Relaciones binarias aux

Relaciones binarias
Matemática discreta

Matemática discreta. Relaciones binarias 1

Relación binaria en A
• Dados dos conjuntos A y B, una relación R
binaria es cualquier subconjunto de AxB
• Dados a∈A y b∈B, a está relacionado con b
por R si (a,b)∈R, aRb. Si a no está
relacionado con b, es decir, (a,b)∉R,
escribimos aRb.
• Si B=A, R es una relación binaria en A.


Representación de una relación
• Formal: aRb si a y b cumplen una cierta
propiedad P.
• Diagrama sagital: aRb a b
• Matriz de adyacencia: aRb y aRc
b c
. ⎛
⎜
. . .
⎞
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
a . ⎜
⎜
⎜
1 0 .
⎟
⎟
⎟
⎜ ⎟
. ⎜
⎜
. . .
⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
. ⎜
⎝ . . .
⎟
⎠


Diagrama sagital
• Representación gráfica con flechas.
– a∈A •a
– aRb a• •b

ejemplo: A={a,b,c,d}
R={(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,a),(d,c)}
a• •b

c• •d

Matriz de adyacencia
• Matriz booleana MR=(mij)
• A={a1, ..., an} mij=1 si aiRaj
mij=0 si aiRaj
ejemplo: A={a,b,c,d}
R={(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,a),(d,c)}
⎛ ⎞
⎜
⎜
0 0 1 1 ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 1 1 0 1 ⎟ Suponemos un orden en
MR = ⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
los elementos de A, en
⎜
⎜
1 0 0 0 ⎟
⎟ este caso el alfabético.
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎝ 0 0 1 0 ⎟
⎠


Operaciones con relaciones 1
Dadas R1 y R2 sobre A
• Unión:
R1∪ R2={(a,b) ∈AxA / aR1b ó aR2b}
• Composición o producto:
R1°R2={(a,b) ∈AxA / ∃c∈A aR1c y cR2b}
– En general, R1°R2 ≠ R2°R1
– La composición es asociativa: Rn+1=Rn ° R


• M(R1∪ R2)=MR1 ⊕ MR2
• M(R1°R2)=MR1 ⊗ MR2
– ⊕ suma booleana
– ⊗ producto booleano

⊕ 0 1 ⊗ 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 1 1 0 1


Dada R sobre A={a1,..,an} y MR su matriz de
adyacencia:
• MR = OR ⇔ R=∅ (matriz nula de orden n)
• MR = 1R ⇔ R=AxA (matriz de unos de orden n)
• MRm = (MR )m, m ∈Z+ (m-ésima potencia booleana)

Rm está formada por los pares de elementos que se
pueden conectar mediante un camino de longitud m.


ejemplo
a• •b
⎛
0 1 0 0⎞⎟⎟
⎜
⎜
⎜ ⎟
⎜
0 0 1 0⎟⎟
M = ⎜
⎜ ⎟
R 0 0 0 1⎟⎟
⎜
⎜
⎜ ⎟
R={(a,b),(b,c),(c,d)}
d• •c
⎜ ⎟
⎜
⎝ 0 0 0 0⎟⎠

a• •b
⎛
0 0 1 0⎞⎟⎟
⎜
⎜
⎜ ⎟
⎜
0 0 0 1⎟⎟
M = ⎜
⎜ ⎟

R 2 0 0 0 0⎟⎟
⎜
⎜
⎜ ⎟
R2={(a,c),(b,d)}
d• •c
⎜ ⎟
⎜
⎝ 0 0 0 0⎟⎠

a• •b
⎛
0 0 0 1⎞⎟⎟
⎜
⎜
⎜ ⎟
⎜
0 0 0 0⎟⎟
M = ⎜

R
⎜
3 0 0 0 0⎟⎟
⎜
⎜
⎟
R3={(a,d)}
⎜ ⎟

d• •c
⎜ ⎟
⎜
⎝ 0 0 0 0⎟⎠


Propiedades
R definida sobre A, con matriz de adyacencia M y
Card(A)=n
• Reflexiva: [∀x∈A xRx] ⇔ In⊕M=M
• Simétrica: [∀x,y∈A xRy ⇒ yRx] ⇔ M=Mt
• Transitiva: [∀x,y,z∈A xRy, yRz ⇒ xRz] ⇔
M⊕M2=M
• Antisimétrica: [∀x,y∈A xRy , yRx ⇒ x=y] ⇔ en
M+Mt no aparece ningún 2 salvo, a lo sumo en la
diagonal.

Cierre de relaciones 1
• Cierre reflexivo: CR(R) menor relación reflexiva que
contiene a R.
– R ⊂ CR(R). − CR(R) es reflexiva
– Si S es reflexiva y tal que R⊂S, entonces CR(R) ⊂ S.
• Cierre simétrico: CS(R) menor relación simétrica que
contiene a R.
– R ⊂ CS(R). − CS(R) es simétrica
– Si S es simétrica y tal que R⊂S, entonces CS(R) ⊂ S.
• Cierre transitivo: CT(R) menor relación transitiva que
contiene a R.
– R ⊂ CT(R). − CT(R) es transitiva
– Si S es transitiva y tal que R⊂S, entonces CT(R) ⊂ S.

Cierre de relaciones 2
R definida sobre A={a1,..,an}, con matriz de
adyacencia MR .
• MCR(R) = MR ⊕ In
• MCS(R) = MR ⊕ MtR
• MCTR(R) = MR ⊕ M2R ⊕ M3R ⊕... ⊕ MnR


Relaciones de orden

Relaciones de orden
• Dada una relación binaria R definida sobre
A, se dice que R es una relación de orden
en A si verifica las propiedades:
– reflexiva
– antisimétrica
– transitiva
Se dice entonces que a está ordenado por R o
que el par (A,R) es un conjunto ordenado.


Relaciones de orden

Notación
Utilizaremos el símbolo ≤ para las relaciones
de orden.
aRb a≤b
Se lee a es anterior a b (menor o igual) o bien
b es posterior a a (mayor o igual)

• Distintas relaciones sobre un mismo
conjunto, dan lugar a distintos conjuntos
ordenados.
• a,b∈A son comparables si aRb o bRa

Relaciones de orden

ejemplo
En N, a ≤ b ⇔ ∃n ∈N / b=an
Es una relación de orden:
– reflexiva: a=a1 ∀a∈N
– antisimétrica: ∀a,b∈N si a ≤ b y b ≤ a ∃ n,m ∈N /
b=an y a=bm, entonces b= [bm]n=bm·n luego
m·n=1 y como n,m ∈N m=n=1, así a=b
– transitiva: ∀a,b,c∈N si a ≤ b y b ≤ c ∃ n,m ∈N /
b=an y c=bm, entonces c= [an]m=an·m luego si k =
n·m, ∃ k∈N /c=ak, es decir, a ≤ c


Relaciones de orden

Diagrama Hasse 1
• Dada una relación de orden R en A y R1 una
relación asociada a R tal que

aR1b ⇔ aRb y a ≠ b (a<b ⇔ a ≤ b y a ≠ b)

el diagrama Hasse de R es el diagrama sagital
de la relación HR=R1-R12
Si Card(A)=n, matricialmente:
MH =(MR-In)-(MR-In)2R


Relaciones de orden

Diagrama Hasse 2
• Permite asociar a una relación de orden un
diagrama más sencillo que el diagrama sagital.
• Construcción del diagrama Hasse a partir del
diagrama sagital:
– eliminar los bucles
– eliminar todas las flechas que puedan derivarse de
aplicar la propiedad transitiva.


Relaciones de orden

ejemplo
a• a• •e
•e

b• •d b• •d

•c •c


Relaciones de orden

Orden total y parcial
• (A, ≤) está totalmente ordenado si
cualquier par de elementos son
comparables, se dice entonces que ≤ es de
orden total. En otro caso, se dice que (A, ≤)
está parcialmente ordenado y que ≤ es de
orden parcial.
• C es una cadena de (A, ≤) si C ⊂ A y (C, ≤)
está totalmente ordenado.


Relaciones de orden

Elementos notables 1
Dados (A,≤) y C ⊂ A, C≠∅
• a∈A es cota superior de C si ∀c∈C, c≤a.
– C está acotado superiormente
– La menor de las cotas superiores es el supremo.
• a∈A es cota inferior de C si ∀c∈C, a≤c.
– C está acotado sinferiormente
– La mayor de las cotas inferiores es el ínfimo.
• El supremo y el ínfimo, si existen, han de ser
comparables con el resto de las cotas superiores o
inferiores, respectivamente.


Relaciones de orden

Dados (A,≤) y C ⊂ A, C≠∅
• a∈C es elemento maximal de C si
∀c∈C, a≤c ⇒ a=c.
• m∈C es máximo de C si ∀c∈C, c≤m.
– si existe, es el único elemento maximal de C
• a∈C es elemento minimal de C si
∀c∈C, c≤a ⇒ a=c.
• m∈C es mínimo de C si ∀c∈C, m≤c
– si existe, es el único elemento minimal de C

Relaciones de orden

• Pueden existir uno, varios o ningún elemento
maximal y minimal.
• El máximo (mínimo), cuando existe, es el
único elemento maximal (minimal).
• Si en C existe supremo (ínfimo) es único.
• Si C tiene máximo (mínimo) coincide con el
supremo (ínfimo).


Relaciones de orden

ejemplo
a• •e • {a,b,e}
– d es cota superior y supremo
– {b,e} son elementos
maximales
b• •d – no tiene máximo
– a es cota inferior, ínfimo,
mínimo y el único elemento
minimal.
•c


Relaciones de equivalencia


Dada una relación binaria R definida sobre A, se
dice que R es una relación de equivalencia
en A si verifica las propiedades:
– reflexiva
– simétrica
– transitiva



Clase de equivalencia
Dada R una relación de equivalencia en A y
a∈A, se define la clase de equivalencia de a
como [a]={x ∈A / xRa }.
• [a] ≠∅ pues a∈[a].
• [a]=[b] ⇔ ∀a,b∈A aRb
• [a]∩[b]=∅ ⇔ ∀a,b∈A aRb
• ∪a∈A[a]=A
• Cualquier elemento de [a] es un representante
de la clase.


Conjunto cociente
• Una partición de un conjunto A es una familia de
subconjuntos no vacíos de A, {Ai} disjuntos entre sí
y cuya unión es A.
∀ i Ai≠∅; Aj∩Ai=∅ ∀ i≠j; ∪Ai=A
• La relación de equivalencia R define en A una
partición formada por las clases de equivalencia.
• Llamamos conjunto cociente de A por R a
A/R={[a]/ a∈A}.
• Cada partición de A está asociada a una relación de
equivalencia definida en él.



ejemplo 1
A={palabras de n bits}
w(a) el número de unos que contiene a
aRb ⇔w(a) ≡ w(b) (mod 2)
R es de equivalencia:
– Reflexiva: aRa
w(a) ≡ w(a)(mod 2)
– Simétrica: aRb ⇒ bRa
w(a) ≡ w(b)(mod 2) ⇒ w(b)≡w(a)(mod 2)
– Transitiva: aRb y bRc ⇒ aRc
w(a)≡w(b)(mod 2) y w(b)≡w(c)(mod 2) ⇒ w(a)≡w(c)(mod 2)



ejemplo 2
R define en A una partición formada por dos
clases de equivalencia, cada una con 2n-1
elementos.
[0]={a∈A / a tiene un número par de unos}
[1]={a∈A / a tiene un número impar de unos}
Para n=3
[0]={000, 011, 101, 110}
[1]={001, 010, 100, 111}


Planificación de tareas

Planificación de tareas 1
• Tareas entre las que hay relaciones de dependencia,
unas han de realizarse antes que otras.
• Uno o varios equipos, simultáneamente, realizan las
tareas.
• Objetivo: distribuir las tareas entre los equipos
disponibles, acatando la dependencia entre tareas.
• Planificación: asignación ordenada de tareas a cada
equipo.



Planificación de tareas 2
• A: lista de tareas a realizar.
• R relación binaria sobre A
aRb ⇔ a es previo a b, es decir, a debe realizarse
antes que b.
• m∈A es minimal si ∀a∈A, aRm
• Eliminar m de (A,R) consiste en suprimir todos
los pares de R en los que a parezca m.
• A es realizable ⇔ R se puede extender a un orden
topológico.



Orden topológico 1

• Un orden topológico < es una extensión de
un orden parcial ≤ sobre un conjunto A
si se verifica que:
si a≤b entonces a<b.



Orden topológico 2
1 Iniciar T=[]
2 Mientras A≠∅
– si ∃ m∈A minimal
Incluir m en T
Eliminar m de (A,R)
Volver a (2)
– En otro caso, A no es realizable. Salir
3 Salida T orden topológico.



Planificación correcta
1 Iniciar T=[]
2 Mientras A≠∅
– si ∃ m∈A minimal y primera tarea de un equipo E
Incluir m en T
Eliminar m de (A,R) y de E
Volver a (2)
– En otro caso, P no es correcta. Salir
3 Salida T orden topológico.



Tiempo de realización de tareas
• coste de m, w(m), es el tiempo que se necesita para
realizar la tarea m, una vez terminadas las tareas
previas a m.
• t(m) tiempo que se necesita para la realización de la
tarea m, incluido el tiempo de espera necesario para
que se realicen las tareas previas a m.
t(m)=w(m) + max{t(ai) / aiRm}
• t(R)=max{t(a) / a∈A } es el tiempo mínimo en el que
se pueden realizar las tareas de A.



Tiempo mínimo para la realización
de tareas
1 Mientras existan tareas no marcadas en A
– si existe m∈A minimal no marcado
Calcular t(m)=w(m)+max{t(b) / bRm}
Marcar m
Volver a (1)
– En otro caso, A no es realizable. Salir
2 Salida t(R)=max{t(a) / a∈A}



Tiempo para la realización de
planificaciones 1
• tp(m) tiempo que se necesita para la realización de la
tarea m en la planificación P, incluido el tiempo de
espera necesario para que se realicen las tareas
previas a m y las anteriores a m en su equipo.
tp(m)=w(m) + max{tp(ai) / aiRm ó ai es anterior a m en
su equipo}
• tp(R)=max{tp(a) / a∈A } es el tiempo mínimo en el
que se pueden realizar las tareas de A en la
planificación P.



Tiempo para la realización de
planificaciones 2
– si existe m∈A minimal no marcado y primera
tarea no marcada de un equipo.
Calcular tp(m)=w(m)+max{tp(b) / bRm ó b es el
anterior a m en su equipo}
Marcar m
Volver a (1)
– En otro caso, P no es correcta. Salir
2 Salida tp(R)=max{tp(a) / a∈A}



Optimización del número de
equipos equipos 1
• W=Σw(a), a∈A
• A conjunto de n tareas
• Si P es una planificación con n equipos, se
verifica W≤ n·t(R) ⇒ n ≥ W/t(R). Esto nos
da una cota inferior para el número de
equipos necesarios para ejecutar las tareas
en el menor tiempo t(R).



Optimización del número de
equipos equipos 2
1 Iniciar los equipos Ei=[] y los tiempo ti=0, 1≤ i≤n
2 ∀ m∈A minimal
– Encontrar el menor k / tk=0 ; xk= m ; tk= w(m) ; incluir m en Ek
– Si ∃ Ei / ti ≠0
∀ j / tj = min{ti /ti ≠0}, marcar xj (último elemento de Ej) ; tj’= tj ; tj=0
∀a / xjRa y todos sus previos están marcados
• Encontrar el menor k / tk=0 ; xk=a ; tk= tj’+ w(a) ; incluir a en Ek
Volver a (3)
– R no es realizable. Salir
4 Salida P={Ei / Ei ≠[]}

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