ACERTIJO LA RUTA DEL MARATÓN OLÍMPICO DEL NÚMERO PI EN PARÍS. Por JAVIER SOL...
NUMEROS REALES - PRESENTACION.pdf
1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL ANDRES ELOY BLANCO
BARQUISIMETOEDO-LARA
PRESENTACIÓN
MARIA MENDOZA PAGES
SECCIÓN 113
2. CONJUNTOS
Es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Dichos objetos pueden ser cualquier cosa: personas, números, letras, frutas, colores.
Ejemplo: conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas.
Los objetos que lo componen se llaman elementos o miembros. Se dice que “pertenecen” al conjunto, y el símbolo con el que se indican es " ∈ " y se lee pertenece a. Para
la idea contraria se usa el símbolo ∉.
Ejemplo: 3∈A
Amarillo ∉ B,
Existen varias maneras de referirse a un conjunto; una la definición o por compresión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Y la
definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente.
3. OPERACIONES CON CONJUNTOS
Existen operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos conjuntos dados para obtener nuevos conjuntos:
➢ Unión: (símbolo ∪) la unión de dos conjuntos se representa como 𝐴 ∪ 𝐵, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos.
𝐴 ∪ 𝐵 = { 𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝑥 ∈ 𝑏}
➢ Intersección: (símbolo ∩) la intersección de los conjuntos A y B es el conjunto 𝐴 ∩ 𝐵 de los elementos comunes A y B
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝑥 ∈ 𝐵}
➢ Diferencia (símbolo) la diferencia del conjunto A con B es el conjunto AB que resulta de eliminar de A cualquier elemento que
esté en B
A B = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑎 ∩ 𝑥 ∉ B}
➢ Complemento: el complemento de un conjunto A es el conjunto 𝐴𝑐
que contiene todos los elementos que no pertenecen a A,
respecto a un conjunto ∪ que lo contiene
𝐴𝑐
= {𝑥 ∈ ∪ 𝑥 ∉ 𝐴 }
Ejemplo de operación con conjunto: {1, 𝐴, 0} ∪ {2, 𝐵} = {2, 𝐵, 1, 𝐴, 0}
4. NUMEROS REALES
Son aquellos números que tiene expansión decimal periódica o tiene expansión decimal no periódica
Ejemplo:
a. 3 es real puesto que 3=3,00000000000…
b. ½ es real ya que ½=0,5000000000…
c. ⅓ es real porque ⅓=0,33333333333333…
d. 2 es real ya que 2=1,41421356237309504880168801688724209…
e. También 0,1234567891011121314151617181920212223… es un número real.
f. 1,01001000100001000001000000100000001…
g. N también es real
a, b y c tienen expansión decimal periódica, estos se llaman números racionales (denotados por Q).
d, e, f y g tienen expansión decimal no periódica y se llaman irracionales (denotados por I).
5. Claramente, la propiedad de tener expansión decimal periódica para los racionales y la propiedad de tener expansión decimal no periódica para los irracionales define
dos tipos de números distintos. Lo que significa que un número real es racional o irracional.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de números, los racionales y los irracionales.
Los números racionales se clasifican en:
• Números naturales (n).
• Números enteros (z).
• Números fraccionarios.
• Números algebraicos.
• Números transcendentales.
6. PROPIEDAD DE LOS NUMEROS REALES
Propiedad conmutativa
Operación: suma y resta
Definición: a + b = b + a
Que dice:
El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.
Ejemplo: 2 + 8 = 8 + 2 5 ( -3) = (-3) 5
Propiedad asociativa
Operación: suma y multiplicación
Definición: a + (b + c) = (a + b) + c… a (b c) = (ab) c
Que dice:
Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.
Ejemplo: 7 + (6 + 1) = (7 + 6) + 1… -2 (4 x 7) = (-2 x 4) 7
7. Propiedad identidad
Operación: suma y multiplicación
Definición: a + 0 = a … a x 1 = a
Que dice:
Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.
Ejemplo: -11 + 0 = -11 17 x 1 = 17
Propiedad inversos
Operación: suma y multiplicación
Definición: a + (-a) = 0… (a) 1/a = 1
Que dice:
La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.
Ejemplo: 15 + (-15) = 0 ¼ (4) = 1
8. DESIGUALDADES
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos
< menor que 2 x -1 < 7
≤ menor o igual que 2 x -1 ≤ 7
> mayor que 2 x -1 > 7
≥ mayor o igual que 2 x -1 ≥ 7
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que lo verifica. Esta se expresa mediante; una representación gráfica y un intervalo.
Inecuaciones equivalentes
Si los dos miembros de una inecuación se multiplican o dividen por un mismo negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
2 x < 6 2x: 2 < 6: 2 x < 3
9. Al contrario, si a los dos miembros de una inecuación se multiplican o dividen por el mismo número negativo, el resultado cambia de
sentido y es equivalente a la dada.
- X < 5 (-x). (-1) > 5. (-1) x > - 5
DESIGUALDADES DE VALOR ABSOLUTO
Esta es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro.
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos cosas que se deben considerar.
Caso 1: la expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: la expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La interacción de las soluciones de estos dos casos es la solución.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si ⎹ a ⎹ > b, entonces a > b 0 a < -b
10. VALOR ABSOLUTO
El módulo o valor absoluto de un número real x, denotado por ⎹x⎹, es el valor de x sin considerar el signo, ya sea positivo o
negativo. Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor absoluto de -3 es 3. Algunos autores extienden la noción de valor
absoluto a los números complejos, donde el valor absoluto coincide con el módulo. Está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes
contextos matemáticos y físicos.
