EJEMPLOS PRACTICOS

2. Es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas
toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann. Es una operación sobre
una función continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los
extremos de la integración. La operación consiste en hallar el límite de la suma de
productos entre el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo
conteniendo al punto. 1
*
0 a
( ) lim f( ) f( ) ,f( ) 0
bn
i i
x
i
A R x x x dx x



    

3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA: Áreas de Regiones Planas.
Se define como:

7. Áreas en Coordenadas Polares:
Consideremos la ecuación f ( ), con f continua y no negativa en el intervalo
. Para hallar el area de la región delimitada por la gráica f y por las rectas
radiales ,como se muesta en
r
y

  
   

 
 
0 1 2 1
la figura, se divide el intervalo ,
en n subintervalos iguales: ... n n
 
           
 
 
 
2
1 1
2
1
2
Se aproxima el área de la región por la suma de las áreas de los n sectores
radio del i- ésimo sector
1
( ) ( ). f ( )
2
1
lim( ). f ( )
2
1
( ) . f ( )
2
i
i i
i
n
i
n
A R
A
A R d


 

 
 
 
 
 




  
 
 

 



8. Consideremos la ecuación r f( ), con f continua y n
ÁREA EN COORDENADAS POLARES
o negativa en el intervalo
,0 2 , entonces el área de la región limitada (acotada) por la

     

    
   
2 2
gráica f( ) entre las rectas radiales está por:
1 1
A(R)= f( ) r
2 2
r y
d d
 
 
    
  
  
 

13. Determine el área limitada por las gráficas
2 2
3 yy x x y x x   
Solución: Intersectando ambos gráficos, hallando sus puntos de integración
( 2) 0
(x 0 2)
2 2
3
x x
x
x x x x
  

  
   
( )
2
3
2 2
2
3
0
16 8 2
8 2.67
3 3
2
2 2( 3 )
0
2
2( 2 4 )
0
A R
x
x
A u
x x x x dx
x x dx


 

   
    
  
 
 
 
2
[f ( ) ( )]
0
Sabemos: ( ) x g x dxA R 

14. Hallar el área que encierra la cardiode de ecuación: r 1 cos( )  Solución:
21 2(1 cos( ))
2 0
1 1 3 2
(2 .2 )
2 2 2
A(R) d
u

 

 
 
  

Haciendo su grafica con
el software libre
GEOGEBRA

15. Encuentre la longitud de arco de las siguientes curvas: ,
2
2 5x t  3
7 3y t  0 2t 
Solución:
:
2 2 2 2
Derivando x 10 ;
2 4 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
, reemplazando en la integral L= (10 ) (9 )
0
2 2 250 50 50 50 100
L= 100 81 ( ) ( ) (9 ) ( ) 9 (9 )
9 9 9 9 90 0 0
92 100
L= 3 (9 ) ,integrando por C. Variable:
90
' 't y t t t dt
t t dt t dt t t dt
u t
t t dt
   
          
 

3 2 3
100
9
18 3
6
2 22 1 1 100
L= (9 ) 31.81 .
6 9 9 90 00
du
du tdt dt
du
u u t u



   

           
( )
b
2 2[ ( )] [ ( )]
a
' 'L C x t y t dt 

16. Calcular el área encerrada por la circunferencia de ecuación polar r = 1, que se encuentra fuera
de la cardioide de ecuación polar r 1 cos( ) 
Solución: En primer lugar dibujamos la región para determinar los límites de integración.
2(2 ) 2
(2 ( ) (2 )
42 4 0
A(R)
sen
sen u

 


    

18. Hallar la longitud de arco de la cardioide Solución:r 1 cos( ) 
Graficamos la curva para determinar los limites de Integración, en
traza la curva una sola vez, en sentido contrario al de las manecillas del reloj,
conforme el ángulo va de 0 a 2pi.
( ; )P r 
1 cos( ) ( )
dr
r sen d
d
  

   
2 2 2 2
2 2
( ) ( ) (1 cos( )) ( ( ))
1 2cos( ) (cos( )) ( ( ))
2 2cos( )
dr
r sen
d
sen
 

  

 
 
  
  

2
0
2
2 2( ) ( ) 2 2cos( )
0
2 2
24 ( ) 2 ( )
2 20 0
4 ( ) 4 4 8 .
2
dr
L r d d
d
sen d sen d
sen u

 
  

  
 



    
   
   

19. Microsoft Teams
https://issuu.com/agarci28/docs/soluciones_ejer
cicios_de_integrales_definidas_area