Ejercicios sobre factorizar polinomios.

1. Matemáticas Académicas
www.aulamatematica.com 1
MECANISMOS DE FACTORIZACIÓN
Factorizar es escribir una expresión algebraica en forma de factores.
En la práctica, cuando se trata de factorizar un polinomio, es muy cómodo seguir el siguiente
esquema:
1º Investigamos si se puede sacar factor común.
2º Comprobamos si se trata de un trinomio cuadrado perfecto.
3º Observamos si es una diferencia de cuadrados.
4º Si es un polinomio de segundo grado (que NO es un trinomio cuadrado perfecto)
lo factorizamos utilizando la fórmula para el cálculo de las raíces de la ecuación de segundo
grado.
5º Si es un polinomio de segundo o mayor grado lo factorizamos por medio de la
regla de Ruffini.
6º Comprobamos si se trata de una doble descomposición.
¡¡ Seguir este orden puede simplificarnos enormemente la factorización en
tiempo y dificultad!!
¿Empezamos
ya?
EJERCICIOS: Factoriza las siguientes expresiones algebraicas, procurando seguir el
orden propuesto en el epígrafe anterior para conseguir tardar el menor tiempo posible en cada
uno de los ejercicios:
040. d2
– e2
RESOLUCIÓN:
= (d + e) (d – e)
041. x2
– 9y2
RESOLUCIÓN:
x2
– (3y)2
=
= (x + 3y) (x – 3y)
042. 9 – 4x2
RESOLUCIÓN:
32
– (2x)2
=
= (3 + 2x) (3 – 2x)
043. x2
– 4c2
RESOLUCIÓN:
x2
– (2c)2
=
= (x + 2c) (x – 2c)

2.  Marta Martín Sierra
Polinomios2
044. x2
– 1
RESOLUCIÓN:
= (x + 1) (x – 1)
045. x4
– y4
RESOLUCIÓN:
(x2
)2
– (y2
)2
=
= (x2
+ y2
) (x2
– y2
) =
= (x2
+ y2
) (x + y) (x – y)
046. 9x – x3
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común?
x (9 – x2
) =
= x ·(3 + x)·(3 – x)
047. 4x2
– 9
RESOLUCIÓN:
= (2x)2
– 32
=
= (2x + 3)·(2x – 3)
048. 8 – 2x2
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común?
SÍ  2·(4 – x2
) =
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto? NO 3.– ¿Diferencia de cuadrados?
= 2·(2 + x)·(2 – x)
049. 16 – x4
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común? NO
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto? NO 3.– ¿Diferencia de cuadrados?
= 42
– x4
= (4 + x2
) · (4 – x2
) =
= (4 + x2
) (2 + x) (2 – x)
050. 32 – 2x4
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común?
= 2(16 – x4
) =
= 2·(4 + x2
) · (4 – x2
) =
= 2(4 + x2
)·(2 + x)·(2 – x)
051. 2x2
– x – 6
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común? NO
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto? NO 3.– ¿Diferencia de cuadrados? NO
4.– Aplicamos fórmula de ecuación de 2º grado para obtener las raíces:
FÓRMULA PARA CALCULAR LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE 2º GRADO.
x =
a
cabb


2
42

3. Matemáticas Académicas
www.aulamatematica.com 3
x =
22
62411
·
)(
=
4
4811 
=
4
71
=













2
4
8
4
71
2
3
4
6
4
71
Nota: La ecuación de segundo grado la resolveremos con la calculadora, tal y como
hemos visto en clase.
= 2·(x + 3/2)·(x – 2)
Nota: No se debe olvidar el coeficiente del término de grado 2 cuando factoricemos, es
decir, el 2.
052. x2
– 4x – 5
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común? NO
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto? NO 3.– ¿Diferencia de cuadrados? NO
4.– Aplicamos fórmula de ecuación de 2º grado para obtener las raíces:
x =
12
)5(14164


=
2
20164 
=
=
2
64 
=












5
2
64
1
2
2
2
64
(x + 1)·(x – 5)
053. x2
+ 4x + 4
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común? NO
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
(x + 2)2
Otro método, aplicando la fórmula de la ecuación de 2º grado:
x =
12
414164


=
2
16164 
=
2
04 
=










2
2
04
2
2
04
= (x + 2) (x + 2) =
= (x + 2)2
054. – x2
+ 8x – 16
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común?
– (x2
– 8x + 16)
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
– (x – 4)2
Si optamos por el método largo ya que no nos damos cuenta de que se trata de un
trinomio cuadrado perfecto…
x =
)1(2
)16()1(4648


=
2
64648


=
2
08


=












4
2
08
4
2
08
= – (x – 4) (x – 4) =
= – (x – 4)2

4.  Marta Martín Sierra
Polinomios4
055. 3x2
+ 3x – 6
RESOLUCIÓN:
Método I
1.– ¿Se puede sacar factor común?
SÍ  3 (x2
+ x – 2)
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto? NO 3.– ¿Diferencia de cuadrados? NO
4.– Aplicamos fórmula de ecuación de 2º grado para obtener las raíces:
x2
+ x – 2
x =
12
)2(1411


=
2
811 
=
2
31
=












2
2
4
2
31
1
2
2
2
31
3·(x – 1)·(x + 2)
Método II
3x2
+ 3x – 6
x =
32
63493

 )(
=
6
7293 
=
6
93 
=












2
6
12
6
93
1
6
93
3·(x – 1)·(x + 2)
056. – x2
– 6x – 9
RESOLUCIÓN:
Método I
1.– ¿Se puede sacar factor común?
– (x2
+ 6x + 9)
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto?
– (x + 3)2
Método II
– x2
– 6x – 9
x =
)(
)()(
12
914366


=
2
36366


=
2
06


=












3
2
06
3
2
06
= –(x + 3)·(x + 3) =
= – (x + 3)2
Nota: No se debe olvidar el coeficiente del término de grado 2 cuando factoricemos, es
decir, el -1.
057. 3x2
– 9x – 120
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común?
SÍ  3 (x2
– 3x – 40)
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto? NO 3.– ¿Diferencia de cuadrados? NO
4.– Aplicamos fórmula de ecuación de 2º grado para obtener las raíces:
x2
– 3x – 40
x =
12
)40(1493


=
2
16093 
=
2
133
=












5
2
10
2
133
8
2
16
2
133

5. Matemáticas Académicas
www.aulamatematica.com 5
3·(x – 8)·(x + 5)
Nota: No se debe olvidar el coeficiente del término de grado 2 cuando factoricemos, es
decir, el 3.
058. x2
– 2x – 3
RESOLUCIÓN:
1.– ¿Se puede sacar factor común? NO
2.– ¿Trinomio cuadrado perfecto? NO 3.– ¿Diferencia de cuadrados? NO
4.– Aplicamos fórmula de ecuación de 2º grado para obtener las raíces:
x =
12
)3(1422 2


=
2
1242 
=
2
42 
=












1
2
2
2
42
3
2
6
2
42
(x – 3)·(x + 1)