1. Polinomios. División de polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto
Marta Martín Sierra
TEOREMA DEL RESTO
TEORÍA Enuncia y demuestra el "Teorema del resto".
RESOLUCIÓN:
El resto de la división de un polinomio P(x) entre x – a es el valor numérico del polinomio
para x = a
Demostración:
Sea una división cualquiera:
P(x) x – a
R(x) C(x)
Dividendo = divisor · cociente + resto
P(x) = (x – a) · C(x) + R(x)
para x = a
P(a) = (a – a) · C(a) + R(a)
P(a) = R(a)
c.s.q.d.
Aplicaciones básicas
10 Efectúa P(x) = x4
– 4x3
+ x – 2 entre x + 2 y comprueba el resultado con la ayuda
del teorema del resto.
RESOLUCIÓN:
Este es un caso en el que nos está permitido efectuar la división por el método de Ruffini:
x4
– 4x3
+ x – 2 : x + 2
1 – 4 0 1 – 2
– 2 – 2 12 – 24 + 46
1 – 6 12 – 23 44
Cociente: x3
– 6x2
+ 12x – 23
Resto: 44
Comprobación con la ayuda del Teorema del Resto:
P(– 2) = (– 2)4
– 4(– 2)3
+ (– 2) – 2
P(– 2) = 16 + 32 – 4
P(– 2) = 44
12 Efectúa P(x) = 2x4
+ 4x2
+ x – 3x2
entre x – 3 y comprueba el resultado con la
ayuda del teorema del resto.
RESOLUCIÓN:
Este es un caso en el que nos está permitido efectuar la división por el método de Ruffini:
2x4
+ 4x2
+ x – 3x2
: x – 3
2x4
+ x2
+ x : x – 3
2 0 1 1 0
3 6 18 57 174
2 6 19 58 174
Cociente: 2x3
+ 6x2
+ 19x + 58
Resto: 174
Comprobación con la ayuda del Teorema del Resto:
P(3) = 2·34
+ 4·32
+ 3 – 3·32
P(3) = 162 + 36 + 3 – 27
P(3) = 174
14 Efectúa P(x) = x4
– 3x3
+ x2
– x + 2 entre x – 2 y comprueba el resultado con la
ayuda del teorema del resto.
RESOLUCIÓN:
Este es un caso en el que nos está permitido efectuar la división por el método de Ruffini:
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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
1 – 3 1 – 1 2
2 2 – 2 – 2 – 6
1 – 1 – 1 – 3 – 4
Cociente: x3
– x2
– x – 3
Resto: – 4
Comprobación con la ayuda del Teorema del Resto:
P(2) = 24
– 3·23
+ 22
– 2 + 2
P(2) = 16 – 24 + 4 – 2 + 2
P(2) = – 4
15 Efectúa P(x) = x4
+ x – 3 entre x – 2 y comprueba el resultado con la ayuda del
teorema del resto.
RESOLUCIÓN:
Este es un caso en el que nos está permitido efectuar la división por el método de Ruffini:
1 0 0 1 – 3
2 2 4 8 18
1 2 4 9 15
Cociente: x3
+ 2x2
+ 4x + 9
Resto: 15
Comprobación con la ayuda del Teorema del Resto:
P(2) = 24
+ 2 – 3
P(2) = 16 + 2 – 3
P(2) = 15
17 Efectúa P(x) = 3x5
– 2x3
+ x – 3 entre x – 2 y comprueba el resultado con la
ayuda del teorema del resto.
RESOLUCIÓN:
Este es un caso en el que nos está permitido efectuar la división por el método de Ruffini:
3 0 – 2 0 1 – 3
2 6 12 20 40 82
3 6 10 20 41 79
Cociente: 3x4
+ 6x3
+ 10x2
+ 20x + 41
Resto: 79
Comprobación con la ayuda del Teorema del Resto:
P(2) = 3·25
– 2·23
+ 2 – 3
P(2) = 96 – 16 + 2 – 3
22 Efectúa P(x) = x5
– 1 entre x + 2 y comprueba el resultado con la ayuda del
teorema del resto.
RESOLUCIÓN:
Este es un caso en el que nos está permitido efectuar la división por el método de Ruffini:
1 0 0 0 0 – 1
– 2 – 2 4 – 8 16 – 32
1 – 2 4 – 8 16 – 33
Cociente: x4
– 2x3
+ 4x2
– 8x + 16
Resto: – 33
Comprobación con la ayuda del Teorema del Resto:
P(– 2) = (– 2)5
– 1
P(– 2) = – 32 – 1
P(– 2) = – 33
23 Efectúa – 5x4
+ 3x2
– 2x entre x + 3
RESOLUCIÓN:
3. Polinomios. División de polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del resto
Marta Martín Sierra
Este es un caso en el que nos está permitido efectuar la división por el método de Ruffini:
– 5 0 3 – 2 0
– 3 15 – 45 126 – 372
– 5 15 – 42 124 – 372
Cociente: – 5x3
+ 15x2
– 42x + 124
Resto: – 372
Comprobación con la ayuda del Teorema del Resto:
P(– 3) = – 5(– 3)4
+ 3(– 3)2
– 2(– 3)
P(– 3) = – 5·81 + 3·9 – 6
P(– 3) = – 405 + 27 – 6
P(– 3) = – 372
REPASO DE DIVISIONES
12 Dados los polinomios P(x) = 6x5
– 4x3
+ 2x y Q(x) = x4
– 4x3
+ 3x2
+2x + 2
Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones: P(x) : Q(x)
RESOLUCIÓN:
6x5
+ 0x4
– 4x3
+ 0x2
+ 2x + 0 x4
– 4x3
+ 3x2
+ 2x + 2
– 6x5
24x4
– 18x3
– 12x2
– 12x + 6x + 24
+24x4
– 22x3
– 12x2
– 10x + 0
– 24x4
+ 96x3
– 72x2
– 48x – 48
+ 74x3
– 84x2
– 58x – 48
Cociente: + 6x + 24 ; Resto: 74x3
– 84x2
– 58x – 48
13 Efectúa la siguiente división de polinomios: (x5
– 1) : (x2
+ 1)
RESOLUCIÓN:
x5
+ 0x4
+ 0x3
+ 0x2
+ 0x – 1 x2
+ 1
– x5
– x3
x3
– x
– x3
+ 0x2
– 1
+ x3
+ x
+ x – 1
Cociente: x3
– x ; Resto: x – 1
14 Dados los polinomios P(x) = x4
– 4x3
+ x – 2 y Q(x) = x4
+ 3x2
– 4x3
+ 2x + 2
Halla el cociente y el resto de la siguiente división: Q(x) : P(x)
RESOLUCIÓN:
x4
– 4x3
+ 0x2
+ x – 2 x4
– 4x3
+ 3x2
+ 2x + 2
– x4
+ 4x3
– 3x2
+ 2x – 2 + 1
– 3x2
+ 3x – 4
Cociente: 1; Resto: – 3x2
+ 3x – 4
