libro

1. HIPÓTESIS BÁSICAS DEL ANALISIS
ESTRUCTURAL
CATEDRATICO : Mg. Ing. Horacio Soriano Alava, PMP®
ANALISIS ESTRUCTURAL
PUCALLPA – PERU
2021
UNIVERSIDAD NACIONAL DE UCAYALI
FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEAMAS Y DE INGENIERIA CIVIL
ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

2. 7 Hipótesis
Hipótesis Básica Tipos
Primera Desplazamientos Pequeños Existe No Linealidad Geométrica
Segunda Equilibrio Estático
Tercera Compatibilidad
Cuarta Condiciones de Contorno
Quinta Unicidad de soluciones
Sexta Comportamiento Elástico
Lineal
Fuentes de NO Linealidad de una estructura
Séptima Principio de Superposición 1. Superposición de Fuerzas.
2. Método de Flexibilidad
3. Superposición de Desplazamientos.
4. Método de Rigidez.

3. Primera Hipótesis Básica
Desplazamientos Pequeños:
También conocida como Hipótesis de las Dimensiones Iniciales. Plantea que la
geometría de la estructura no cambia apreciablemente luego de la aplicación
de las cargas.
Supondremos que las barras (elementos) que componen la estructura son lo
suficientemente rígidas como para no sufrir deformaciones Importantes bajo la
acción de las cargas (solicitaciones) y la geometría inicial varia muy poco. Por
lo tanto, las ecuaciones de equilibrio se pueden plantear a partir de la
geometría de la estructura indeformada (NO Deformada).
Dicho de otro modo, supondremos (con cargo a verificar) que los
desplazamientos de la estructura son pequeños y geometría Inicial no varia
significativamente.

4. La ecuación de equilibrio
estático se fórmula sobre la
geometría indeformada

5. Δ es lo suficientemente
pequeño para poder
despreciar el cambio en la
geometría por el efecto de las
cargas aplicadas

6. Ejemplos de No Linealidad
Geométrica
Equilibrio en la posición no deformada:
M1=P x a
:. existe una relación lineal entre M1 y P.
Equilibrio en la posición deformada:
M1=P(a+Δ.)
pero Δ =f(p)
M1 = (P x a) + (P x f(p))
:. no hay una relación lineal entre M1 y P

7. Estos métodos de análisis, que abordan el comportamiento de las
estructuras con grandes desplazamientos, normalmente trabajan
sobre un esquema iterativo de aproximaciones sucesivas, ya que
las ecuaciones de equilibrio no pueden formularse hasta conocer la
configuración deformada de la estructura.
Cuando en una estructura se produce un cambio importante en la
geometría, de tal forma que se afectan las ecuaciones de equilibrio
planteadas a partir de la geometría no deformada, se dice que es una
Estructura con No Linealidad Geométrica.
El comportamiento de este tipo de estructuras no lineales, escapa al
alcance de estos apuntes. En consecuencia trabajaremos
únicamente con teorías de primer orden (desplazamientos
pequeños) y siempre será posible verificar, al concluir el análisis, la
validez de esta hipótesis.

8. Si Δ« a entonces el momento en la base se puede aproximar, con un error
despreciable, mediante M1 = P x a. En este caso, ya que el material de la
estructura es linealmente elástico, será válido el principio de superposición,
por ejemplo, si duplicara la carga P se duplicarla también el
desplazamiento Δ.
Si no se cumpliera lo anterior, estaríamos frente a un caso de Respuesta
No Lineal debida a una no linealidad geométrica recuerde que hemos
supuesto que el comportamiento del material es linealmente elástico en
todo el rango de repuesta de estructura y no seria aplicable el Principio de
Superposición. A diferencia del anterior, si se duplicara la carga, no seria
posible afirmar que el desplazamiento también se duplicará

9. Segunda Hipótesis Básica Equilibrio
Estático
Se reconoce dos tipos de equilibrio, el estático y el dinámico.
Supondremos que las cargas se aplican lentamente sobre la
estructura, gradualmente desde cero hasta su valor final, de tal
modo que la estructura queda en reposo en su configuración
deformada. A partir de ese instante la estructura no sufre cambios
en su posición ni en su forma deformada. A ésta se le llama la
posición de equilibrio estático de la estructura.
En el equilibrio estático supondremos que no se producen
vibraciones ni fuerzas de inercia significativas.

10. Por el contrario, si las cargas se aplican súbitamente o si presentan
una variación rápida en el tiempo, entonces estaremos frente a un
problema de equilibrio dinámico en el cual la solución no es única, la
respuesta de la estructura será una función, en algunos casos
compleja, del tiempo.
En resumen, en los problemas de equilibrio estático no se desarrollan
fuerzas de inercia significativas. Las fuerzas internas en las barras
deben equilibrar únicamente a las cargas externas. En los problemas
de equilibrio dinámico se desarrollan fuerzas de inercia significativas y
las fuerzas internas en las barras deben equilibrar no solo a las cargas
externas, sino también a las fuerzas de inercia.

11. En general, en este curso, el equilibrio estático se aplicará a:
La estructura completa debe estar en equilibrio.
Cada una de las barras debe estar en equilibrio.
Cada uno de los nudos debe estar en equilibrio .
Observemos las diferencias entre el Equilibrio Estático y el Dinámico
mediante el ejemplo simple que se presenta a continuación:
M--> Masa concentrada
K---> Rigidez lateral
T---> Período de vibración

12. La variación en el tiempo de la fuerza cortante y del desplazamiento lateral,
cuando la carga se aplica lentamente será:
Asumamos que La carga lateral se aplica lentamente (to»T). El
equilibrio horizontal de la masa concentrada en el extremo superior (M) es:

13. Ahora asumamos que la carga lateral se aplica rápidamente (to≈0). El
equilibrio horizontal de la masa concentrada en el extremo superior requerirá en
este caso, la presencia de fuerzas de inercia (FI (t)):
La ecuación de equilibrio, en el caso dinámico y asumiendo que no existe
amortiguamiento (‫=ﻉ‬0%) será:

15. Tercera Hipótesis Básica-Compatibilidad
Se emplea para compatibilizar los desplazamientos de
los extremos de los elementos (barras) que concurren
a un nudo con los desplazamientos del mismo.
Esta condición puede expresarse mediante la
siguiente relación: {d} = [A] {D} donde {d} y {D} son
los movimientos de los extremos de las barras y de
los nudos respectivamente y [A] es la Matriz de
Transformación de Desplazamiento.

16. En el nudo 3 hay dos giros
independientes, por lo tanto
las rotaciones de las barras
2 y 3 no son iguales. Sí hay
compatibilidad de
desplazamientos en X e Y

17. CUARTA HIPÓTESIS BÁSICA – CONDICIONES DE
CONTORNO
Si no se introducen las condiciones de contorno, los problemas estructurales
no estarían completamente definidos. Estas condiciones se especifican en
función de fuerzas (por ejemplo, en los nudos o en los elementos) y en
función de los desplazamientos prescritos en algunos de los nudos.

18. QUINTA HIPÓTESIS BÁSICAS - UNICIDAD DE LAS
SOLUCIONES
Este principio se puede demostrar por la hipótesis del contrario. Supongamos
que un mismo sistema de cargas actuando sobre una estructura, produce dos
configuraciones deformadas en la estructura

19. Si se restan las dos configuraciones deformadas de la figura anterior , se obtiene la estructura sin
cargas externas pero deformada, lo cual no es posible; en consecuencia la configuración deformada
es única.
Muchas veces solemos verificar los resultados del análisis estructural, comprobando el equilibrio
global de la estructura. Esta comprobación simple, no siempre garantiza que los resultados son los
correctos. Por ejemplo en la figura a continuación, se muestra una misma estructura con dos juegos
de reacciones y sus diagramas de momentos, ambos en equilibrio.

20. Si la solución A fuera la correcta, al retirar la
restricción horizontal en el nudo 2 y reemplazar la
por el valor de la reacción como si fuera una
fuerza externa, deberíamos obtener un
desplazamiento horizontal nulo en el nudo 2.
Ambas solucione s están en equilibrio, sin embargo, solo la solución B es válida o
correcta, ya que la solución A no satisface las condiciones de contorno. Para
demostrar esta aseveración, removamos de ambas soluciones la restricción horizontal
que hay en el nudo (apoyo) 1, la estructura se convierte en isostática además de
seguir siendo estable.

21. El desplazamiento horizontal en el apoyo 1
debería ser cero. Si calculamos el desplazamiento
horizontal, utilizando por ejemplo el Método de las
Fuerzas Unitarias (Trabajo Virtual), obtendremos
un desplazamiento de 0.0563 cm , valor que no es
consistente con la condición real en el apoyo 2,
por lo tanto la solución A,no es válida.
Solución A

22. SEXTA HIPÓTESIS BÁSICA -
COMPORTAMIENTO ELÁSTICO LINEAL
Supondremos que las estructuras se comportan en el rango lineal
elástico, es decir que la relación carga - desplazamiento es lineal.
Dicho de otro modo, si todas las cargas externas que obran sobre la
estructura, por ejemplo se duplicaran, el desplazamiento de cualquier
punto también se duplicará.
A continuación se muestran algunas de las posibilidades de
comportamiento de una estructura o material constituyente.
Esta hipótesis está controlada por la hipótesis de desplazamientos
pequeños así como por las propiedades mecánicas de los materiales
de los cuales la estructura está construida.

24. Desde el punto de vista
de la energía, la
diferencia entre
comportamiento lineal
y no lineal se ilustra a
continuación:

25. Los materiales que componen una estructura pueden ser elásticos o
inelásticos y pueden ser lineales o no lineales en cuanto se refiere a la relación
esfuerzo
La suposición de comportamiento elástico - lineal del material, suele ser una
restricción severa de los métodos de análisis estructural que se presentarán.
Deformación. Aún para un material linealmente elástico como el acero
estructural, la relación lineal esfuerzo - deformación es válida hasta cierto
punto, normalmente el límite de proporcionalidad. Por lo tanto, para que la
hipótesis de comportamiento lineal elástico sea válida, los esfuerzos en
cualquier punto de una estructura bajo un sistema de cargas dado,
no deben exceder el límite de proporcionalidad del material.

26. Las desviaciones del comportamiento real del material con respecto a la
hipótesis o suposición de comportamiento lineal, suele ser una fuente de
discrepancias importante entre los resultados teóricos y los experimentales.
Ejemplos de comportamiento de algunos materiales.

27. SÉTIMA HIPÓTESIS BÁSICA- PRINCIPIO DE
SUPERPOSICIÓN
La secuencia en la aplicación de las cargas no altera los resultados finales, es
decir, el comportamiento de la estructura es independiente de la historia de cargas.
El principio de superposición es válido solo si es posible expresar las fuerzas o
momentos en una estructura , mediante funciones lineales de las cargas.
Para que el principio de superposición sea válido, debe cumplirse:
a) Comportamiento Lineal - Elástico. No basta que el material o la estructura sea
lineal, debe ser también elástica. Es decir, al descargar la estructura, esta debe
seguir la misma trayectoria que tuvo durante el proceso de carga
La superposición es aplicable a todas las magnitudes estructurales: fuerzas,
deformaciones, desplazamientos, esfuerzos, fuerzas internas, reacciones, fuerzas
de extremo de barra, etc.

28. b) No deben existir No Linealidades Geométricas, es decir debe cumplirse la hipótesis
de desplazamientos pequeños. Si la estructura no es lineal - elástica, el principio de
superposición no es aplicable ya que el comportamiento dependerá de la historia de
cargas.

30. Para que él principio de superposición sea valido. Debe cumplirse:
a) Comportamiento Lineal-Elástico: No basta que el material o la
estructura sea lineal, debe ser también elástica. Es decir, al
descargar la estructura, esta debe seguir la misma trayectoria que
tuvo durante el proceso de carga.
b) No debe existir No Linealidades Geométricas, es decir debe cumplirse
la hipótesis de desplazamiento pequeños.
Si la estructura es no Lineal-elástica, el principio de superposición no es
aplicable ya que el comportamiento dependerá de la historia de cargas.

31. Las ecuaciones anteriores expresan que los desplazamientos son
combinaciones lineales de las cargas. [F] es la Matriz de Flexibilidad
de la Estructura correspondiente a las coordenadas seleccionadas.

32. Método de la Flexibilidad
El Principio de Superposición, aplicado a las fuerzas, es la base del Método
de Flexibilidad.
Por ejemplo, en el pórtico mostrado a continuación, que tiene una sola
redundante estática (XI), el principio de superposición de fuerzas permitirá
obtener una ecuación (de compatibilidad) para calcular el valor de dicha
redundante.

33. Nótese que la Estructura Primaria elegida es isostática y estable. Para
el análisis de una misma estructura, existen diversas posibilidades o
alternativas para la elección de la Estructura Primaria, dependerá de las
redundantes estáticas que se elijan para analizar la estructura. En
algunos casos la Estructura Primaria seleccionada para la solución de la
estructura, puede ser hiperestática, pero nunca inestable.
Superposición:

34. Superposición de Desplazamientos
Las ecuaciones anteriores expresan que las cargas son combinaciones
lineales de los desplazamientos. [K] es la Matriz de Rigidez de la
estructura correspondiente a las coordenadas seleccionadas.

35. Método de rigidez
El principio de superposición, aplicado a los desplazamientos, es la base
del Método de Rigidez.
Por ejemplo: El pórtico mostrado a continuación, tiene tres grados de libertad (si
se ignoran las deformaciones axiales). El principio de superposición de
desplazamientos permite obtener un sistema de tres ecuaciones (equilibrio de
nudos) en las cuales las incógnitas son los desplazamientos nodales

36. Ecuaciones provenientes de la
superposición de los desplazamientos:
Q1 = k11D1 + k12 D2+ k13 D3
Q2 = k21D1 + k22D2 + k23 D3
Q3 = k31D1 + k32D2 + k33 D3
Superposición de los desplazamientos nodales
{Q} = [K] {D} , {D} = [K]^(-1) {D}

37. Se puede argumentar que el análisis completo de una estructura lleva consigo la
determinación de los esfuerzos y movimientos de sus puntos, sin embargo en el caso
de las estructuras reticulares(formadas por el ensamblaje de barras) este interés se
centra principalmente en los movimientos de los nudos y en el esfuerzo que actúan en
los mismo.
En general se supone que un cálculo ha sido concluido cuando los movimientos de los
nudos son conocidos y las fuerzas y momentos de los extremos de las barras han sido
determinados.
La razón de esto estriba en que el estado complejo de esfuerzos y deformaciones de
cada barra de una estructura lineal puede determinarse completamente si son
conocidas las fuerzas y momentos que actúan en sus extremos.