2. INTRODUCCIÓN
El análisis de Markov es una forma de analizar el movimiento actual de una
variable, a fin de pronosticar el movimiento futuro de la misma en particular, los
procesos de Markov son descriptivos por que buscan determinar en forma
secuencial las probabilidades de que ocurran o no ocurran ciertos eventos. En
este sentido, son muy similares a los modelos de líneas de espera, el nombre de
procesos de Markov (en honor a A. A. Markov) , quien formalizo por primera
vez la teoría que se refiere a eventos cuya condición actual depende tan solo de
su condición un periodo antes. Estos eventos se denominan Markovianos y son
similares a la condición a la carencia de memoria de los modelos de líneas de
espera. De hecho, la condición Markoviana en líneas de espera es igual a la
condición que se analiza en este tema. La principal diferencia radica en el uso de
esa condición .
2
3. PROCESOS DE MARKOV: CONSIDERACIONES Y TERMINOLOGIA
Los procesos de Markov, al igual que la mayoría de los modelos tienen su
propia terminología. En este caso, muchos de los términos significan lo
mismo que para la programación dinámica, las condiciones iníciales y
finales de un proceso de Markov se denominan estados. Las ocurrencias
repetidas del evento que se estudia se llaman ensayos y la probabilidad
de pasar de un estado actual al siguiente se conoce como
probabilidad de transición.
Para simplificar un poco el análisis, se hacen tres condiciones adicionales:
1.- Existe un número finito de estados
2.- Existen probabilidades constantes de transición
3.- Ocurren periodos iguales
3
4. CASO
La Move – U Rental se especializa en el arrendamiento de
camiones a personas que desean realizar sus propias mudanzas.
El gerente de distribución de la compañía, esta considerando
aplicar un ‘cargo por traslado’ para cubrir el costo de enviar
camiones desde las áreas en las que hay sobrantes a otros
lugares en los que se necesitan. Antes de decidir si debe aplicar
el cargo por traslado al costo del arrendamiento de los camiones
que se dirigen a áreas en las que hay sobrantes, desea determinar
la proporción del número total de camiones que a largo plazo,
acabaran en cada una de las áreas de renta. Si las proporciones
son aproximadamente las mismas, el cargo por traslado será
innecesario. Si no es así, el cargo dependerá de la proporción del
total que termine en cada región.
4
5. El gerente ha dividido la parte de los estados unidos que
atiende la compañía en tres regiones : norte, central y sur, de
registro previos se ha determinado que de los camiones que se
rentan cada mes en el norte, 20% van a una ciudad del norte,
30% terminan en la región central y 50% se devuelven a la
compañía en la región del sur. De manera similar, la compañía
ha determinado que , cada mes, 40% de los camiones que se
rentan en al región central se devuelven en la misma, 30% se
devuelven en el norte y el 30% restante se devuelven en el sur.
Por ultimo, de los camiones que se rentan cada mes en la
región sur, 20% se devuelven en el norte y 40% se devuelven
en la región central.
En este momento 40% de los camiones se encuentran en el
norte, 30% en la parte central y 30% están en la región sur .
5
6. Dado el patrón del movimiento de los camiones, la Move – U Company
esta interesada en saber lo siguiente.
1.- ¿Qué proporción de los camiones se encontrara en cada región después de
un mes? ¿después de dos meses?
2.- ¿Qué proporción de los camiones estará en cada región después de un
periodo largo?
Análisis del caso
Se elabora una tabla como la siguiente para resumir la información
referente a la proporción de camiones que tienen una región de origen y
llegan a otro destino.
Tabla 1. proporción de camiones que se regresan a cada región
Región Donde se Devuelve
Región donde
se renta
Norte Central Sur
Norte 0.2 0.3 0.5
Central 0.3 0.4 0.3
Sur 0.2 0.4 0.4
6
7. Análisis del caso
En esta tabla la región donde se renta el camión se lista en el
extremo izquierdo y la región en donde se devuelve el camión
aparece en la parte superior. Por ejemplo, observando el primer
renglón de la tabla y la primera columna, puede verse que 20%
de los camiones que se rentan en el norte se devuelven en el
mismo norte. Otra forma de plantear esta relación , es que existe
una probabilidad de 0.2 de que un camión rentado en el norte sea
regresado en la misma región.
7
8. Observar que para cualquier renglón la suma de las
probabilidades es uno. Esto significa que un camión rentado
debe ir a algún lado. Notar también que la región en la que se
regresa un camión depende solo de la región en la que se
rento, en otras palabras, el estado final del camión depende de
su estado más reciente . Si un camión fue rentado alguna vez
en la región central, no afecta el lugar en que se le regrese si
ahora se renta en el norte.
El hecho de que haya una probabilidad asociada con el lugar
en el que se devolverán los camiones y que esta región en la
que se devuelven dependa solo de la región en la que se rente
significa que esta situación satisface las consideraciones
básicas de los procesos de Markov.
8
9. Una consideración adicional para los problemas de este tipo es
que habrá ocurrencias repetidas del evento bajo estudio.
Las principales consideraciones de los procesos de Markov
aplicadas al ejemplo es:
1.- Hay incertidumbre con respecto a la región en la que se
devolverán los camiones y es posible medir está
incertidumbre a través de probabilidades.
2.- La región en la que se devuelven un camión depende solo
de la región en la que fue rentado.
3.- Habrá ocurrencias repetidas, o ensayos, es decir, se rentan
camiones bajo las mismas circunstancias.
9
10. Presentación de cadenas de Markov a través de un
árbol
En la siguiente se muestra el diagrama de árbol para
un camión que se renta en la región norte en el mes 0.
los nodos en el árbol son las ubicaciones en los meses
0, 1 y 2 y en las ramas del árbol aparecen las
probabilidades de cada transición.
10
11. Ubicación en el
mes 0
Ubicación en el mes
1
Ubicación en el
mes 2
Probabilidad de cada ubicación en el
mes 2
Norte
Central
Sur
Norte
Central
Sur
Norte
Central
Sur
Norte
Central
Sur
Norte
0.3
0.4
0.4
0.3
0.06 ¤
0.04 •
0.10 +
0.09 •
0.12 ¤
0.09 +
0.10 •
0.20 ¤
0.20 +
11
12. Ubicación en el
mes 0
Ubicación en el mes
1
Ubicación en el
mes 2
Probabilidad de cada ubicación en el
mes 2
Norte
Central
Sur
Norte
Central
Sur
Norte
Central
Sur
Norte
Central
Sur
Norte
0.5
0.3
0.2
0.2
0.25 ¤
0.15 •
0.10 +
0.08 •
0.06 ¤
0.06 +
0.12 •
0.06 ¤
0.12 +
11a
2do ejemplo cambio de
probabilidades
13. Las probabilidades de encontrarse en cada uno de los estados en el mes 2 se
calculan multiplicando las probabilidades individuales de transición. Ejemplo,
la probabilidad de estar en el norte en cada uno de los tres meses esta dado por
(0.2)(0.2) = 0.04
Para determinar la probabilidad de que un camión se encuentre en el norte
después de dos meses, se suman las tres probabilidades de encontrarlo en el
norte:
Ρ (de estar en el norte en el mes 2 dado que se encontraba en el norte en el mes
0)
= 0.04 + 0.09 + 0.10 = 0.23, de manera similar (•)
P (de estar en la región central en el mes 2 dado que estaba en el norte en el
mes 0)
= 0.06 + 0.12 + 0.20 = 0.38, (¤) y
P(de estar en el sur en el mes 2 dado que estaba en el norte en el mes 0)
= 0.10 + 0.09 + 0.20 = 0.39; (+) 0.23 + 0.38 + 0.39 = 1.0
12
Nota valores del primer ejemplo
14. Las probabilidades de encontrarse en cada uno de los estados en el mes 2 se
calculan multiplicando las probabilidades individuales de transición. Ejemplo,
la probabilidad de estar en el norte en cada uno de los tres meses esta dado por
(0.2)(0.2) = 0.04
Para determinar la probabilidad de que un camión se encuentre en el norte
después de dos meses, se suman las tres probabilidades de encontrarlo en el
norte:
Ρ (de estar en el norte en el mes 2 dado que se encontraba en el norte en el mes
0)
= 0.15 + 0.08 + 0.12 = 0.35, de manera similar (•)
P (de estar en la región central en el mes 2 dado que estaba en el norte en el
mes 0)
= 0.25 + 0.06 + 0.060 = 0.37, (¤) y
P(de estar en el sur en el mes 2 dado que estaba en el norte en el mes 0)
= 0.10 + 0.06 + 0.12 = 0.28; (+) 0.35 + 0.37 + 0.28 = 1.0
Valores del segundo ejemplo 12a
15. Si se utiliza notación de matrices, los cálculos para el mes 1 aparecen de la siguiente
manera:
N C S
N C S 0.2 0.3 0.5 N C S
[ 1 0 0 ] 0.3 0.4 0.3 = [ 0.2 0.3 0.5 ]
0.2 0.4 0.4
Para el segundo mes, se repiten los cálculos:
N C S
N C S 0.2 0.3 0.5 N C S
[ 0.2 0.3 0.5 ] 0.3 0.4 0.3 = [ 0.23 0.38 0.39 ]
0.2 0.4 0.4
Vector de
probabilidad para
comenzar en el
norte
Matriz de
transición de
un mes
Vector de
probabilidad
después de un mes
Vector de
probabilidad después
de un mes
Matriz de
transición de un
mes
Vector de
probabilidad
después de dos
meses
13
Valores del primer ejemplo
16. Si se utiliza notación de matrices, los cálculos para el mes 1 aparecen de la siguiente
manera:
N C S
N C S 0.3 0.5 0.2 N C S
[ 1 0 0 ] 0.4 0.3 0.3 = [ 0.3 0.5 0.2 ]
0.4 0.2 0.4
Para el segundo mes, se repiten los cálculos:
N C S
N C S 0.3 0.5 0.2 N C S
[ 0.3 0.5 0.2 ] 0.4 0.3 0.3 = [ 0.37 0.34 0.29 ]
0.4 0.2 0.4
Vector de
probabilidad para
comenzar en el
norte
Matriz de
transición de
un mes
Vector de
probabilidad
después de un mes
Vector de
probabilidad después
de un mes
Matriz de
transición de un
mes
Vector de
probabilidad
después de dos
meses
13b
Valores del segundo ejemplo
17. Observar que estas series de cálculos pueden combinarse en uno solo de la
siguiente manera:
N C S N C S
N C S 0.2 0.3 0.5 0.2 0.3 0.5 N C S
[ 1 0 0 ] 0.3 0.4 0.3 0.3 0.4 0.3 = [ 0.23 0.38 0.39 ]
. 0.2 0.4 0.4 0.2 0.4 0.4
Vector de
probabilidad
para comenzar
en el norte
Matriz de
transición
de un mes
Matriz de
transición
de un mes
Vector de
probabilidad
después de dos
meses
14
Valores del primer ejemplo
18. El calculo del vector de probabilidad después de dos meses
depende del vector de probabilidad en el mes 0 y de la matriz de
transición de un mes. En los cálculos anteriores, se utilizo un
vector de probabilidad inicial que representaba un camión que
había comenzado en el norte.
Para calcular la proporción de camiones que se encontraban en
cada región después de dos meses, simplemente se sustituye la
proporción original de camiones que se encuentran en cada
región (40% de los camiones se encuentran en el norte, 30% en
la parte central y 30% están en la región sur) y se considera
como el vector inicial de probabilidad, es decir [ 0.4 0.3 0.3 ].
15
19. Los cálculos se convierten en :
N C S N C S
N C S 0.3 0.5 0.2 0.3 0.5 0.2 N C S
[ 0.4 0.3 0.3 ] 0.4 0.3 0.3 0.4 0.3 0.3 = 0.364 0.3430 0.293
0.4 0.2 0.4 0.4 0.2 0.4
Proporción
de
camiones
en el mes 0
Matriz de
transición
de un mes
Matriz de
transición
de un mes
Proporción
de
camiones
en el mes 2
16
20. En estos cálculos, se observa que después de dos meses que 23.6% de
todos los camiones se encontraban en el norte, 37.7% estaban en la región
central y 38.7% en el sur.
Desarrollo matemático
Puede resumirse el análisis anterior utilizando la notación siguiente:
P i j = probabilidad de cambiar del estado i al estado j en un paso
P = matriz formada por los valores Pi j (matriz de transición)
S i (t ) = probabilidad de encontrarse en el estado i en el estado j en el
periodo t
S (t) = vector de probabilidades de estado en el periodo t
17
21. Por ejemplo :
P11 = 0.2, P23 = 0.3, S1 (0) = 0.4, S (0) = [ 0.4 0.3 0.3 ]
Utilizando esta notación, es posible plantear varios resultados clave . En
primer lugar, se tiene que la suma de las probabilidades de estado debe ser
igual a 1:
S1 (t) + S2 (t) + S3(t) + . . . . Sn (t) = 1 - - - - - - - -
Para un caso con n estados
De manera similar, para cada renglón de la matriz de transición, P, se tiene
la suma:
Pi 1 + Pi2 + Pi3 + . . . . Pin = 1 - - - - - - -
2 para i = 1, 2, 3,. . . . . . . N. recordar que esto implica que debe hacerse
alguna transición hacia un estado en cada paso.
La transición de un periodo al siguiente se encuentra incluida en la
siguiente ecuación:
1
2
18
22. S ( t + 1) = S (t) P - - - - - - - -
Para el primer periodo, esto se convierte en
S (1) = S (0) P - - - - - - -
Y para el segundo periodo se tiene
S (2) = S (1) P = S (0) P² - - - - - -
En general, este resultado se convierte en
S (t) = S (0) P⁺ - - - - - - - -
Ahora, para la condición de estado estacionario, se tiene
S = S ( t + 1) = S (t) - - - - - -
Donde S = vector de probabilidad de estado estacionario, que es el mismo
sin importar el periodo. Esto implica que:
S = S P - - - - - - - - - - - -
3
4
5
6
7
8
19
23. Es decir, el vector de estado estacionario sigue siendo igual después de una
transición de una etapa, para el ejemplo expuesto, esto da como resultado:
0.2 0.3 0.5
S = [S1 S2 S3] = [S1 S2 S3] 0.3 0.4 0.3
0.2 0.4 0.4
Terminando los cálculos, se lleva a un sistema de ecuaciones:
S1 = 0.2S1 + 0.3S2 + 0.2S3 - - - - - - - - - -
S2 = 0.3S1 + 0.4S2 + 0.4S3 - - - - - - - - - - -
S3 = 0.5S1 + 0.3S2 + 0.4S3 - - - - - - - - - - -
Se sabe también que la suma de estas probabilidades es igual a 1, por lo que
se tiene
1 = S1 + S2 + S3 - - - - - - - - - - -
9
10
11
12
20
24. Si se resuelven los valores de S1, S2, y S3 utilizando las ecuaciones del 9 al
12 se llega a las probabilidades del estado estacionario:
S1 = 0.238, S2 = 0.376 S3 = 0.386
Dado que se tienen cuatro ecuaciones con tres incógnitas, es posible utilizar
dos cualesquiera de las tres primeras ecuaciones, junto con la ultima, para
encontrar el valor de las tres incógnitas .
Un detalle que resulta importante tomar en cuenta con respecto a esta
condición de estado estacionario es que no depende del estado inicial. Si se
comenzara con un vector de proporciones de [ 0.5 0.25 0.25 ] ó uno de
[ 0.33 0.33 0.34 ], a largo plazo siempre se terminara con el mismo vector
de proporciones de estado estacionario [0.238 0.376 0.386 ].
21
25. Resumiendo , el desarrollo de las cadenas de Markov, si existe
una matriz de transición de una etapa P = [ Pi j ] y un vector de
estado para el periodo t1 S (t), entonces se tiene que
n
S = SP y ∑ Si = 1
i = 1
Para determinar los valores apropiados de Si que forma S, el
vector de equilibrio.
22
26. Aplicaciones de los procesos de Markov
El Helderberg Junior College es una escuela financiada por el
estado que ofrece grados intermedios en un curso de dos años.
Los administradores del HJC están interesados en saber cuantos
estudiantes se graduarán cada año, cuantos continuaran en la
escuela y cuantos renunciaran a ella. Esta información es útil
para planear las necesidades futuras de profesores y para obtener
fondos del estado.
Dado que HJC es una escuela con duración de dos años, los
estudiantes que terminan su primer año pueden continuar en la
escuela ó pasar a otra (a un estudiante que renuncia se le
considera como transferencia).
23
27. Si los estudiantes continúan en la escuela, pueden asistir a
cursos del segundo año ó repetir cursos del primero, los
estudiantes que terminan el segundo año escolar se gradúan
con un grado intermedio, continúan en la escuela para terminar
los requisitos del grado ó bien se transfieren a otra escuela sin
terminar los cursos necesarios para obtener el grado
intermedio. en cualquier caso, la condición de un estudiante
en el siguiente año escolar (el HJC no tiene clases en verano y
no acepta transferencias) depende por completo de la
condición que tiene este año.
24
28. Con base en datos anteriores, el jefe de la oficina de inscripciones del HJC ha
determinado la proporción de estudiantes que cae en cada categoría,
dependiendo de la condición en la que se encontraban el año anterior, esta
información se muestra en la siguiente matriz de transición.
Esta matriz de transición es diferente al del problema introductorio del
arrendamiento de camiones. Por las siguientes condiciones.
En primer lugar, no es posible pasar a todos los demás estados a partir de
uno especifico, por ejemplo, un estudiante que alcanza el estado de graduado
ó el de transferido no puede a ningún otro estado.
1er año 2do año Graduados Transferencia
1er año 0.1 0.7 0 0.2
2do año 0 0.2 0.6 0.2
Graduados 0 0 1 0
Transferencia 0 0 0 1
25
29. Por esta razón , estos estados (graduado y transferido) se
conocen como estados absorbentes por que una vez que se
alcanzan no pueden abandonarse .
En una cadena de Markov con estados absorbentes, la
pregunta ya no es que proporción del total alcanzará un estado
determinado, puesto que del total todos se encontraran en algún
momento en uno de dos estados absorbentes. En otras palabras ,
la condición de estado estacionario contendrá todo en un estado
absorbente . Dado esté resultado, la pregunta se convierte
entonces en: ¿Qué proporción de los estados originales no
absorbentes terminaran en cada uno de los estados absorbentes
? En el ejemplo del HJC la pregunta se convierte en:
26
30. ¿Qué proporción de estudiantes de primer o segundo año se
graduarán, y que proporción se transferirán a otra escuela ó la
abandonaran?
para calcular estas proporciones, es necesario definir
primero una matriz especial que se denomina matriz
fundamental Q. esta matriz se encuentra por medio del
siguiente procedimiento.
En el ejemplo del HJC la pregunta se convierte en: ¿Qué
proporción de estudiantes de primer o segundo año se
graduarán, y que proporción se transferirán a otra escuela ó la
abandonaran?
para calcular estas proporciones, es necesario definir
primero una matriz especial que se denomina matriz
fundamental Q. esta matriz se encuentra por medio del
siguiente procedimiento.
27
31. 1.- Eliminar los renglones correspondientes a los estados absorbentes originales
2.- Dividir la matriz restante en estados absorbentes y no absorbentes. Denominar, G a
la parte de la matriz bajo absorbentes, y a la parte bajo estados no absorbentes, H .
3.- Calcular Q = (I – H)‾ ¹ , en donde I = matriz identidad (unos en la diagonal
principal, y ceros en las demás posiciones) y el exponente -1 se refiere al inverso de una
matriz.
Paso 1.- eliminar los renglones absorbentes
Paso 2.- Dividir los renglones restantes en estados absorbentes y no
absorbentes
0 0.2 0.1 0.7
G = H =
0.6 0.2 0 0.2
1er año 2do año Graduados transferencia
1er año 0.1 0.7 0.0 0.2
2do año 0 0.2 0.6 0.2
28
32. Paso 3.- Calcular Q = (I – H) ⁻ ¹
(1 – 0.1) (0 - 0.7) ⁻ ¹ 0.9 - 0.7 ‾ ¹ 1.111 0.972
Q = = = Q
(0 - 0) (1 - 0.2) 0 0.8 0 1.250
Utilizando Q . Puede calcularse la proporción de estudiantes que alcanzarán
cada uno de los estados absorbentes, si esta matriz de proporciones se
denota R, en donde r i j = proporción de estudiantes en un estado i que
algún momento pasan a un estado j. por tanto
R = QG
En nuestro ejemplo
1.111 0.972 0 0.2
Q = y G =
0 1.250 0.6 0.2
29
33. 1.111 0.972 0 0.2 0.583 0.417
R = =
0 1.250 0.6 0.2 0.750 0.250
Los valores que aparecen en la matriz R pueden interpretarse
como sigue:
r₁₁ = 0.583 = proporción de estudiantes que se encuentran en el
primer año y que en algún momento se graduaran
r₁₂ = 0.417 = proporción de estudiantes que en su primer año y
que se transferirán a alguna otra escuela
r₂₁ = 0.750 = proporción de estudiantes que se encuentran en su
segundo año y que se graduaran
r₂₂ = 0.250 = proporción de estudiantes que se encuentran en un
segundo año y que se transferirán
30
34. Si ahora existen 1000 estudiantes de primer año en el Helderber Junior
College y 800 estudiantes de segundo año, es de esperarse que
(0.583) (1000) = 583 estudiantes de primer año que en algún momento
se graduaran
(0.417) (1000) = 417 estudiantes de primer año que se transferirán
(0.750) (1000) = 750 estudiantes de segundo año que se graduaran
(0.250) (1000) = 250 estudiantes de segundo año que se transferirán
Si los administradores del Helderberg Junior College desean que se
gradúen en promedio 700 estudiantes, entonces será necesario aumentar
el número de alumnos de primer año a (700 ÷ 0.583) = 1201
estudiantes (suponiendo que los nuevos estudiantes que se admiten
provengan de la misma población que los estudiantes admitidos antes).
31
35. Puede interpretarse aun más la matriz fundamental Q
utilizando el siguiente resultado: las entradas de la matriz
fundamental Q proporcionan el número promedio de periodos
que el sistema estará en cada uno de los no absorbentes.
En el caso del Helderberg Junior College esto significa que
el estudiante promedio de primer año pasara 1.111 años en el
primer año, antes de abandonar la escuela ó pasar al segundo
año. De la misma manera, el estudiante promedio de primer
año pasara 0.972 de año en el segundo año. También, el
estudiante promedio de segundo año no invertirá tiempo en el
primer año (tal como era de esperarse), pero invertirá 1.250
años en el segundo año
32
36. Otro resultado que puede obtenerse Q es que la suma de los
renglones da el número promedio de periodos hasta que ocurra
la observación en uno de los estados absorbentes . En el caso del
Helderberg, esto significa que si un estudiante se encuentra en el
primer año, necesitara en promedio 2.083 años para graduarse ó
abandonar la escuela (transferirse). Si un estudiante se encuentra
en el segundo año, el tiempo promedio para graduarse ó
abandonar la escuela es de 1.250 años
33
37. Tiempos de la primera transición
En el problema anterior (caso de la escuela Helderberg Junior
College) se hablo de (cadenas de Markov con y sin estados
absorbentes). Otro calculo que con frecuencia resulta
interesante es el tiempo promedio que transcurre antes de
cambiar de un estado a otro por primera vez. Este tiempo se
conoce como tiempo de la primera transición. Por ejemplo,
en el caso de la Move – U Truck Rental Company, podría
estar interesado en el tiempo promedio que se requeriría para
que un camión rentado en el norte llegue a la región central.
34
38. El camión puede ir a otras regiones y volver al norte antes
de pasar a la región central, pero todo lo que interesa de
momento es el número promedio de periodos que se
requieren en al actualidad para que un camión que se
encuentra en la región del norte pase a la región central.
para calcular el tiempo promedio de la primera transición del
estado i al estado j, en primer lugar se determinara f ij que
es el primer tiempo de transición de i a j. entonces se
calculara este valor utilizando la formula.
ƒ i j = 1+ ∑ p i k ƒ k j
k ≠ j
35
39. En donde P i j = probabilidad de pasar de i a j
Recordar que la matriz de transición para el caso de la
Move – U es
0.2 0.3 0.5
0.3 0.4 0.3
0.2 0.4 0.4
Para hacer el calculo de la primera transición del norte a la
región central (i= 1 a j = 2), se tiene la ecuación que sigue:
Ƒ₁₂ = 1 + P₁₂ + P₁₃ ƒ₃₂
ó
ƒ₃₂ = 1 + 0.2ƒ₁₂ + 0.4ƒ₃₂
36
40. Si se resuelven estas dos ecuaciones simultaneas para determinar
los valores de ƒ₁₂
y ƒ₃₂ . Se obtiene que en promedio el primer tiempo de transición
de la región del norte (estado 1) a la región central (estado 2) es
1.896 meses. También se determina que el primer tiempo de
transición de la región del sur (estado 3) a la región central es de
1.034 meses.
Con base en esta información, el gerente de distribución de la
Move – U Rental Company , puede esperar que un camión que
sale de la región del norte requiera en promedio casi dos meses
(1.896 meses) para ser entregado en al región central.
37
