1.
Es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas
toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann. Es una operación sobre
una función continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los
extremos de la integración. La operación consiste en hallar el límite de la suma de
productos entre el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo
conteniendo al punto. 1
*
0 a
( ) lim f( ) f( ) ,f( ) 0
bn
i i
x
i
A R x x x dx x



    

2.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA: Áreas de Regiones Planas.
Se define como:

3.
Áreas en Coordenadas Polares:
Consideremos la ecuación f ( ), con f continua y no negativa en el intervalo
. Para hallar el area de la región delimitada por la gráica f y por las rectas
radiales ,como se muesta en
r
y

  
   

 
 
0 1 2 1
la figura, se divide el intervalo ,
en n subintervalos iguales: ... n n
 
           
 
 
 
2
1 1
2
1
2
Se aproxima el área de la región por la suma de las áreas de los n sectores
radio del i- ésimo sector
1
( ) ( ). f ( )
2
1
lim( ). f ( )
2
1
( ) . f ( )
2
i
i i
i
n
i
n
A R
A
A R d


 

 
 
 
 
 




  
 
 

 



4.
Consideremos la ecuación r f( ), con f continua y n
ÁREA EN COORDENADAS POLARES
o negativa en el intervalo
,0 2 , entonces el área de la región limitada (acotada) por la

     

    
   
2 2
gráica f( ) entre las rectas radiales está por:
1 1
A(R)= f( ) r
2 2
r y
d d
 
 
    
  
  
 

5.
Determine el área limitada por las gráficas
2 2
3 yy x x y x x   
Solución: Intersectando ambos gráficos, hallando sus puntos de integración
( 2) 0
(x 0 2)
2 2
3
x x
x
x x x x
  

  
   
( )
2
3
2 2
2
3
0
16 8 2
8 2.67
3 3
2
2 2( 3 )
0
2
2( 2 4 )
0
A R
x
x
A u
x x x x dx
x x dx


 

   
    
  
 
 
 
2
[f ( ) ( )]
0
Sabemos: ( ) x g x dxA R 

6.
Hallar el área que encierra la cardiode de ecuación: r 1 cos( )  Solución:
21 2(1 cos( ))
2 0
1 1 3 2
(2 .2 )
2 2 2
A(R) d
u

 

 
 
  

Haciendo su grafica con
el software libre
GEOGEBRA

7.
Encuentre la longitud de arco de las siguientes curvas: ,
2
2 5x t  3
7 3y t  0 2t 
Solución:
:
2 2 2 2
Derivando x 10 ;
2 4 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
, reemplazando en la integral L= (10 ) (9 )
0
2 2 250 50 50 50 100
L= 100 81 ( ) ( ) (9 ) ( ) 9 (9 )
9 9 9 9 90 0 0
92 100
L= 3 (9 ) ,integrando por C. Variable:
90
' 't y t t t dt
t t dt t dt t t dt
u t
t t dt
   
          
 

3 2 3
100
9
18 3
6
2 22 1 1 100
L= (9 ) 31.81 .
6 9 9 90 00
du
du tdt dt
du
u u t u



   

           
( )
b
2 2[ ( )] [ ( )]
a
' 'L C x t y t dt 

8.
Calcular el área encerrada por la circunferencia de ecuación polar r = 1, que se encuentra fuera
de la cardioide de ecuación polar r 1 cos( ) 
Solución: En primer lugar dibujamos la región para determinar los límites de integración.
2(2 ) 2
(2 ( ) (2 )
42 4 0
A(R)
sen
sen u

 


    

9.
Hallar la longitud de arco de la cardioide Solución:r 1 cos( ) 
Graficamos la curva para determinar los limites de Integración, en
traza la curva una sola vez, en sentido contrario al de las manecillas del reloj,
conforme el ángulo va de 0 a 2pi.
( ; )P r 
1 cos( ) ( )
dr
r sen d
d
  

   
2 2 2 2
2 2
( ) ( ) (1 cos( )) ( ( ))
1 2cos( ) (cos( )) ( ( ))
2 2cos( )
dr
r sen
d
sen
 

  

 
 
  
  

2
0
2
2 2( ) ( ) 2 2cos( )
0
2 2
24 ( ) 2 ( )
2 20 0
4 ( ) 4 4 8 .
2
dr
L r d d
d
sen d sen d
sen u

 
  

  
 



    
   
   

10.
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cicios_de_integrales_definidas_area