Parte 3 del resumen de Probabilidad y Estadística

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Material para estudiantes de secundaria y
universidad
Desarrollado por: Lic. Marco Antonio Cubillo Murray
PARTE 3
2018

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
Contenido
INTRODUCCIÓN................................................................................................................................... 3
Variables Aleatorias............................................................................................................................. 3

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
INTRODUCCIÓN
Acabamos de estudiar varias formas de asignar valores de probabilidad a
los resultados de un experimento. Ahora usaremos esta información de
probabilidad para calcular el resultado esperado, la varianza y la desviación
estándar del experimento, lo cual ayudaría a elegir la mejor decisión entre
una serie de alternativas.
Variables Aleatorias
Una Variable Aleatoria asigna un número real a cada resultado o evento
posible en un experimento. Por lo general, se representa por medio de una
letra como X o Y. Cuando el resultado en sí es numérico o cuantitativo, los
números resultantes pueden ser la variable aleatoria. Por ejemplo, considere
las ventas de refrigeradoras en una tienda de electrodomésticos. El número
de refrigeradoras vendidas durante cierto día puede ser la variable aleatoria.
Si se usa X para representar esta variable aleatoria, podemos expresar la
relación de la siguiente manera:
X = número de refrigeradoras vendidas durante el día
En general, siempre que el experimento tenga resultados cuantificables, es
beneficioso definir estos resultados cuantitativos como la variable aleatoria,
vemos en la siguiente tabla algunos ejemplos de variables aleatorias.
Tabla: Ejemplos de variables aleatorias
EXPERIMENTO RESULTADO VARIABLES
ALEATORIA
RANGO DE
VARIABLES
ALEATORIAS
Almacenar 50 árboles
de navidad
Número de árboles de
Navidad vendidos
X = número de árboles
de Navidad vendidos
0, 1, 2, ….., 50
Inspeccionar 600
artículos
Número de artículos
aceptados
Y = número de
artículos aceptados
0, 1, 2, …….600
Enviar 5000 cartas de
venta
Número de personas
que responden a las
cartas
Z = número de
personas que
contestan las cartas
0, 1, 2, …….5000
Construir un edificio
de apartamentos
Porcentaje del edificio
terminado después de
4 meses
R = porcentaje del
edificio terminado
después de 4 meses
0 ≤ 𝑅 ≤ 100
Probar la vida útil de
un bombillo (minutos)
Tiempo que dura el
bombillo hasta 80 000
minutos
S = tiempo en que se
quema el bombillo
0 ≤ 𝑆 ≤ 80000

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Cuando el resultado en sí no es numérico ni cuantitativo, es necesario
definir una variable aleatoria que asocia cada resultado con un número real
único. En la siguiente tabla podemos observar como se lleva a cabo este
cambio:
Tabla: Variables aleatorias para resultados que no son números
EXPERIMENTO RESULTADO RANGO DE VARIABLES
ALEATORIAS
VARIABLES
ALEATORIAS
Estudiantes que
responden a un
cuestionario
Muy de acuerdo (MA)
De acuerdo (A)
Neutral (N)
En desacuerdo (D)
Muy en desacuerdo (MD)
𝑋 =
{
5 si MA
4 si A
3 si N
2 si D
1 si MD
1, 2, 3, 4, 5
Una máquina que
es inspeccionada
Con defecto
Sin defecto
𝑌 = {
0 𝑠𝑖 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜
1 𝑠𝑖 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜
0, 1
Consumidores que
responden qué les
parece un producto
Bueno
Promedio
Malo
𝑋 = {
3 𝑠𝑖 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑏𝑢𝑒𝑛𝑜
2 𝑠𝑖 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
1 𝑠𝑖 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑚𝑎𝑙𝑜
1, 2, 3
Hay dos tipos de variables aleatorias; las variables aleatorias discretas y las
variables aleatorias continuas. El desarrollo de distribuciones de
probabilidad y la realización de cálculos con base en tales distribuciones
depende del tipo de variable aleatoria.
Un variable aleatoria es una variable aleatoria discreta si puede tener sólo
un conjunto finito o limitado de valores. ¿Cuáles de las variables de la tabla
que nos presenta los ejemplos de variables aleatorias anterior, se pueden
considerar como variables aleatorias discretas?.
Podemos ver en la tabla citada que las variables asociadas con el
almacenamiento de 50 árboles de Navidad, la inspección de 600 artículos y
el envío de 5000 cartas son ejemplos de variables aleatorias discretas,
porque solo pueden tener un solo conjunto finito o limitado de valores. Por
ejemplo, el número de árboles de Navidad vendidos únicamente pueden ser
números enteros de 0 a 50, no se pude vender 3.5 árboles, o se venden 3 o
4.

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LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
Una variable aleatoria continua es una variable aleatoria que tiene un
conjunto infinito o ilimitado de valores. ¿Hay ejemplos de variables
aleatorias continuas en los ejemplos de variables aleatorias?.
Observamos que sí, que las pruebas de la vida útil de una bombilla eléctrica
es un experimento cuyos resultados se pueden describir con una variable
aleatoria continua. En este caso, la variable aleatoria S, es el tiempo en el
que el bulbo se funde. Puede durar 3,206 minutos, 6,500 minutos, 251,726
minutos, o cualquier otro valor entre 0 y 80000 minutos. En la mayoría de
los casos, el rango de una variable aleatoria continua se indica como: valor
inferior ≤ S ≤ valor superior, por ejemplo, 0 ≤ S ≤ 80000, la variable
aleatoria R también es continua.