Modelos de Apoio à Decisão_ Exercicos_Relatório 1

Mestrado em Planeamento e Operação de Transportes
MODELOS DE APOIO À DECISÃO
TRABALHO 1
GRUPO 1
DuarteAmorimdaCunha -Nº 50982
João Vieira - Nº 47104
LuísNeto - Nº 74776
Rui Couchinho -Nº 76756
2º Semestre2012/2013

IST - MPOT MODELOS DE APOIO À DECISÃO – 1º TRABALHO
1
1 Índice
1 ÍNDICE 1
2 INTRODUÇÃO 2
3 RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 3
3.1 Exercício 1 3
3.1.1 Resposta à alínea a 3
3.1.2 Resposta à alínea b 4
3.2 Exercício 2 6
3.2.3 Resposta à alínea c 9
3.2.4 Resposta à alínea d 11
3.2.5 Resposta à alínea e 12
3.3 Exercício 3 13
3.3.3 Resposta às alíneas c e d 14
3.3.4 Resposta à alínea d) 16
3.4 Exercício 4 17
4 VANTAGENS E DESVANTAGENS DO SOFTWARE UTILIZADO 20

2
2 Introdução
O estudo da tomada de decisão é um dilema complexo, requerendo uma análise detalhada que
depende muito da sofisticação do problema e da incerteza gerada nos agentes envolvidos na decisão –
“decisionmakers”.
Esse estudo comummente designada por Análise de Decisão, pode ser definida como uma
técnica ou metodologia e a sua aplicação, apoiada num a robusta base teórica e que visa melhorar a
tomada de decisão de entidades ou organizações em circunstâncias diversas. E permite também
avaliação de opções; afectação de recursos; decisões em grupo; negociação e diversos objectivos que
envolvam incertezae risco.
Deste modo este método permite auxiliar um processo de consultadoria de análise de decisão,
estruturando e simplificandoaempreitadadatomade decisõesintrincadas.
O recurso a ferramentas tecnológicas – software desenhado com esse propósito - possibilita
umasimplificaçãoeumaajudamuitorobustanosvários temascomplexosedecisõessequenciais.
Neste trabalho recorreu-se a software – Precision Tree e @Risk, que “correm” na plataforma da
Microsoft na aplicação Excel, com todas as vantagens inerentes, pois permite mapear visualmente,
organizar e analisar as decisões, usando árvores de decisão que ajudam a identificar e a calcular o valor
de todas as alternativaspossíveis.
Assim, este trabalhoconsistiunaabordagemeresoluçãode4 problemaspropostos:
No primeiro exercício é pedido a construção de um diagrama de influência e uma árvore de
decisão, o que se pretende neste exercício é verificar todos os percursos possíveis que o decisor tem que
efectuar, incluindo todas as alternativas de decisão, bem como analisar os resultados das ocorrências
incertas.
No segundo exercício, com resolução idêntica ao anterior, tratando-se duma análise decisão,
sendonecessárioaconstruçãodediagramasdeinfluênciaeárvore dedecisão.
A diferença reside no facto de neste problema dispormos de informação sobre as probabilidades
de ocorrênciadosacasoseser pedido decriação deperfilderisco.
No terceiro exercício foi usado o método da Simulação de Monte Carlo para verificar qual o
processodefabricomaiseficiente.
No quarto exercício foi utilizado o método de lotarias de referência para obter uma distribuição
de probabilidades a partir dos inputs dum decisor. Foi também usado o método de Pearson-Tukey para
criarumaaproximaçãodiscretaparaadistribuiçãodeprobabilidadecontínuaencontrada.

3
3 Resolução de Exercícios
3.1 Exercício 1
Este exercíciofoiresolvidono ficheiroExcel“Exercicio1.xlsx”.
3.1.1 Resposta à alínea a
Perante um problema de decisão, é pedido que se analise qual a dificuldade que um membro do
Congresso dos EUAteria sobre a decisão de voto de um projecto-lei apresentado ao Congresso relativo a
um investimentoem investigação.
Assim, inicialmente existe um factor externo, opinião de especialistas, que irá criar uma incerteza
na votação do projecto-lei e na própria decisão de votar a favor ou contra o mesmo. As incertezas que o
decisor tem perante esta votação serão o resultado da votação, o sucesso ou não da experiência da
fusão a frio e a possível existência de outros investidores externos ao processo de votação. Estes
investidores representam outras entidades que poderão ter interesse em desenvolver a fusão a frio para
benefíciopróprio àparte.
O resultado deste processo, ou a consequência, será ter uma nova fonte de energia disponível,
financiada pelo governo, onde este beneficiará das suas vantagens, ou financiada por outra entidade,
ondeserá maisdispendioso teracessoàmesma.
Assim, criou-seo seguintediagramadeinfluência:
Figura 1 Diagrama de Influência Processo de Decisão do Congressista
A árvore de decisão criada para neste modelo está apresentada na Figura 2. A árvore
apresentada oculta algumas ramificações, uma vez que são replicação das anteriores. (Para consulta da
árvore completa,vejaficheirodoexercício).
Nova Fonte Disponivel
Opinião Especialistas
Votar Projecto-Lei
Votação Projecto-Lei Fusão a Frio
Outros Investidores

4
Figura 2 Árvorede Decisão
Relativamenteaosresultadospossíveis, estes estão descritosna Tabela 1:
Tabela 1 Resultados Possíveis do Modelo
Perante estas combinações dos resultados das incertezas, o membro do congresso vê a parte
da decisãodele,asua votação, noprocessofinal.
3.1.2 Resposta à alínea b
Em seguida somos colocados perante um outro problema. Com o anúncio da investigação, um
novo componenteénecessárioparaoprocesso.
Assim, vamos analisar o problema do ponto de vista do especulador, que terá interesse em
investir em paládio na sequência do anúncio, uma vez que se a investigação for avante e o fusão a frio
funcionar,poderáobtergrandeslucros.
A nova decisão de investimento será também precedida de um nó de acaso, pois mantem-se a
incerteza na opinião dos especialistas.Tal opinião irá influenciar a aprovação do Projecto-Lei. E essa será
influente na decisão de investimento deste especulador. Após tomada da decisão a sua consequência
será a obtençãodelucroounão.
Obviamente que a aprovação do projecto-lei continua a ter influência sobre o processo de fusão
a frio, implicandoaobtençãodolucrodesejadoounão.
50,0% 6,25%
0 0
50,0% Fusão a Frio
0 0
50,0% 6,25%
0 0
50,0% Resultado Votação
0 0
50,0% Fusão a Frio
0 0
VERDADEIRO Outros Investidores
0 0
0 0
50,0% Votar Projecto-Lei
0 0
FALSO Outros Investidores
0 0
0
50,0% Votar Projecto-Lei
0 0
Nova Fonte deEnergia
Funciona
A favor
Investem
Aprovado
Funciona
Não Funciona
Chumbado
Não Investem
Contra
Não Funciona
+
+
+
+
Opinião Especialistas Votação Projecto-Lei Fusão a Frio Outros Investidores Nova Fonte Disponível
sim sim sim sim sim, patentes divididas e especialistas certos
sim sim sim não sim, patente nossa e especialista certos
sim sim não sim não, $ perdido por ambos e especialistas certos
sim sim não não não, $ perdido nosso e especialista certos
sim não sim sim sim, patente outros, oportunidade perdida nossa e especialistas certos
sim não sim não sim, oportunidade perdida por ambos e especialistas certos
sim não não sim não, $ perdido outros e especialistas certos
sim não não não não e especialistas certos
não sim sim sim sim, patentes divididas e especialistas errados
não sim sim não sim, patente nossa, oportunidade perdida outros e especialistas errados
não sim não sim não, $ perdido por ambos e especialistas errados
não sim não não não, $ perdido nosso e especialista errados
não não sim sim sim, oportuinidade perdida nossa e patente outros e especialistas errados
não não sim não sim, oportunidade perdida ambos e especialistas errados
não não não sim não, $ perdido outros e especialistas errados
não não não não não e especialistas errados

5
Assim, para este modelo criou-se o seguinte diagrama de influência (Figura 3) e árvore de
decisão(Figura 4):
Figura 3 Diagrama de Influência da Decisão do Especulador
Figura 4 Arvorede Decisão do Especulador
Em relação aos resultados possíveis do investimento ou não do especulador, estes são
apresentados na Tabela 2. Neste caso, o especulador terá como objectivo o lucro proveniente do
investimento no paládio, sendo que terá lucro no caso do projecto-lei ser aprovado e maior se a fusão a
frio funcionar e for implementada. Caso invista e a fusão a frio não funcione, terá prejuízo. Pode também
optar por não investir, onde não terá lucro ou prejuízo, mas poderá ser uma perda de oportunidade, caso
a fusão a frio funcione.
As variáveis de incerteza são as mesmas do congressista, mas poderá ser mais vantajoso
esperar pelo resultado da votação antes de decidir se investe ou não, uma vez que a votação terá
influêncianaexistênciadocentrodeinvestigação.
Lucro
Investir
AprovaçãoProjecto-Lei
Fusão a Frio
Outros Investem
50,0% 6,25%
0 0
50,0% Fusão a Frio
0 0
50,0% 6,25%
0 0
0 0
50,0% Fusão a Frio
0 0
VERDADEIRO Outros Investidores
0 0
0 0
50,0% Investir
0 0
FALSO Outros Investidores
0 0
0
50,0% Investir
0 0
New Tree
Funciona
Sim
Investem
Aprovado
Funciona
Não Funciona
Chumbado
Não Investem
Não
Não Funciona
+
+
+
+

6
Tabela 2 Resultados Especulador
3.2 Exercício 2
O exercício2foiresolvido no ficheiroExcel“Exercicio2.xlsx”utilizandoo software PrecisionTree.
Nesta alíneaé pedidoparacriaro diagramadeinfluênciasparaoproblemadaempresaPE.
O diagrama foi criado apresentando como nó de payoff o lucro esperado consoante a escolha de
um dos três produtos (A, B e C). Como decisões, temos uma primeira decisão que consiste em escolher
qual dos três produtos será produzido. Caso se venha a escolher o produto A teremos que ficar à espera
da resolução de uma incerteza, representada pela resolução do contratempo indicado pela divisão de
engenharia,paraem seguidasedecidirseo produtoA é lançadocom preçoAlto ouBaixo.
Outras incertezas que influenciam o payoff, dizem respeito à quantidade de vendas do produto A
e do produtoB.
Opinião Especialistas Investir? Votação Projecto-Lei Fusão a Frio Outros Investidores Resultado
sim sim sim sim sim Lucro partilhado com outros investidores.
sim sim sim sim não Lucro máximo
sim sim sim não sim Prejuízo
sim sim sim não não Prejuízo
sim sim não sim sim Lucro
sim sim não sim não Lucro máximo
sim sim não não sim Prejuízo
sim sim não não não Prejuízo
não sim sim sim sim Lucro partilhado com outros investidores.
não sim sim sim não Lucro máximo
não sim sim não sim Prejuízo
não sim sim não não Prejuízo
não sim não sim sim Lucro
não sim não sim não Lucro máximo
não sim não não sim Prejuízo
não sim não não não Prejuízo
Não há qualquer lucro ou prejuízo, poderá
haver uma perda de oportunidade caso a
fusão a frio funcione
N/AN/AN/AnãoN/A

7
Figura 5 Diagrama de Influência Processo Decisão
Por sua vez a incerteza das vendas do produto A, vai ser influenciada pela incerteza no atraso
do produtoA e peladecisãodopreçodevenda, Alto ouBaixo.
Os nósde decisãoforam configuradoscomoseapresentanastabelasseguintes.
Tabela 3 Configuração Nó Decisão Qual Produto?
Tabela 4 Configuração Nó Decisão Preço Produto A
As probabilidades de ocorrência na incerteza do atraso do Produto A foram definidas como
especificadona
Tabela 5.
Para a Incerteza da quantidade de Vendas do Produto A, as probabilidades de ocorrências
foram definidasna Tabela 6.
Tabela 5 Probabilidades Incerteza Atraso Produto A
Qual Produto?
A
B
C
Preço Prod A Atraso Produto A
Alto Atraso
Baixo Atraso
Alto Sem atraso
Baixo Sem atraso

8
Tabela 6 Probabilidades Incerteza Vendas Produto A
As probabilidadesdaquantidadedevendasdoProduto B foram definidasna Tabela7
Tabela 7 Probabilidades Incerteza Vendas Produto B
A tabela completa do nó de consequência foi definida na Tabela 8. Esta tabela, no software, foi
introduzida com uma repetição dos campos que se indicam na mesma, uma vez que não se utilizaram as
funcionalidades completas do software para diagramas de influência, como arcos de influência de
estrutura, que evitariam a multiplicação de payoffs (sob indicação do Sr. Professor João Lourenço). Ou
seja, dando o exemplo da escolha do produto C, foram introduzidos mais campos com as combinações
possíveis entre as incertezas das vendas dos Produtos A e B e a escolha de preço do produto A (optou-
se por não apresentar as mesmas por poupança de espaço neste relatório, para a tabela completa,
consultarficheirodoexercício).
Tabela 8 Tabela de Payoff (N/A – Não aplicável)
Atraso Produto A Probabilidade
Atraso 5%
Sem atraso 95%
Vendas Produto A Probabilidade Preço Prod A Atraso Produto A
Vendas Elevadas 30% Alto Atraso
Vendas Reduzidas 70% Alto Atraso
Vendas Elevadas 50% Baixo Atraso
Vendas Reduzidas 50% Baixo Atraso
Vendas Elevadas 40% Alto Sem atraso
Vendas Reduzidas 60% Alto Sem atraso
Vendas Elevadas 50% Baixo Sem atraso
Vendas Reduzidas 50% Baixo Sem atraso
Vendas Produto B Probabilidade
Vendas Elevadas 38%
Vendas Moderadas 12%
Vendas Reduzidas 50%
Qual Produto? Value Vendas Produto B Vendas Produto A Preço Prod A Atraso Produto A
A 5000000 N/A Vendas Elevadas Alto Atraso
A 500000 N/A Vendas Reduzidas Alto Atraso
A 3500000 N/A Vendas Elevadas Baixo Atraso
A 1000000 N/A Vendas Reduzidas Baixo Atraso
A 8000000 N/A Vendas Elevadas Alto Sem atraso
A 0 N/A Vendas Reduzidas Alto Sem atraso
A 4500000 N/A Vendas Elevadas Baixo Sem atraso
A 1500000 N/A Vendas Reduzidas Baixo Sem atraso
B 8000000 Vendas Elevadas N/A N/A N/A
B 4000000 Vendas Moderadas N/A N/A N/A
B 0 Vendas Reduzidas N/A N/A N/A
C 1000000 N/A N/A N/A N/A

9
Com esta configuração, o software apresentou os resultados da Tabela 9. Analisando os
mesmos, verifica-se que o Valor Monetário Esperado é de €3.520.000, mas com um desvio padrão muito
elevado (€3.721.505),dadas as incertezasdo modeloeum máximode€8.000.000 emínimo €0.
Tabela 9 Resultado Diagrama de Influência
Criando a árvore de decisão para a empresa PE, a escolha do produto a produzir deverá cair no
ProdutoB, sendoo VEM €3.520.000,comosepodever na Figura 6 (Ficheiro“Exercício2.xlsx”,folhab).
3.2.3 Resposta à alínea c
Verificando o gráfico de probabilidades para a árvore de decisão criada (Gráfico 1), verifica-se
que o Produto C é omais “seguro”, sendo garantidas as vendas no valor de €1.000.000. Já os Produtos A
e B, são mais incertos, ambos com 50% ou mais probabilidade de originarem vendas com lucro nulo e
sendoo Produto B aquelequeapresentamaiorprobabilidadedegerarlucrosmaiores.
Figura 6 Árvorede Decisão Empresa PEalínea a
Expected Value 3520000
Std. Deviation 3721505,072
Minimum 0
Maximum 8000000
Lucro
30,0% 0,0%
5000000 5000000
FALSO Vendas Produto A
0 1850000
70,0% 0,0%
500000 500000
5,0% Preço Produto A
0 2250000
50,0% 0,0%
3500000 3500000
VERDADEIRO Vendas Produto A
0 2250000
50,0% 0,0%
1000000 1000000
FALSO Resolução Problema
3152500
40,0% 0,0%
8000000 8000000
VERDADEIRO Vendas Produto A
0 3200000
60,0% 0,0%
0 0
95,0% Preço Produto A
0 3200000
50,0% 0,0%
4500000 4500000
FALSO Vendas Produto A
0 3000000
50,0% 0,0%
1500000 1500000
Produto
3520000
38,0% 38,0%
8000000 8000000
VERDADEIRO Vendas B
0 3520000
12,0% 12,0%
4000000 4000000
50,0% 50,0%
0 0
FALSO 0,0%
1000000 1000000
Escolha Produto
Produto C
Produto B
Vendas Elevadas
Vendas Moderadas
Vendas Baixas
Produto A
Atraso Grande
Alto
Vendas Altas
Vendas Baixas
Baixo
Vendas Altas
Vendas Baixas
Sem Atraso
Alto
Vendas Altas
Vendas Baixas
Baixo
Vendas Altas
Vendas Baixas

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Gráfico 1 Probabilidades para Árvore de Decisão Escolha Produto
Gráfico 2 Probabilidade cumulativa
Como se pode verificar no gráfico de probabilidade cumulativa (Gráfico 2 ), o Produto B
apresenta dominância estocástica de primeira ordem sobre o Produto A, ou seja, tem maior valor de
utilidade esperada. O Produto B apresenta, por sua vez, dominância estocástica de segunda ordem sobre
o produto C. Isto porque entre os valores €0 e €1.000.000, o Produto C é o dominante e entre €1.000.000

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e €8.000.000 o Produto B é o dominante, mas como a área no segundo caso é maior, é o Produto B o
dominanteestocásticodesegunda ordem.
Tabela 10 Tabela Sumário
Analisando a tabela sumário, verifica-se que o Produto B é o que apresenta o valor médio mais
elevado, ligeiramentesuperioraodoProduto A, e um desvio padrãoligeiramenteinferioraoProdutoA.
Alterando a árvore de decisão de forma a calcular o VEIP para o evento incerto, transfere-se
este evento incerto para antes da tomada de decisão, de forma a simular a mesma após o
acontecimento.
Tabela 11 VEIP
Obtiveram-se os valores apresentados na Tabela 11, de onde se deduzque não há diferença em
saber se há atraso no Produto A, ou saber as Vendas do Produto A caso haja atraso e se defina o preço
alto, uma vez que o VEIP é nulo. Já para saber o valor de Vendas do Produto B e do Produto A sem
atraso e com preço alto, o VEIP já é considerável, pelo que poderá ser produtivo saber os mesmos antes
de se tomar a decisão. Em relação às Vendas do Produto A com preço baixo, o valor de VEIP é mais
baixo que nos casos anteriores, pelo que não será tão produtivo saber o acontecimento antes de se
tomara decisão.
3.2.4 Resposta à alínea d
Alterando as probabilidades de acordo com a avaliação do gestor, o novo VEM é de €3.600.000,
ligeiramente superior ao anterior. No entanto, criando perfis de risco para a nova árvore, verifica-se que a
incerteza do modelo aumentou, uma vez que o Produto B deixou de ter dominância estocástica de
primeiraordem sobreoProdutoA, passandoa ser desegundaordem (verifica-senoGráfico3).
Statistics Produto A Produto B Produto C
Mean 3152500 3520000 1000000
Minimum 0 0 1000000
Maximum 8000000 8000000 1000000
Mode 0 0 1000000
Std. Deviation 3835752,045 3721505,072 0
Skewness 0,4461 0,2401 N/A
Kurtosis 1,2318 1,1983 N/A
Vendas Produto B Atraso Produto A
Vendas Produto A
com atraso e preço
alto
Vendas Produto A
sem atraso e preço
alto
Vendas Produto A
com preço baixo
VEM 3520000 3520000 3520000 3520000 3520000
5096250 3520000 3520000 5197000 3985000
VEIP 1576250 0 0 1677000 465000

12
Assim sendo, o gestor poderá discutir as probabilidades de Vendas do Produto B, uma vez que a
alteraçãodestaspoderáinfluenciaradecisãoatomar.
3.2.5 Resposta à alínea e
Realizando uma análise de sensibilidade do modelo ao evento Vendas do Produto B, em que se
varia a probabilidade das vendas serem reduzidas, verifica-se que caso a probabilidade de Vendas
Reduzidasdo ProdutoB sejaacimade45%,passa a ser o ProdutoA a ser a escolhaacertada.
Gráfico 3 - Gráfico de Probabilidades Cumulativas
Como também sabemos, as vendas podem ter valores muito mais variados do que apenas
vendas reduzidas, moderadas ou elevadas, pelo que os valores da receita poderão não ter uma
distribuição discreta, mas contínua. Assim sendo, o “clarity test” poderia chumbar este modelo, dado que
os valores obtidospara cadaescolhapoderãoterum errogrande.
Para este teste ser positivo, os outcome das incertezas deveriam ser mais variados, ou seja,
com mais resultados, além de vendas altas ou baixas, podendo ser reflectidos em intervalos de número
de vendas, que resultariam em maishipótesesdereceitas.

13
Gráfico 4 Análise de Sensibilidade Variando Vendas Produto B
3.3 Exercício 3
O exercício consiste na análise de decisão entre dois processos demanufactura tendo em conta
uma máquina existente e o investimento numa máquina nova. Foi resolvido no ficheiro Excel “Exercicio
3.xlsx”
A consequência, o VAL, será influenciada pela decisão, que consiste em decidir manter a
mesma máquina ou investir na nova, e pelas incertezas da procura, falhas e custo variável. O valor final
da função VAL, também será influenciado pelos custos fixos anuais e pela existência, ou não, do
investimentona máquinanova.
Figura 7 Diagrama de Influência
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
4000000
4500000
25,0%
30,0%
35,0%
40,0%
45,0%
50,0%
55,0%
ExpectedValue
Branch Probability 'Vendas Baixas' of Node 'Vendas B' (C41)
Strategy Region of Decision Tree 'd) (2)'
Expected Value of Node 'Produto' (B34)
With Variation of Branch Probability 'Vendas Baixas' of Node 'Vendas B' (C41)
Produto A
Produto B
Produto C

14
A função VAL será composta por receitas e custos de operação, com a introdução da respectiva
taxa de juroanualde 10%.
A base será:
𝑉𝐴𝐿 = ∑
𝑅 𝑡 − 𝐶 𝑡
(1 + 𝑟) 𝑡
𝑇
𝑡=0
Onde t é o período de tempo em análise, Rt são as receitas provenientes da operação no
período t, Ct são os custosprovenientes daoperaçãonoperíodo t e r é a taxa de juroaplicada.
Assim, a funçãoVAL paraeste problemaé:
𝑉𝐴𝐿 = − 𝐶𝐼 + ∑
𝑃𝑉 × 𝐷𝑖 − (𝐶𝐹 + 𝑉𝑖 × 𝐷𝑖 + 𝑍𝑖 × 𝐶𝑅)
(1 + 10%)𝑖
2
𝑖=0
PV é o Preço de Venda, CF os custos fixos e CI o custo de investimento (no caso de compra da
máquinanovano Processo2).
3.3.3 Resposta às alíneas c e d
Tabela 12 Resultados Simulação
Analisando os resultados obtidos, verifica-se que o VAL para o Processo 2 apresenta uma média
superiorao Processo1tendo, no entanto,um desvio padrãosuperior,queindicaumamaior incerteza.
Já no que toca a Intervalo de Confiança a 90%, o Processo 2 apresenta valores mais elevados
do queo Processo1, comosepodever nos histogramas(Gráfico 5eGráfico6).
Média
Desvio Padrão
Máximo
Mínimo
I.C. 90% 3401,80 196674,10 10119,99 250747,25
Processo 1 Processo 2
103222,58
56638,91
-70372,94
246511,92
127084,76
73751,97
-76183,11
388454,16

15
Gráfico 5 Histograma Resultados Processo 1
Gráfico 6 Histograma Resultados Processo 2
Relativamente à probabilidade de cada processo dar um VAL negativo, obtiveram-se os valores
ilustrados nos histogramas (Gráfico 7 para o Processo 1 e Gráfico 8 para o Processo 2), sendo de 4,4%
parao Processo1 e 3,1% parao Processo2.

16
Gráfico 7 Histograma VAL Processo 1
Gráfico 8 Histograma VAL Processo 2
3.3.4 Resposta à alínea d)
Gráfico 9
O melhor processo para a ENE seria o Processo 2, uma vez que este apresenta vantagens
sobreo Processo1. Nomeadamente:

17
 Apresenta uma probabilidade de se obter um VAL negativo um pouco inferior ao
Processo1 (3,1%contra4,4%);
 O Intervalo de Confiançaa 90%apresentavalores superiores.
 Apesar do histograma apresentar maior achatamento (Gráfico 9), quando se verifica o
Diagrama de Probabilidades Acumuladas (Gráfico 10), o Processo 2 tem dominância
estocástica de 1ª ordem sobre o processo 1. Ou seja, o Processo 2 tem maior utilidade
esperada, o que significa que, para cada valor de VAL, o Processo 2 apresenta sempre
menorprobabilidadedeficarabaixodessevalor.
Gráfico 10 Diagrama de Probabilidades Acumuladas
3.4 Exercício 4
O exercício4foiresolvido no ficheiroExcel“Exercicio4.xlsx”.
Para estimar os percentis 5%, 25%, 50%, 75% e 95% para o valor do próximo jackpot do
Euromilhões,utilizou-seométododaslotariasde referência.
A partir de uma lotaria de referência em que se fixa o eixo horizontal da função de distribuição
cumulativa de probabilidade, é possível obter os percentis pretendidos. Os valores de probabilidades na
árvore de decisão são fixos para um dado percentil, variando-se o valor do jackpot do Euromilhões até
haver indiferençaporpartedo decisorentreas duaslotariasde referência.
Aprimeira questão a fazer será apurar qual o valor mínimo, o valor máximo e o valor da mediana
para o jackpot do Euromilhões. Estes valores serão usados posteriormente como pontos iniciais no
métododaslotariasde referência.

18
Figura 8 Árvorede Decisão utilizada na lotaria de referência
Por exemplo, para estimar o primeiro percentil (5%), fixa-se no ramo “Lotaria 2” o valor de 5% de
probabilidade de ganhar um prémio de 1000€. No ramo de cima, varia-se o valor do jackpot até o decisor
nãoencontrarvantagem em escolheraLotaria1 ou 2.
Após o interrogatório ao decisor, obtiveram-se os valores para os percentis apresentados na
Tabela 13.
Tabela 13 Percentis obtidos pelo Método
Com estes valores, criou-se o gráfico de probabilidades cumulativas (Gráfico 11 Probabilidades
CumulativasJackpot
Percentil Valor (M€)
0% 15
5% 30
25% 40
50% 50
75% 70
95% 100
100% 180

19
Gráfico 11 Probabilidades Cumulativas Jackpot
Com o método de Pearson-Tukey ampliado obtém-se um Valor Esperado de 55,55M€ para o
próximojackpotdoeuromilhões.
Tabela 14 Percentis e Probabilidade Acumulada Método Pearson-Tukey
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Probabilidadex<Valor
Valor do Jackpot (M€)
Percentil Valor (M€) P(Valor) Valor x P(Valor)
5% 30 0,185 5,55
50% 50 0,63 31,5
95% 100 0,185 18,5
E(Valor) 55,55

20
Recorrendo ao @RISK, resulta que a distribuição discreta ajustada aos valores indicados pelo
decisortem um Valor Esperadode 68,50M€.
Tabela 15 Resultado @Risk
Conclui-se que os diferentes métodos apresentam valores muito distintos. Isto deve-se ao facto
do Método Pearson-Tukey ser mais adequado para funções de distribuição simétricas, como se pode
verificaratravés dos valores de probabilidadesatribuídosaospercentis5%e95% (quesão idênticos).
4 Vantagens e Desvantagens do Software utilizado
O software PrecisionTools Suite da Palisade, onde estão incluídos o PrecisionTree e o @Risk,
utilizados na resolução dos exercícios propostos são uma ferramenta poderosa no apoio à análise de
decisão.
Apresenta um interface muito user-friendly, muito graças à sua integração no MS Excel,
notando-sealgumasligeirasdificuldadesem certospassosde selecçãodedados.
Outro problema que se verificou, foi o facto de o programa crashar algumas vezes, mas poderá
ser problema,nãodoprogramaem si,masdo próprioMSExcel.

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