MÉTODO DE RUNGE KUTTA DE 4 ORDEN PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN USANDO FORTRAN 90 Y MATLAB”

1. Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la
Educación
UNIVERSIDAD NACIONAL
DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS
NATURALES Y MATEMÁTICA
FÍSICA TEÓRICA COMPUTACIONAL
“MÉTODO DE RUNGE KUTTA DE 4 ORDEN PARA
RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE
SEGUNDO ORDEN USANDO FORTRAN 90 Y
MATLAB”
MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
FÍSICO BÁSICO

2. ENUNCIADO DEL PROBLEMA:
Utilice el método de Runge-Kutta con h = 0.25 para aproximar los valores de la solución
del problema con valores iniciales:
𝒙(𝟎) = 𝟏/𝟐. 𝒙′(𝟎) = 𝟎. 𝟎
SOLUTION:
Usando fortran tenemos:
PROGRAM RUNGE_KUTTA_CUARTO_ORDEN
REAL X0,X1,Y0,Z0,RK1X,RK1V,RK2X,RK2V,RK3X,RK3V,RK4X,RK4V,H
OPEN(UNIT=12,FILE='KUTTA4.TXT',STATUS='UNKNOWN',ACTION='WRITE')
PRINT*,''
PRINT*,
'==================================================================
==='
PRINT*,'METHOD DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN CON CONDICIONES
INICIALES PARA '
PRINT*,'ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN'
PRINT*,'============================================================
=========='
PRINT*,''
PRINT*,'INGRESAR EL VALOR INICIAL DE X:'
READ(5,*)X0
PRINT*, 'INGRESAR EL VALOR FINAL DE X:'
READ*, X1
PRINT*, 'INGRESAR EL VALOR INICAL DE Y(EN X0):'
READ*, Y0
PRINT*, 'INGRESAR EL VALOR INICIAL DE Z0:'
READ*, Z0
PRINT*, 'INGRESAR LONGITUD DE PASO,H:'
READ*,H
PRINT*,''
PRINT*,('*',I=1,79)
PRINT '(5X,"RESULTADOS COMPUTACIONALES")'
PRINT*,('*',I=1,79)
PRINT*,''
N=(X1-X0)/H
K=1
PRINT 50
50 FORMAT(3X,'DATOS',5X,'TIME',8X,'POSITION',15X,"VELOCIDAD")
70 WRITE(12,60)K,X0,Y0,Z0
PRINT'(2X,I3,8X,F4.2,6X,F12.6,10X,F12.6)',K,X0,Y0,Z0
IF (X0.LE.(X1-0.0000001))THEN
DO WHILE (K < N+2)
RK1X=H*Z0
RK1V=H*F(X0,Y0,Z0)
RK2X=H*(Z0+0.5*RK1V)

3. RK2V=H*F(X0+0.5*H,Y0+0.5*RK1X,Z0+0.5*RK1V)
RK3X=H*(Z0+0.5*RK2V)
RK3V=H*F(X0+0.5*H,Y0+0.5*RK2X,Z0+0.5*RK2V)
RK4X=H*(Z0+RK3V)
RK4V=H*F(X0+H,Y0+RK3X,Z0+RK3V)
Y0=Y0+(RK1X +2*RK2X +2*RK3X+RK4X)/6
Z0=Z0+(RK1V+2*(RK2V+RK3V)+RK4V)/6
X0=X0+H
K=K+1
GOTO 70
ENDDO
END IF
60 FORMAT (2X,I3,8X,F4.2,6X,F12.6,10X,F12.6)
PRINT*,''
STOP
END PROGRAM
FUNCTION F(X,Y,Z)
REAL X,Y,Z
F=-4*Z-16*Y+0*X
RETURN
END FUNCTION
Usando Matlab tenemos:
clear;

4. clc;
t0=0.0;
tf=2.0;
x0=0.5;
y0=0.0;
f=@(t,x,y)y+0*x+0*t;
g=@(t,x,y)-4*y-16*x+0*t;
t=(t0:0.25:tf);
g1=@(t)sqrt(3)./3.*exp(-2*t).*cos(t.*2*sqrt(3)-pi./6);
T=(t0:0.02:2.5);
xe=g1(T);
n=length(t)-1;
h=(tf-t0)/n;
t(1)=t0;x(1)=x0;y(1)=y0;
fprintf('n')
disp(' 4th order Runge-Kutta simulation')
disp('______________________________________________')
disp('datos t x y ')
disp('_______________________________________________')
fprintf('n')
% 4th order Runge-Kutta simulation
fprintf('% 4.1f %6.2f %12.6f %12.6fn',1,t0,x0,y0)
for j=1:length(t)-1
rk1=h*f(t(j),x(j),y(j));
m1=h*g(t(j),x(j),y(j));
rk2=h*f(t(j)+0.5*h,x(j)+0.5*rk1,y(j)+m1*0.5);
m2=h*g(t(j)+0.5*h,x(j)+0.5*rk1,y(j)+m1*0.5);
rk3=h*f(t(j)+0.5*h,x(j)+0.5*rk2,y(j)+m2*0.5);
m3=h*g(t(j)+0.5*h,x(j)+0.5*rk2,y(j)+m2*0.5);
rk4=h*f(t(j)+h,x(j)+rk3,y(j)+m3);
m4=h*g(t(j)+h,x(j)+rk3,y(j)+m3);
x(j+1)=x(j)+(rk1+2*rk2+2*rk3+rk4)./6;
y(j+1)=y(j)+(m1+2*m2+2*m3+m4)./6;
t(j+1)=t(j)+h;
fprintf('% 4.1f %6.2f %12.6f %12.6fn',j+1,t(j+1),x(j+1),y(j+1))
end
fprintf('Final answer n');
fprintf('%12.6fn',y(n+1));
fprintf('n')
% Plot
figure1=figure('color',[1 1 1]);
plot(t,x,'--O',T,xe,'r-');
grid
legend('Runge Kutta','Exact',1);
xlabel('Time(t)');
ylabel('Amplitude');