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Expresiones Algebraica
- 1. República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial (Andrés Eloy Blanco) Estudiante: Luis José González Uranga C.I:30.615.927
- 2. En álgebra la suma es una de las operaciones más importante y la más básica, sirve para sumar Monomios, Binomios, Trinomios y Polinomios. La suma algebraica sirve para sumar el valor de dos o más expresiones algebraicas. Como se trata de expresiones que están compuestas por términos numéricos y literales, y con exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas: La suma de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio. Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4x, el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin exponente). En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x: A) 2x + 4x = (2+4)x = 6x Ojo no se les olvide que para poder sumar los dos términos tienen que ser iguales(Ya sea x, y o z) aquí tendrán más ejemplos: a) Sumar 12x ; 5x= 12x+5x = 17x
- 3. Cuando las expresiones tienen signos diferentes, se respeta el signo. Si es necesario, escribimos la expresión entre paréntesis: (–2x) + 4x; 4x + (–2x). Aplicando la ley de los signos, al sumar una expresión conserva su signo, positivo o negativo: 4x + (–2x) = 4x – 2x = 2x En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la suma algebraica es un polinomio, formado por los dos sumandos. Para distinguir la suma de su resultado, podemos escribir los sumandos entre paréntesis: (4x) + (3y) = 4x + 3y (a) + (2a2 ) + (3b) = a + 2a2 + 3b (3m) + (–6n) = 3m – 6n Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos: Sumaremos 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 con c + 6b2 –3a + 5b 1. Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el signo de cada término: 4a +3a2 + 6b – 8b2 –3a + 5b + 6b2 + c 2. Agrupamos las sumas de los términos comunes: [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2 ] + c 3. Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser suma, cata término del polinomio conserva su signo en el resultado: [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2 ] + c = a + 3a2 + 11b – 2b2 + c
- 4. a) (3x) + (4x) = 7x b) (–3x) + (4x) = x c) (3x) + (–4x) = –x d) (–3x) + (–4x) = –7x a) (–2x) + (2x2) = –2x + 2x2 b) (2x) + (–2x2) = 2x – 2x2 a) (–3m) + (4m2) + (4n) = –3m + 4m2 + 4n b) (–3m) + (–4m2) + (4n) = –3m – 4m2 + 4n a) (2b2 + 4c + 3a3) + (5a + 3b + c2) = 5a + 3a3 + 3b + 2b2 + 4c + c2 b) (–2b2 + 4c + 3a3) + (5a + 3b – c2) = 5a + 3a3 + 3b – 2b2 + 4c – c2 d) (–4x2 + 6y + 3y2) + (x + 3 x2 + y2) = x – x2 + 6y + 4y2 e) (4x2 + 6y + 3y2) + (x – 3 x2 + y2) = x + x2 + 6y + 4y2
- 5. La resta algebraica es una de las operaciones fundamentales en el estudio del álgebra. Sirve para restar monomios y polinomios. Con la resta algebraica sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. Por ser expresiones que están compuestas por términos numéricos, literales, y exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas: La resta de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio. Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2x – 4x, el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, 1, o sea, sin exponente). Restaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x: 2x – 4x = (2 – 4)x = –2x Cuando las expresiones tienen signos diferentes, el signo del factor que restamos cambiará, aplicando la ley de los signos: al restar una expresión, si tiene signo negativo, cambiará a positivo, y si tiene signo positivo, cambiará a negativo. Para no tener confusión, escribimos los números con signo negativo, o incluso todas las expresiones, entre paréntesis: (4x) – (–2x).: (4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x. Debemos recordar además, que en la resta, el orden de los factores se debe de tener en cuenta: (4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x. (–2x) – (4x) = –2x – 4x = –6x.
- 6. En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la resta algebraica es un polinomio, formado por el minuendo, menos el sustraendo. Para distinguir la resta de su resultado, escribimos minuendo y sustraendo entre paréntesis: (4x) – (3y) = 4x – 3y (a) – (2a2 ) – (3b) = a – 2a2 – 3b (3m) – (–6n) = 3m + 6n Cuando en la resta hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas literales y del mismo grado, se restan entre sí, y se escribe la resta con los demás términos: (2a) – (–6b2 ) – (–3a2 ) – (–4b2 ) – (7a) – (9a2 )= [(2a) – (7a)] – [(–3a2 ) – (9a2 )] – [(–6b2 ) – (–4b2 )] = [–5a]–[ –10b2 ]–[ –6a2 ] = –5a + 12a2 +2b2 Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los términos con diferentes literales y exponentes que conforman el polinomio. Para restar dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos: Restaremos c + 6b2 –3a + 5b de 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 1. Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el signo de cada término: 4a +3a2 + 6b – 8b2 –3a + 5b + 6b2 + c 2. Agrupamos las restas de los términos comunes, en el orden minuendo–sustraendo: [(4a) –(–3a)] + 3a2 + [(6b) – (5b)] + [(– 8b2 ) – (6b2 )] – c 3. Efectuamos las restas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser resta, los términos del sustraendo cambian de signo: [4a + 3a] + 3a2 + [6b – 5b] + [– 8b2 – 6b2 ] – c = 7a + 3a2 + b – 14b2 – c Para comprender mejor el cambio de signos en la resta, podemos hacerla en forma
- 7. vertical, colocando el minuendo en la parte de arriba, y el sustraendo en la parte de abajo: Como estamos realizando una resta, los signos del sustraendo cambiarán, por lo que si lo expresamos como una suma en la que todos los signos del sustraendo se invierten, entonces quedará así y resolvemos: a) (3x) – (4x) = –x b) (–3x) – (4x) = –7x c) (3x) – (–4x) = 7x d) (2x) – (–2x2) = 2x + 2x2 e) (–2x) – (–2x2) = –2x + 2x2 f) (–3m) – (4m2) – (4n) = –3m – 4m2 – 4n g) (–3m) – (–4m2) + (4n) = –3m + 4m2 + 4n El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las variables de la de dicha expresión por valores concretos y completar las operaciones. Una misma expresión algebraica puede tener muchos valores numéricos diferentes, en función del número que se asigne a cada una de las variables de la misma.
- 8. A) Por ejemplo: 5 a-2 donde a=3 Sustituimos el valor de a en la expresión y decimos 5*3- 2, es decir 15-2 = 13 Entonces decimos que 13 es el valor numérico de esa expresión algebraica cuando a = 3. B) Ahora bien, si a valiera -5, tendríamos que cambiar la a por el valor dado, es decir 5(- 5)-2. ¡OJO! En esta ocasión colocamos el valor entre paréntesis, dado que es negativo y así evitamos confusiones. Finalmente, esta operación sería igual a -27 C) Las variables también pueden tomar valores en forma de fracción como a= 1/2 Veamos, cuando a= 1/2 sustituimos el valor de a en la expresión, diciendo (5(½))-2 y efectuamos las operaciones indicadas. Tal como sabemos, las operaciones se resuelven según la jerarquía de las operaciones. Es por eso que en este caso primero resolveremos la multiplicación y luego la sustracción, dando como resultado (5(½))-2=½ Para multiplicar y dividir las expresiones algebraicas se utilizan las leyes de los signos para todas y cada una de las multiplicaciones y divisiones. La multiplicación entre expresiones es independiente de la existencia de términos semejantes, esto solo es aplicable cuando tratamos con la suma y resta algebraica La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en otras palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamada multiplicando y multiplicador. A continuación se muestra diferentes casos para comprender de mejor manera la multiplicación de monomios.
- 9. Multiplicar 3a2 por 6a4 . Se multiplican los coeficientes (+3)(+6) = +18 y a continuación se hace la multiplicación de las letras (a2 )(a4 ) = a2 + 4 = a6 , por lo tanto, el resultado será: (3a2 )(6a4 ) = 18a6 Multiplicar 3ab por 3b2 c. Se multiplican los coeficientes (+3)(+3) = +9 y a continuación, se hace la multiplicación de las letras (ab)(b2 c) = ab(1 + 2) c= ab3 c, por lo tanto, el resultado será: (3ab)(3b2 c) = 9ab3 c Multiplicar 3a(z + 2) bz por 2a3z b(z – 2) . Se multiplican los coeficientes (+3)(+2) = +6 y a continuación se hace la multiplicación de las letras (a(z + 2) bz )(a3z b(z – 2) )= a(z + 2 + 3z) b(z + z – 2) = a(4z + 2) b(2z – 2) , por lo tanto, el resultado será: (3a(z + 2) bz )(2a3z b(z – 2) ) = 6a(4z + 2) b(2z – 2)
- 10. En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética. Se aplica ley de signos Se multiplica el dividendo del primer termino por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada) Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético. Ejemplos: Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones. Pasos: Colocamos el monomio como denominador de él polinomio. Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio. Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior. Se realizan las sumas y restas necesarias. Ejemplos: Ejemplo:
- 11. En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan. El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor. Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo. El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor. Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor. Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división. La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial. Ejemplos:
- 12. Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares, cumplen ciertas reglas fijas; es decir, el su resultado puede se escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación. 1. Cuadrado de una suma de dos términos o cantidades. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. Cuadrado de una diferencia de dos términos o cantidades (a – b)2 = a2 − 2ab + b2 3. Producto de una suma de dos términos por su diferencia. (a) + b)( a − b )= a2 – b2 4. Producto de dos binomios que tienen un término en común. ( a + m)( a − m) = a2 + ( m + n)a + mn 5. Producto de dos binomios de la forma: ( ax + c)(bx − d ) ( ax + c)(bx − d ) = abx2 + ( ad + bc) x + cd 6. Cubo de un binomio. (a + b )3 = a + 3a2 b + 3ab2 + b (a – b)3 = a – 3a3 b + 3ab2 – b Producto notable Expresión algebraica Nombre (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo a2 - b2 = (a + b) (a – b) Diferencia de cuadrados a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado
- 13. Factorización: es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores. • Factorización por factor común: se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el F.C. CASO I: Factor común monomio: 1. Descomponer en factores a2 + 2a a 2 y 2a contienen el factor común a . Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes obtenidos de dividir a 2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 y tendremos: a 2 + 2a = a(a + 2) 2. Descomponer 10b - 30ab Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos el 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b, porque está en los dos términos de la expresión da-da, y la tomamos con su menor exponente b. El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis dentro del cual ponemos los cocientes de dividir 10b ÷ 10b = 1 y - 30ab 2 ÷ 10b = - 3ab, y tendremos: 10b - 3ab 2 = 10b(1 - 3ab) CASO II: Factor común polinomio: 1.Descomponer x (a + b) + m (a + b) Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a + b), por lo que ponemos (a + b) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b), o sea: 2. Descomponer 2x (a - 1) - y (a - 1) El factor común es (a- 1), por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a - 1), con lo que tenemos: