Descripción de los elementos de la Elipse y su ecuación

1. Elipse

2. Índice
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La Elipse.
La Elipse como lugar geométrico.
Elementos de la elipse.
Ecuación analítica de la elipse.
Ejemplo.
Propiedades de reflexión de la elipse.

3. Elipse

La elipse, se origina al
cortar un cono con un
plano que no pase por el
vértice del cono y cuyo
ángulo de inclinación
respecto al eje del cono
es mayor que el de la
generatriz del cono.
Eje
Elipse
Plano
Generatriz
Vértice

4. La Elipse como lugar
Geométrico

Elipse es el
lugar geométrico
de los puntos de
un plano cuya
suma de
distancias a dos
puntos fijos,
llamados focos,
es constante.

5. Elementos de la Elipse

B
P
En toda elipse convine
considerar:
F y F´: Son los puntos fijos llamados
focos.
A´
F´
F
B´
2c
2a
A
2c: Se le llama distancia focal y es la
distancia que hay entre los dos
focos.
P: Cualquier punto de la elipse.
PF y PF´: Son los radio vectores de
la elipse.
2a: Es la suma de los radio vectores.

6. Elementos de la Elipse
Eje focal: Es la recta que
pasa por los focos.
B
P
Eje secundario: Es la
mediatriz del segmento
FF´.
C: Es el centro de la Elipse.
B y B’ A y A’ : Son los
vértices de la elipse.
AA’: Es el eje mayor de la
elipse y su longitud es 2a.
BB’: Es el eje menor de la
elipse y su longitud es 2b.
2b
A´
F´
C
B´
2c
2a
F
A

7. Ecuación Analítica de la Elipse
• Para simplificar la explicación ubiquemos a
los focos sobre el eje de las x, situados en los
puntos F (c,0) y F' (– c,0).
• Tomemos un punto cualquiera P de la elipse
cuyas coordenadas son (x, y).
• En el caso de la elipse la suma de las
distancias entre PF y PF' es igual al doble del
radio sobre el eje x.
• Entonces: PF + PF' = 2a.
• Aplicando Pitágoras tenemos que:

8. • Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las
raíces y desarrollamos los cuadrados

9. •A partir del dibujo y aplicando Pitágoras
podemos obtener que:
a2 = b2 + c2 b2 = a2 – c2
•Piensa que cuando el punto P es (0,b) la
hipotenusa debe medir a y el otro cateto c
•Reemplazando en la ecuación tenemos que:
b2x2 + a2y2 – a2b2 = 0
•Dividiendo entre a b
2
2
b2x2 + a2y2 = a2b2
obtenemos que:

10. • Si la elipse estuviese centrada en un punto
cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
• Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que:
b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0
• Si hacemos:
A = b2
B = a2
C = – 2pb2
D = – 2qa2
E = p2b2 + q2a2 – a2b2
• Tendremos la ecuación: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0,
donde podemos comprobar que es igual que la de la
circunferencia excepto que los términos A y B no
necesitan ser iguales.

11. Ejemplo

Esbócese la elipse 9x2 + 25y2 = 225.
y2 x2
Al dividir entre 225 se obtiene:
+
=1
25 9
Como el denominador de x2 es mayor que
y2, el eje mayor esta a lo largo de el eje
x.
Además a2 = 25, b2 = 9 y c2 = 16 por
consiguiente los vértices están en
( ±5, 0), los extremos del eje menor en
( 0, ±3) y los focos en ( ±4, 0).
Haz click y
observa la gráfica

12. Propiedad de reflexión de la elipse:

Apolonio demostró que si se coloca
una fuente de luz en el foco de un
espejo elíptico, entonces la luz
reflejada en el espejo se concentra en
el otro foco.