2. Si una ecuación de primer orden 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0 en la forma
diferencial 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 tiene la propiedad de
que 𝑃(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡ⁿ 𝑃(𝑥, 𝑦) y 𝑄(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡ⁿ𝑄(𝑥, 𝑦), se dice
que tiene coeficientes homogéneos o que es una ecuación
homogénea. Una ecuación diferencial homogénea siempre
puede reducirse a una ecuación separable por medio de una
apropiada sustitución algebraica.
Se dice que 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función homogénea de grado n, si
para algún número real n, 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡ⁿ𝑓(𝑥, 𝑦).
3. Ejemplo 1
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 3 𝑥𝑦 + 5𝑦
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑥 − 3 𝑡𝑥 𝑡𝑦 + 5(𝑡𝑦)
= 𝑡𝑥 − 3 𝑡𝑥𝑦 + 5𝑡𝑦 = 𝑡 𝑥 − 3 𝑥𝑦 + 5𝑦 = 𝑡𝑓(𝑥, 𝑦)
La función es homogénea de grado uno
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 𝑦3
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡3 𝑥3 + 𝑡3 𝑦3 = 𝑡
3
2 𝑓(𝑥, 𝑦)
La función es homogénea de grado 3/2.
4. ʄ(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑦² + 1
ʄ(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) = 𝑡²𝑥² + 𝑡²𝑦² + 1 ≠ 𝑡² ʄ(𝑥, 𝑦)
ya que 𝑡²ʄ(𝑥, 𝑦) = 𝑡²𝑥² + 𝑡²𝑦² + 𝑡² . La función no es
homogénea.
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥
2𝑦
+ 4
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
𝑡𝑥
2𝑡𝑦
+ 4 =
𝑥
2𝑦
+ 4 = 𝑡0
𝑓(𝑥, 𝑦)
La función es homogénea de grado cero.
5. Ejemplo 2
ʄ(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦³ − 𝑥²𝑦²
grado
1
grado
3
grado 2
grado 4
grado 2 grado 4
La función es homogénea de grado 4.
ʄ(x,y) = x² − y
grado
2
grado
1
La función no es homogénea.
6. Método de Resolución
Una ecuación de la forma 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, en
donde P y Q tienen el mismo grado de homogeneidad, puede
reducirse a una ecuación de variables separables empleando
cualquiera de las sustituciones 𝑦 = 𝑢𝑥 o 𝑥 = 𝑣𝑦, en donde “u”
y “v” son nuevas variables dependientes. En particular, si se
elige 𝑦 = 𝑢𝑥, entonces 𝑑𝑦 = 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑢. Por lo tanto, la
ecuación diferencial se transforma en:
𝑃(𝑥, 𝑢𝑥)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑢𝑥)[𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑢] = 0
Ahora bien, por la homogeneidad de P y Q se puede escribir
𝑥ⁿ𝑃(1, 𝑢)𝑑𝑥 + 𝑥ⁿ𝑄(1, 𝑢)[𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑢] = 0
[𝑃(1, 𝑢) + 𝑢𝑄(1, 𝑢)]𝑑𝑥 + 𝑥𝑄(1, 𝑢)𝑑𝑢 = 0
7. De lo cual se obtiene
𝑑𝑥
𝑥
+
𝑄 1, 𝑢 𝑑𝑢
𝑃 1, 𝑢 + 𝑢𝑄(1, 𝑢)
= 0
El procedimiento debe desarrollarse por completo. La
demostración de que la sustitución 𝑥 = 𝑣𝑦 también conduce a
una ecuación separable.
8. Ejemplo 3
Resolver (𝑥² + 𝑦²)𝑑𝑥 + (𝑥² − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0.
Solución. 𝑃(𝑥, 𝑦) y 𝑄(𝑥, 𝑦) son ambas homogéneas de grado 2. Si hacemos 𝑦 = 𝑢𝑥, se
obtiene
(𝑥² + 𝑢²𝑥²)𝑑𝑥 + (𝑥² − 𝑢𝑥²)[𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑢] = 0
𝑥²(1 + 𝑢)𝑑𝑥 + 𝑥³(1 − 𝑢)𝑑𝑢 = 0
1 − 𝑢
1 + 𝑢
𝑑𝑢 +
𝑑𝑥
𝑥
= 0
[−1 +
2
1 + 𝑢
]𝑑𝑢 +
𝑑𝑥
𝑥
= 0
−𝑢 + 2 ln |1 + 𝑢| + ln |𝑥| + ln |𝐶| = 0 ∗
−
𝑦
𝑥
+ 2 ln |1 +
𝑦
𝑥
| + ln |𝑥| + ln |𝐶| = 0.
Aplicando las propiedades de los logaritmos, la solución precedente puede escribirse en la
forma alternativa.
𝐶(𝑥 + 𝑦)² = 𝑥𝑒
𝑦
𝑥
9. Ejemplo 4
Resolver 2𝑥³𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥⁴ + 𝑦⁴)𝑑𝑦 = 0.
Solución. Cada coeficiente es una función homogénea de grado cuatro.
Puesto que el coeficiente de 𝑑𝑦, ensayamos 𝑥 = 𝑣𝑦. Se obtiene que:
2𝑣³𝑦⁴[𝑣 𝑑𝑦 + 𝑦 𝑑𝑣] + (𝑣⁴𝑦⁴ + 𝑦⁴)𝑑𝑦 = 0
2 𝑣³𝑦⁵ 𝑑𝑣 + 𝑦⁴(3𝑣³ + 1)𝑑𝑦 = 0
2𝑣3 𝑑𝑣
3𝑣4 + 1
+ 1 +
𝑑𝑦
𝑦
= 0
1
6
ln(3𝑣⁴ + 1) + ln |𝑦| = ln |𝐶₁|
o bien 3𝑥⁴𝑦² + 𝑦⁶ = 𝐶
Si se hubiera empleado 𝑦 = 𝑢𝑥, se tendría
𝑑𝑥
𝑥
+
𝑢4+1
𝑢5+3𝑢
𝑑𝑢 = 0.
