EJEMPLOS SOBRE VOLUMENES

1. https://www.canva.com/design/DAEMamJSjqA/W6csQ9DcPf4wdQYYkNK7SA/edit

2. https://www.geogebra.org/classic/gDDvkMAm

5. 2 2
( ). Volumen del discoV R r h 
2 2 3
a
( [f( )) ( ( )) ] )
b
V x g x dx u 

6. a) Método de la Corteza cilíndrica
3
a
2 x[f ( )] )
b
V x dx u 

7. https://www.geogebra.org/classic/gDDvkMAmInteractivo superficies de rotación
https://www.canva.com/design/DAEMamJSjqA/W6csQ9DcPf4wdQYYkNK7SA/edit

8. 32 3
u
3
(V r sen(θ)d )




 
Volumen en COORDENADAS POLARES
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al
girar la curva: r=a.cos²(α), en el eje polar
3 6
6
6
7 7
2
3
34
3
3 3 7 24 4
)
3 3 7 0
3 7 32 34 cos( ) 4 4 3( ) ( )( )
3 7 21 210
2(
2
V cos (θ)sen(θ)d )
0
2
V cos (θ)sen(θ)d )
0
cos( )
(θ)dθ
(θ)dθ
2
V dθ (
0
V V cos( ) cos(0)
2
a
a a u
a a a
u
a
u
du sen
du sen
u



 

   








   


  
 




 
 

 





9. APLICACIONES DE VOLUMENES
Hallar el volumen generado por el área bajo la curva generada por el segmento de recta
3
1 , 0 12,
gira en el entorno del eje x
x
y x    Solución:
Su área:
Luego el volumen es:
https://www.geogebra.org/m/xa43BaV6
INTERACTIVO PARA INTERPRETAR
389.55 u^3

11. Hallar el volumen de la curva : y lnx; x 2 y el eje x y gira en el eje x 
Solución: Graficando para determina el área y luego hacer la rotación.
2 222 2
11 1
y lnx; x 2 y el eje x y gira en el eje x (lnx) dx ( ln ) 2 (lnx)dxV x x         
  2 2 2 3 3
2(ln 2) 1.ln(1) 2 2(ln 2) 1 2(ln 2) 4ln 2 2 0.188V V u u                

12. Solución: Graficando para
determinar el área y luego
hacer la rotación.

13. VISUALIZANDO SU ROTACION Y LA GRAFICA EN 3D

15. Solución: Graficando
para determinar el
área y luego
hacer la rotación
x = - 1. M.CC.

16. Solución: Graficando para determinar el
área y luego hacer la rotación. M.C.C.
2 2
, 4(8 ) 4(8 )
0 8
4 4
4 4x x
x x
y y
x y y x  
   
 
  
  
4 2 2
( ) 2 (4 ) 8
4 44
1024 3 3
( ) 341.33
3
y y
V R y dy
V R u u

 
 
     
   
 

18. https://www.geogebra.org/m/ts6CYRJD https://www.geogebra.org/m/gDDvkMAm

19. Encontrar el volumen del solido definido al girar la región acotada: (x-2)2+y2 = 1,
alrededor del eje y. Solución: Graficando en GEOGEBRA
2 2 3
u(
b
V ( r )dx)
a
R 
2 2
(a b ) (a b)(a b)   
Usar:

20. V= : Usando diferencia de cuadrados
V=
1
2 2 2 2( 1 2) ( 1 2)
1
2 2 2( 1 2) ( 1 2) . ( 1 2)
dyy y
y y y


 
       
 
 
        
 
2( 1 2)y   
V=
1
1
2( 1 2
dy
y

   
   
    
  2) ( 1 2y    4 :
Integrando por fórmula o por el método de sustitucion trigonométrica nos da:
1 1
2) . 2 1
1 1
dy dyy
  
   
   
V=8 8
8
1
1 1 121 ( ) 0 (1) 0 ( 1)
2 2 2 21
1 1 2 3
V ( ) ( ) 8 ( ) 4
22 2 2 2
y
y arcsen y arcsen arcsen
u
 

 
 
   
            
 
      

21. https://www.geogebra.org/classic GEOGEBRA EN LINEA
https://www.geogebra.org/m/Fz8xUTMW

22. V= : Usando diferencia de cuadrados
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2( 4 5) ( 4 5)
2
: ( 5) 4,es una cincunferencia con C(5,0)
( 5) 4 2 5
dyy y
C x y
x y y y

 
       
 
  
       
V=
2 2 2( 4 5) ( 4 5) . ( 4 5)y y y
 
        
 
2( 4 5)y   
V=10
2
2
2( 4 5
dy
y

   
   
    
  2) ( 4 5y    10 :
Integrando por fórmula o por el método de sustitucion trigonométrica nos da:
2 2
2) . 2 4
2 2
dy dyy
  
   
   
V=20
2
24 2 ( ) 20 0 2. (1) 0 2. ( 1)
2 2 2
2 3
V 20 . 2( ) 2( ) 20 (2 ) 40
2 2
y y
y arcsen arcsen arcsen
u
 
 
   
 
           
 
      

24. OTRA INTERPRETACION:
https://www.geogebra.org/m/f9eq5ktf

25. 14) Un ingeniero civil, piensa que para almacenar aceite construye un tanque de la forma de una
esfera, que tiene un diámetro de 60m píes ¿Cuánto de aceite contiene el tanque, si la
profundidad el aceite es de 25 pies?
Solución: https://www.geogebra.org/m/cXpx2thc
5
3 3 3
30
V=
V
2 2 2
2
40625
900 . 42544
33
5
2 2( 900 )
30
: (30) ,
es una cincunferencia con C(0,0)
900
dy
y
y u u
y
C x y
y y

 




 
   
 
  
  
 
 
  

26. 15) Encontrar el volumen del solido definido al girar la región acotada: x2+(y-3)2 = 1,
alrededor del eje x. Solución:
2 2 2
: ( 3) 1,es una cincunferencia con C(0,3) y 1 3C x y x       

27. V= : Usando diferencia de cuadrados
V=
1
2 2 2 2( 1 3) ( 1 3)
1
2 2 2( 1 3) ( 1 3) . ( 1 3)
dxx x
x x x


 
       
 
 
        
 
2( 1 3)x   
V=6 6 :
Integrando por fórmula o por el método de sustitucion trigonométrica nos da:
1
1
1 1
2 2 2( 1 3) ( 1 3) . 2 1
1 1
dx
dx dxx x x 


   
   
    
  
         
   
V=12
1
1 1 121 ( ) 12 0 . (1) 0 . ( 1)
2 2 2 2 21
11 1 2 3
V 12 ( ) ( ) 12 ( ) 6
22 2 2 2
x x
x arcsen arcsen arcsen
u
 

 
  
   
            
 
      

29. 16)Encontrar el volumen del solido definido al girar la región acotada: x2 +y2 = 4,
alrededor de la recta x=3. Solución:
V=4 :
V=4
V=12
es 0 por ser f p
2 2
2
2
2
unción a
2
2
2
r
0
2
2 2(3 4 ) ( 4 )
0
2
2(3 4 )
0
( 4
: 4,es una cincunferencia con C(0,0)
y 4 ,gira en la rectab x=3
2 (3 ) 4
4 ( 4 )
dxx x x
x dx
x
C x y
x
V x x dx
x x dx






 
    
 
 
  
 

 
  
  
 


2 3
V= 12 (2. ) 12
2
22 12 2) 12 ( 4 2 ( ))
2 2 00
12 0 2 (1) 0 u
x
dx x x arcsen
arcsen  


 
  
        
    

31. ROTACION DE LAS CONICAS EN GEOGEBRA
ELIPSE https://www.geogebra.org/classic/VhmmqMrN
CIRCUNFERENCIA https://www.geogebra.org/m/wrE3P4r5
PARABOLA https://www.geogebra.org/m/d3e3daQ3
HIPERBOLA https://www.geogebra.org/m/fVQxwpHT
https://www.geogebra.org/m/gkffjxsj
LA RECTA
2 2 2 2 2 2 3
: :+y =1 : +y +z =1 ElipsoideE x E xS    
2 2 2 2 2 2 2 2 3
: :+y =r +y +z =r EsferaC x S x   
2 2 2 2 2 2 3
: :y =1 y z =1 HiperboloideH x S x      
2 2 2 2 3
: :=y +y z=0 ParaboloideP x S x    
2 3
: :y+C=0 y+Cz+D=0 PlanoL Ax B P Ax B     

32. 2 2 2 2
2 2 2 2 3
2 2 2 2 2
2
2 2
0
2 2
0
3
2 3 3
0
:
:
+y =r
+y +z =r Esfera
Hallar su volumen cuando gira en el eje x
Solución:Despejando y:
+y =r
2 ( )
2 ( )
4
2 ( )
3 3
r
r
r
C x
S x
x y r x
V r x dx
V r x dx
x
V r x r u


 




  
  
  

  




33. Referencia Bibliográfica
Matemática II para Ingeniería y Algunas Aplicaciones con el Software Geogebra y
Maple”
Edit. Unasam-Huaraz-Ancash-Perú. J. leiva, J. Siva, A. Pacheco. 2020
Web: “
 https://es.slideshare.net/search/slideshow?searchfrom=header&q=https%3A%2F
%2Fes.slideshare.net%2FCindyAdrianaBohrquez%2Fejercicios-integral-definida
 https://es.slideshare.net/NelsonClaudioCrdovaRosas/integrales-impropias-plan-1-
y-2010?qid=c555d9f4-5275-44a3-9dab-1ca34f689ec6&v=&b=&from_search=23
 https://es.slideshare.net/joshua_JLR/integrales-11640060?next_slideshow=1

34. Microsoft Teams