Este documento presenta ejemplos de cómo aplicar fórmulas fundamentales de integración. Explica cómo integrar expresiones utilizando fórmulas como ∫ vn dv o ∫ dv/v y completando diferenciales. También muestra cómo completar trinomios cuadrados perfectos para aplicar la fórmula ∫ dv/√(v-a)2.

1. C Á LC UL O I NT E G R AL
Cuaderno de Apuntes
Aprendem@s
Sobre:
Fórmulas Fundamentales de
Integración
Ing. Miguel Angel Carrillo Valenzuela

2. C Á LC UL O I NT E G R AL
Fórmulas Fundamentales de Integración
Ejemplos de la utilización de las últimas fórmulas de integrales

x+2 dx
xx + 2x –3
=
 (x2 +2x –3)-1/ 2 (x+2) dx
Intentamos con una fórmula directa, como el
denominador tiene exponente diferente a 1, es ½,
colocamos el denominador como numerador con
signo negativo. La fórmula inicial será  vn dv.
n= -1/2
v= x2+2x-3
dv= 2x+2
Sobra
(x+2) dx
Como dv es diferente a sobra y la diferencia son
puras constantes, entonces se completa el
Completando el diferencial diferencial sobra, aquí se deben de sumar y/o
restar constantes, así como multiplicar y colocar el
inverso.
Sobra
dv
(x+2) dx
(2x + 2) dx
Sólo se van haciendo movimientos en sobra y al mismo tiempo en la
integral.
Integral
Se le pone ½ fuera de la integral
Sobra
Se multiplica por 2
2x+4
Se resta y suma 2
2x + 4 – 2 + 2
2x + 2
+2

½ ( x2+2x-3 )-1/2 (2x + 4) dx

½ ( x2+2x-3 )-1/2 (2x + 2 + 2) dx
Ya se puede observar el dv, en este momento se separan en dos integrales.
½
 ( x2+2x-3 )-1/2 (2x+2) dx
 (x2+2x-3)-1/ 2 dx
+ ½ (2)
Siempre la primera integral se resuelve con la fórmula directa que se intentó
al principio, en este caso  vn dv
n= -1/2
v= x2+2x-3
dv= 2x+2
Sobra = (2x+2) dx
La segunda integral se resuelve con una de las
últimas fórmulas de integración, pero antes hay
que completar el trinomio cuadrado perfecto para
que queden dos términos al cuadrado.
 dv
2
½ (x2 + 2x 1 – 3)1/2
½
½ (2)

dx
.
2
x +2x-3
x2 + 2x –3
x2+2x+1-3-1
2/2 = 12 =1 (x+1)2 4
= ln (a+v2-a2 )
 v 2 – a2
½ (2)

dx
.
2
(x + 1) – 4
v2= (x+1)2
v=x+1
a= 2
dv = dx
Sobra
dx
½( (x2 + 2x – 3)1/2) + ln (2+(x+1)2 – 4) + c
½
* 3-2x-x2 dx

3. C Á LC UL O I NT E G R AL
(22x-3) dx
Nota. En este tipo de problemas primero se intenta
con una de las dos fórmulas siguientes:
x +6x+13
 vn dv
v= x2+6x+13
dv= (2x+6) dx
Sobra= (2x-3)dx
o
 dv
v
Se completa sobra para que se parezca a la derivada.
Sobra= (2x-3)dx
2x – 3 + 9 – 9
(2x+6) – 9
22x+6
dx
x +6x+13
–9

Se colocarán dos integrales una completa y otra
con el número que se sumó o restó.
dx .
x2+6x+13
(x+3)2+4
Se completa el trinomio x2+6x+13
x2+6x + 9 + 13 – 9
6 /2 = 3 2 = 9
(x+3)2+4
2
2
2
2
v= x +6x+13
v = (x+3) a = 4
sobra = (2x+6) dx v= x+3
a =2
dv= (2x+6) dx
dv = dx
Sobra = dx
 (x+21)
ln (x2+6x+13) – 9(1/4 Ln( (x+3) – 2 )) + c
(x+3) + 2
dx
3x -4x+3
v= 3x2-4x+3
dv= (6x-4) dx
Sobra= (x-1)dx
Completando sobra (diferencial)
6(x-1)
6x – 6 + 2 – 2
(6x-4) – 2
Nuevas integrales
1/6-(6x-4) dx = 1/6 (2) dx
3x2-4x+3
3x2-4x+3
Fórmula directa Completar Trinomio
3x2 – 4x
+3
4 / 2 = ( 2 / 3 ) = 4 / 3
3x2 – 4x + 4/3 + 3 – 4/3
(3x –2/ 3)2+1.666
1/6 (Ln(3x2-4x+3) – 1/3 (1/2.581) ln ( 3x -2/3 ) – 1.290 + c
(3x +2/3) + 1.290