−
−
 
− − +
− −  
−  
−
−
=
−
 
−
 
 
 
   
−    
= = = =
−    
−  
 
 
 
 
 
∑
La transformada de Fourier de la ventana rectangular es:
Y su modulo de magnitud y fase lineal es:
( )
( )
( )
Sin
2
,
Sin
2
wM
W w w
w
π π
= − ≤ ≤ ( )
( )
( )
1
, cuando Sin 0
2
2
1
, cuando Sin 0
2
2
M wM
w
w
M wM
w π
 −
 
− ≥
 

  
Θ =

−
 
− + <
 
  


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Frecuencia Normalizada (f)
-100
-80
-60
-40
-20
0
Amplitud
(db)
Modulo de la función Ventana
M = 31
M = 61
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Frecuencia (Rad)
0
20
40
60
80
Amplitud
Modulo de la función Ventana
M = 31
M = 61
Los grandes lóbulos secundarios de 𝑊𝑊 𝑤𝑤 dan lugar a una serie de efectos de rizado no
deseados en la respuesta en frecuencia del filtro FIR 𝐻𝐻𝑑𝑑 𝑤𝑤 . Estos efectos no deseados se
eliminan bien utilizando ventanas que no contengan discontinuidades abruptas en sus
características en el dominio en el tiempo y los correspondientes lóbulos secundarios más
pequeños en sus características en el dominio de la frecuencia.
11

 Funciones ventana para el diseño de filtros FIR
12
Barlett (Triangular)
1
2
2
1
1
M
n
M
−
−
−
−
Blackman
2 4
0.42 0.5Cos 0.08Cos
1 1
n n
M M
π π
   
− +
   
− −
   
Hamming
2
0.54 0.46Cos
1
n
M
π
 
−  
−
 
Hanning
1 2
1 Cos
2 1
n
M
π
 
 
−  
 
−
 
 
kaiser
2 2
0
0
1 1
2 2
1
2
M M
I n
M
I
α
α
 
− −
   
 
− −
   
   
 
 
 − 
 
 
 
 
 

Funciones ventana para el diseño de filtros FIR (Cont.)
13
Tukey
( )( )
( )( )
1 1
1 2
1 Cos
1 1
2
2
a M
n
a M
π
 
+ −
 
−
 
 
+
 
 
− −
 
 
 
 
( ) 1 1
1
2 2 2
M M
M
n
α − −
−
≤ − ≤
Lanczos
( )
1
2
2
Sin
1
, 0
1
2
2
1
2
L
M
n
M
L
M
n
M
π
π
 
 − 
 
−
 
 
 
 
 
 
−
 
 
 
 
  >
 
−
 
 
−
 
 
 
 
−
 
 
 
 
 
1 1
1, , 0 1
2 2
M M
n α α
− −
− ≤ < <

14
En MatLab es possible diseñar y analizar ventanas espectralmente con windowDesigner
0 5 10 15 20 25 30 35
Muestras
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Módulo
Funciones ventana para el diseño de filtros FIR
Rectanguar
Barlett
Blackman
Hamming
Hanning

• i.e. Suponga que deseamos diseñar un filtro FIR paso bajo simétrico de fase lineal cuya
respuesta en frecuencia es:
15
( )
( )
1
2
1 , 0
0, en otro caso
c
jw
d
M
w w
H w e
−
−

 ≤ ≤
= 


Se añade un retardo de
𝑀𝑀−1
2
unidades a 𝐻𝐻𝑑𝑑 𝑤𝑤 para forzar que el filtro tenga una longitud 𝑀𝑀.
Solución:
Como 𝐻𝐻𝑑𝑑 𝑤𝑤 se relaciona con ℎ𝑑𝑑 𝑛𝑛 a través de la transformada inversa de Fourier, tenemos
que:
( )
( )
1
2
1
2
1 1
Sin ,
2 2
c
c
M
jw
w
jwn
d w
c
d c
h n e e dw
w M M
h n c w n n
π
π
−
 
−  
 
−
=
 −  −
 
= − ≠
 
 
 
 
∫
En este caso, ℎ𝑑𝑑 𝑛𝑛 es no causal y
tiene una duración infinita.

Multiplicando ℎ𝑑𝑑 𝑛𝑛 por una venta rectangular se obtiene un filtro FIR con respuesta al
impulso ℎ 𝑛𝑛 .
16
( )
1 1
Sin 0 1,
2 2
c
c
w M M
h n c w n n M n
π
 −  −
 
= − ≤ ≤ − ≠
 
 
 
 
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Modulo
Filtro FIR con respuesta al impulso h(n)
0 10 20 30 40 50 60
Muestras
M = 61

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Frecuencia normalizada
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Modulo
Filtro pasa bajo diseñado con una ventana rectangular
M = 61
M = 101
17

En conclusión
• El rizado u oscilaciones en las proximidades de la banda son el resultado directo de la
existencia de lóbulos secundarios grandes en la característica de frecuencia 𝑊𝑊 𝑤𝑤 de la
ventana rectangular.
• Las oscilaciones aumentan en frecuencia cuando M aumenta, pero no disminuyen en
amplitud.
• Cuando la función de ventana se convoluciona con la respuesta en frecuencia deseada
𝐻𝐻𝑑𝑑 𝑤𝑤 , las oscilaciones que aparecen como grandes lóbulos secundarios de área constante
se desplazan a lo largo de la discontinuidad que existe en 𝐻𝐻𝑑𝑑 𝑤𝑤 .
• El comportamiento oscilatorio en las proximidades del extremo de la banda del filtro se
conoce como fenómeno de Gibbs.
• Para aliviar la presencia de las oscilaciones grandes en la banda de paso y en la banda
eliminada, debemos emplear una función de ventana que contenga un atenuador y
disminuya hasta cero gradualmente, en lugar de abruptamente, como ocurre con una
ventana rectangular. Todo lo anterior, a expensas de un incremento en la banda de transición
del filtro.
18

 Diseño de filtros FIR de fase lineal mediante el método basado en el muestreo en
frecuencia
19
Exposición del tema por parte de estudiantes

 Diseño de filtros FIR de fase lineal con rizado constante optimo
20
( )
1 1
1 1 ,
r p
H w w w
δ δ
− ≤ ≤ + ≤
 En la banda de paso, la respuesta en
frecuencia del filtro satisface la condición
El método de diseño de filtros descrito en esta sección se formula como problema de la
aproximación de Chebyshev. Esto puede verse como un criterio de diseño óptimo en el sentido
de que el error de la aproximación ponderado entre la respuesta en frecuencia real deseada y
la respuesta en frecuencia real se dispersa a lo largo de la banda de paso e igualmente a lo
largo de la banda eliminada del filtro, minimizando de este modo el error máximo.
 y en la banda eliminada
( )
2 2 ,
r s
H w w w
δ δ
− ≤ ≤ >

Caso 1: respuesta al impulso unidad simétrica ℎ ℎ = ℎ 𝑀𝑀 − 1 − 𝑛𝑛 y 𝑀𝑀 impar
21
En este caso, la respuesta en frecuencia real 𝐻𝐻𝑟𝑟 𝑤𝑤 es
Si hacemos 𝑘𝑘 =
𝑀𝑀−1
2
− 𝑛𝑛 y definimos un nuevo conjunto de parámetros del filtro 𝑎𝑎 𝑘𝑘 como
( )
1
, 0
2
1 1
2 , 1,2,....,
2 2
M
h k
a k
M M
h k k
 −
 
=
 

  
= 
− −
 
 − =
 
  

( ) ( )
3
2
0
1 1
2 Cos , Impar
2 2
M
r
n
M M
H w h h n w n M
−
=
− −
   
=
+ −
   
   
∑
( ) ( ) ( )
1
2
0
Cos
M
r
k
H w a k wk
−
=
= ∑
𝐻𝐻𝑟𝑟 𝑤𝑤 se reduce a la forma compacta

Funciones de respuesta en frecuencia reales para filtros FIR de fase lineal
22
Observe que las reordenaciones permiten expresar 𝐻𝐻𝑟𝑟 𝑤𝑤 en los cuatro tipos de filtros FIR
como: 𝐻𝐻𝑟𝑟 𝑤𝑤 = 𝑄𝑄 𝑤𝑤 𝑃𝑃 𝑤𝑤
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
2
0
1
2
0
3
2
0
Caso Tipo de filtro
1 1 , impar 1 Cos
2 1 , par Cos Cos
2
3 1 , impar Sin Cos
4 1
M
k
M
k
M
k
Q w P w
h n h M n M a k wk
w
h n h M n M b k wk
h n h M n M w c k wk
h n h M
−
=
−
=
−
=
= − −
 
= − −  
 
=− − −
=
− −
∑
∑
∑


( ) ( ) ( )
1
2
0
, par Sin Cos
2
M
k
w
n M d k wk
−
=
 
−  
 
∑ 

Además de 𝐻𝐻𝑟𝑟 𝑤𝑤 , también definimos la respuesta en frecuencia real deseada 𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑤𝑤 y la
función de ponderación 𝑊𝑊 𝑤𝑤 para el error de la aproximación. Esta ultima permite
seleccionar el tamaño relativo de los errores en la banda de paso y en la banda eliminada.
23
( )
2
1
, en la banda de paso
1, en la banda eliminada
w
W w
w
δ
δ


= 


Ahora podemos definir el error de aproximación ponderado como
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
dr r
dr
E w W w H w H w
H w
E w W w Q w P w
Q w
= −
 
 
 
= −
 
 
Haciendo �
𝑊𝑊 𝑤𝑤 = 𝑊𝑊 𝑤𝑤 𝑄𝑄 𝑤𝑤 y �
𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑤𝑤 =
𝐻𝐻𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑤𝑤
𝑄𝑄 𝑤𝑤
( ) ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ
dr
E w W w H w P w
 
= −
 

i.e. Diseñe un filtro pasa bajo de longitud 𝑀𝑀 = 61 con una frecuencia de corte en la banda de
paso de 𝑓𝑓𝑝𝑝 = 0.1 y una frecuencia de corte en la banda eliminada 𝑓𝑓𝑠𝑠 = 0.15
24
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Frecuencia normalizada ( rad/muestra
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Magnitud
Modulo de magnitud |H(w)|
Respeusta deseada - |Hdr(w)|
Respuesta real - |Hr(w)|
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Frecuencia normalizada ( rad/muestra)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Magnitud
(db)
Modulo de magnitud |Hr(w)|

i.e. Aumente el orden del filtro pasa bajo a una longitud 𝑀𝑀 = 101
25
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
h(n)
Respuesta al impulso unitario
0 10 20 30 40 50 60
n
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Magnitud
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-150
-100
-50
0
50
Magnitud
(db)

i.e. Diseñe un filtro pasa banda de longitud 𝑀𝑀 = 32 con una frecuencia de corte en la banda de
paso de 𝑓𝑓𝑝𝑝1 = 0.2 y 𝑓𝑓𝑝𝑝2 = 0.35 y frecuencias de corte de la banda eliminada 𝑓𝑓𝑠𝑠1 = 0.1 y 𝑓𝑓𝑠𝑠2 =
0.425
26
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Magnitud
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Magnitud
(db)

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