1. REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA - nO
28 - 1995
Varetas, canudos, arestas e ...
sólidos geométricos*
Ana Maria Kaleff e Dulce Monteiro Rei
Niterói e Angra dos Reis, RJ
As dificuldades apresentadas pelos alunos na visualização de sólidos geométricos e a desmotivação que
muitos estudantes apresentam nas aulas de Geometria Espacial têm levado os educadores a buscarem
meios para facilitar o ensino das propriedades geométricas dos sólidos e para tornar esse ensino mais
atrativo e motivador.
Uma das formas de se desenvolver o raciocínio incentivando a construção de sólidos geométricos por
meio de materiais concretos, o que leva o aluno a vivenciar os conceitos espaciais através de
experiências elementares. Por exemplo, ao construir modelos de poliedros, o aluno tem a oportunidade
de observar e utilizar diversas relações espaciais, ao mesmo tempo que, através da manipulação dos
materiais concretos, é motivado à ação e tem estimulada a sua criatividade.
Na nossa prática escolar temos utilizado materiais concretos para a construção de estruturas que
representam "esqueletos" de sólidos geométricos construídos por meio de suas arestas. Os materiais de
nossa preferência para as construções são pedaços de canudos de plástico unidos por meio de um fio de
linha e varetas finas de madeira unidas por anéis elásticos. Embora os "esqueletos" obtidos com as
varetas forneçam uma representação grosseira da figura geométrica, seu uso é indicado devido à sua
fácil manipulação, o que permite rapidez na construção das estruturas, sendo, portanto, mais indicado
para as atividades a serem realizadas por alunos das séries iniciais.
As construções que apresentamos a seguir podem ser realizadas pelos alunos, individualmente ou em
pequenos grupos. Até mesmo crianças de 9 a 10 anos têm realizado com sucesso as quatro construções
iniciais. Para a realização dessas atividades sugerimos a utilização de canudos plásticos de refrigerantes,
em três cores (ou diâmetros) diferentes, um carretel de linha um pouco mais grossa do que a linha usada
para empinar pipas, varetas de madeira fina ou palitos "para churrasco", anéis elásticos e uma agulha
grossa. As atividades a seguir estão orientadas para serem realizadas com canudos, todavia os esquemas
de construção são os mesmos para os dois materiais. Além disso, nos esquemas que seguem,
indicaremos por o sentido em que a linha deve ser inserida num canudo vazio e indicaremos por o
sentido em que ela deve ser inserida num canudo já ocupado por algum pedaço de linha.
O material a ser utilizado na atividade a seguir é um metro de linha, seis pedaços de canudo de mesma
cor e comprimento (sugerimos 8 centímetros).
ATIVIDADE 1: Construção de um tetraedro regular
Tome o fio de linha, passe-o através de três pedaços de canudo, construindo um triângulo e o feche por
meio de um nó. Agora, passe o restante da linha por mais dois pedaços de canudo, juntando-os e
formando mais um triângulo com um dos lados do primeiro triângulo. Finalmente, passe a linha por
um dos lados desse triângulo e pelo pedaço que ainda resta, fechando a estrutura com um nó. Essa es-
trutura representa as arestas de um tetraedro regular e as etapas intermediárias de sua construção
estão representadas na Figura 1.

2. Temos observado que alguns alunos mais habilidosos, ao fazerem essa construção, não dão o nó
indicado para a obtenção do primeiro triângulo, utilizando o pedaço de linha sem interrupções para a
construção do esqueleto do tetraedro. Isso demonstra que tais alunos perceberam que os nós, apesar de
facilitarem a construção, podem ser evitados.
Nas construções das estruturas é importante observar que, para sedar firmeza aos vértices de uma
estrutura, é necessário reforçá-los, passando o fio de linha mais de uma vez por cada pedaço de
canudo,ligando-o aos outros dois. O esquema apresentado na Figura 2 ilustra essa situação.
Note-se que, a seguir, nós nos referiremos às estruturas construídas pelo nome dos sólidos geométricos
cujas paralelas representam.
Para a próxima atividade, são necessários dois metros de linha, doze pedaços de canudo de mesma cor e
comprimento (novamente sugerimos a medida de 8 centímetros).
ATIVIDADE 2: Construção de um octaedro regular
Com pedaços de canudos e o fio de linha, construa quatro triângulos e os una, dois a dois, conforme o
esquema apresentado na Figura 3.
Para a atividade a seguir, são necessários três metros de linha, trinta pedaços de canudo de mesma cor e
comprimento (sugerimos a medida de 7 centímetros).
ATIVIDADE S: Construção de um icosaedro regular
Construa quatro triângulos seguindo o esquema da Figura 4a e os una obtendo uma pirâmide regular
de base pentagonal, como a desenhada na Figura 4b. Repita essa construção, obtendo mais uma
pirâmide. Una cada uma das pirâmides através dos vértices das bases, por meio de pedaços de
canudos, de tal forma que em cada vértice se encontrem cinco canudos (Figura 4c).
Também é muito importante que incentivemos o aluno a tentar construir um cubo com pedaços de
canudo. Ele observará que a estrutura construída "não permanece em pé" sobre a mesa como acontece
com as estruturas anteriores, isto é, a estrutura não tem rigidez própria. Como torná-la rígida é o

3. próximo desafio que o aluno deve enfrentar e é o objetivo da atividade a seguir. Para a realização dessa
atividade serão necessários doze pedaços de canudo da mesma cor e medindo 8 cm, seis canudos de
outra cor ou de diâmetro menor do que o anterior e mais um canudo de cor diferente das demais.
ATIVIDADE 4: Construção de um cubo e de suas diagonais
Com pedaços de canudo da mesma cor construa um cubo de 8 cm de aresta. Para isso, passe o fio
através de quatro canudos e passe a linha novamente por dentro do primeiro canudo, construindo um
quadrado. Considerando um dos
lados desse quadrado e passando a
linha por mais três canudos, construa
mais um quadrado. Observe que
ainda faltam dois canudos para
completar as arestas do cubo.
Prenda-os de maneira a completá-lo.
Se você não conseguir realizar essa
tarefa, observe o esquema da Figura
5.
Se o aluno observou que a estrutura construída não tem rigidez própria, pois os seus lados não ficam
por si sós perpendiculares à superfície da mesa, então é necessário que o levemos a conjecturar em
como tornar essa estrutura rígida. Nesse processo, notamos que mesmo alunos de 12 e 13 anos
observam que, se construirmos triângulos nas faces dessa estrutura ou no seu interior, ela se enrijecerá.
Dando continuidade a esse raciocínio, sugerimos ao aluno a tarefa seguinte:
Agora, com pedaços de canudo de cor (ou diâmetro) diferente da usada para representar as arestas do
cubo, construa uma diagonal em cada face, de modo que em cada vértice que determina a diagonal
cheguem mais duas diagonais. Que estrutura você construiu? Observe a Figura 6. Assim procedendo,
o aluno construirá um tetraedro formado por seis diagonais das faces do cubo. A seguir, com um
pedaço de canudo de cor diferente das anteriores, construa uma diagonal do cubo.
Devemos levar o aluno a observar que
essa diagonal formará, com uma das
arestas do cubo e com uma das diagonais
da face, um triângulo retângulo. Essa
construção é muito útil para ilustrar
aplicações do Teorema de Pitágoras,
pois a maioria dos alunos têm problemas
para visualizar situações como essa.
Observe a Figura 7.
Temos verificado que alunos de 13 a 15 anos percebem que, após as atividades anteriores, já
construíram quatro dos cinco poliedros regulares de Platão (v. RPM 15, p. 42) e a questão se é possível
construir o dodecaedro pode surgir naturalmente. Apesar de ser uma tarefa trabalhosa, os alunos se
propõem a construir essa estrutura, porém, preferencialmente, em grupo e não como uma tarefa
individual.
As atividades que seguem complementam as construções das estruturas dos sólidos regulares mais
simples. Elas são interessantes, pois envolvem as estruturas anteriormente construídas e podem ser
utilizadas em diversas situações de ensino nas séries mais avançadas.

4. ATIVIDADE 5: Construção de uma pirâmide de base triangular sobre
cada face de um tetraedro
Agora, com pedaços de canudo construa um triângulo equilátero Você seria
capaz de construir uma pirâmide regular tendo esse triângulo como base e
cujas faces laterais sejam triângulos retângulos isósceles? Observe a pirâmide
desenhada na Figura 8.
A seguir, com seis pedaços de canudo, construa um tetraedro regular e,
tomando cada face desse tetraedro como base, construa uma pirâmide regular
cujas faces sejam triângulos retângulos isósceles. Que estrutura você
construiu? Observe novamente a Figura 6.
O objetivo dessa última atividade é levar o aluno a observar que, como na atividade anterior, ele obteve
um cubo com o tetraedro no seu interior, tendo, no entanto, o tetraedro como estrutura de partida para a
construção.
A seguir, propomos duas situações geométricas que poderão servir como desafio aos alunos mais
experientes e habilidosos.
ATIVIDADE 6: Construção de um octaedro regular dentro de um cubo
Com pedaços de canudos construa um cubo. Encontre uma. construção adequada para mostrar que os
centros de cada face do cubo, isto é, o ponto onde as diagonais da face se encontram, são vértices de
um octaedro regular. Observe a representação geométrica dessa situação na Figura 9.
ATIVIDADE 7: Construção de um cubo dentro de um octaedro regular
Com pedaços de canudo construa um
octaedro regular. Como você construiria
um cubo no interior do octaedro, cujos
vértices pertencessem às suas faces?
Observe a representação geométrica
dessa situação na Figura 10. (Para essa
construção sugerimos que sejam
construídas as medianas das faces do
octaedro com pedaços de linha.)
Por meio das atividades relatadas, buscamos enfatizar a importância de uma abordagem pedagógica que
dê oportunidade ao aluno para desenvolver sua coordenação motora, se concentrar numa tarefa,
exercitar a sua paciência, criar imagens, interpretar desenhos, conjecturar e intuir soluções para
problemas, habilidades essas que são úteis não somente para o desenvolvimento de idéias matemáticas,
mas também para o desenvolvimento integral do ser humano. Além disso, o colorido das estruturas
construídas e a beleza das suas formas ajudam o aluno a se interessar pelas aulas de Geometria.
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* Sobre construções com canudos a RPM teve a difícil tarefa de escolher entre dois artigos: este e um outro enviado pelo
colega Ernesto Rosa Neto.
Referências Bibliográficas
[l] KALLEF, A.M. Tomando o ensino da Geometria em nossas mios. A Educação Matemática em Revista, SBEM, n° 2,
pp. 19-25, 1994.
[2] LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A.P. (ed.)- Aprendendo e ensinando Geometria. São Paulo, Atual Editora, 1994.

5. Proposta de Atividade: Verificar a relação de Euler V – A + F = 2 nos poliedros de Platão.

6. Proposta de Atividade: Verificar a relação de Euler V – A + F = 2 nos poliedros de Platão.