En este trabajo se presenta un pequeño resumen sobre los principales temas a conocer para la resolución de ecuaciones diferenciales.

1. RESUMEN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
Por: Javier Merizalde

2. CONTENIDO
ECUACIONES
DIFERENCIALES
UNIDAD 1: Introducción a las ecuaciones
diferenciales.
Tipo
Orden
Linealidad
Problemas con valores iniciales
UNIDAD 2: Ecuaciones diferenciales ordinarias de
Primer Orden.
Método Variables Separables
Método Factor Integrante
Ecuaciones Diferenciales Exactas
Método Variación de la Constante.
Sustituciones y Transformaciones

3. ECUACIONES
DIFERENCIALES
UNIDAD 3 y 4: Ecuaciones
Diferenciales de segundo Orden y
de Orden Superior
Problemas con Valores Iniciales
Funciones Linealmente Independientes y
Linealmente dependiente.
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.
Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas.
CONTENIDO

4. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
TIPO
• Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
• Presentan una sola variable dependiente e independiente.
• Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)
• Presentan dos o más variables dependientes e independientes.
ORDEN
• El orden esta dado por la mayor derivada presente.
Orden 4
Orden 2
LINEALIDAD
• Una EDO es lineal si tiene la forma:
Caso no Lineal : Los recuadros en rojo señalan los casos en los cuales no se
cumple la linealidad

5. PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
• Consiste en encontrar una solución particular y(x) que cumple ciertas condiciones dadas.
Procedimiento
1. Encontrar la solución n-paramétrica.
2. Usar los valores iniciales para hallar los “n” parámetros.
3. Escribir la solución particular.
EJM
A) Se suelta un objeto a 300 m de altura, hallar su posición a los 5 segundos.
UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

6. • Método Variables Separables
Dada la Ecuación Diferencial; , si . Se puede separar en dos factores g(x) y h(x), entonces se habla
de una E.D de variables separables.
EJM
A) Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

7. • Método Factor Integrante
Procedimiento:
1. Escribir la E.D en su forma estándar
2. Encontrar el factor integrante.
3. Escribir
4. Resolver la integral y despejar (y).
EJM
A) Resolver la siguiente ecuación diferencial
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

8. Una ecuación diferencia es
exacta si existe una función , tal que
y
• Ecuaciones Diferenciales Exactas (CASO 1)
Procedimiento
1. Verificar que es exacta
2. Reemplazar M(x,y) en la ecuación
3. Derivar ambos lados
4. Despejar g(y)
5. Reemplazar g(y) en la respuesta del paso 2
donde f(x,y)=C
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

9. • Ecuaciones Diferenciales Exactas (CASO 1)
EJM
A) Resolver la siguiente ecuación diferencial
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

10. • Ecuaciones Diferenciales Exactas (CASO 2)
Procedimiento
1. Verificar que es exacta
2. Reemplazar N(x,y) en la ecuación
3. Derivar ambos lados
4. Despejar h(x)
5. Reemplazar h(x) en la respuesta del paso 2
donde f(x,y)=C
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

11. • Ecuaciones Diferenciales Exactas (CASO 1)
EJM
A) Resolver la siguiente ecuación diferencial
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

12. • Método Variación de la Constante
Procedimiento
1. Escribir la ecuación de forma estándar.
2. Igualar la Ecuación a 0 y encontrar y.
3. La C ahora es una función.
4. Reemplazar y, y’ en la ecuación de la forma estándar del paso
5. Despejar C y reemplazar en el resultado del paso 2.
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

13. EJM
A) Resolver la siguiente ecuación por el método de variación de la constante
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

14. • SUSTITUCIONES Y TRANSFORMACIONES
1. Ecuaciones homogéneas
Cambio de variable
EJM
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

15. • 2. Ecuaciones de Bernoulli:
Procedimiento
1. La ecuación debe estar de la forma:
2. Se debe realizar el cambio de variable y derivo a ambos lados:
3. Multiplico todo por
4. Reemplazar (3) y (4) en (2)
EJM
A) Resolver la siguiente ecuación diferencial de Bernoulli (ver siguiente diapositiva)
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

16. UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

17. • 2. Ecuaciones de Ricatti:
Procedimiento
1. Debe tener la forma: , además se tiene una solución particular
2. Realizar los cambios de variables:
3. Se halla la ecuación de Bernoulli y se procede a resolver normalmente como se indica en el anterior tema.
EJM
A) Resolver la siguiente ecuación diferencial de Ricatti (ver siguiente diapositiva)
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

18. UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.

19. • PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
• Sean funciones continuas en un intervalo I, y en todo el intervalo I;
entonces existe una única solución y(x)
EJM
A) Comprobar que es una solución única de con valores iniciales
Analizamos los valores iniciales
Son Solución
Una vez se comprueba que hay solución se verifica que sea única
Si es solución
UNIDAD 3 Y 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE
ORDEN SUPERIOR.

20. • FUNCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Y LINEALMENTE DEPENDIENTE.
Sean soluciones linealmente independientes
de la E.D homogénea (1)
Entonces son un conjunto fundamental de soluciones donde :
Es la solución general de (1)
A) Demuestre que son soluciones linealmente independientes de
Y encuentre la solución general de la homogénea.
NOTA: Para comprobar si son o no linealmente independientes aplicamos el Wronskiano; si w es igual a cero se dice que es
linealmente dependiente, caso contrario es linealmente independiente.
UNIDAD 3 Y 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE
ORDEN SUPERIOR.

21. • Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.
• Para poder resolver las Ecuaciones diferenciales No
Homogéneas es necesario resolver antes la Homogénea
Asociada. Para resolver la Homogénea debemos hallar la
ecuación característica, la cual presenta tres casos:
1) Raíces Diferentes
2) Raíces Reales iguales
Por cada vez que se repita un valor de m se aumenta una x a la
solución; es decir:
Si no se Repite
si se repite una vez es:
Si se repite dos veces:
Si se repite tres veces: , etc.
3) Raíces complejas conjugadas
Se identifica alfa y teta, cuando se reemplaza en la
ecuación no se toma en cuanta el signo de teta
pero si el de alfa.
En el caso de las raíces negativas debemos sacar
UNIDAD 3 Y 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE
ORDEN SUPERIOR.

22. UNIDAD 3 Y 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE
ORDEN SUPERIOR.
RAÍCES DIFERENTES
EJM
RAÍCES REALES IGUALES RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS

23. • Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas.
• Método de Coeficientes Indeterminados
Procedimiento
1. Encontrar la Yh o la homogénea asociada
2. Encontrar una solución particular Yp
3. Yg= Yh + Yp
EJM
A) Resolver la siguiente Ecuación diferencial no homogénea por el método de coeficientes indeterminados
(ver siguiente diapositiva)
UNIDAD 3 Y 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE
ORDEN SUPERIOR.

24. UNIDAD 3 Y 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE
ORDEN SUPERIOR.
Método de Coeficientes Indeterminados
Solución general

25. • Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas.
• Método del Anulador
Procedimiento
1. Escribir la E.D en su forma estándar.
2. Determinar el anulador de g(x).
3. Multiplicar el anulador por ambos lados de la ecuación, por definición L * g(x)=0
4. Resolver la E.D Homogénea.
5. Diferenciar yp de yh
6. Resolver yp por el método de Coeficientes Indeterminados.
EJM
A) Resolver la siguiente Ecuación diferencial no homogénea por el método del Anulador
(ver siguiente diapositiva)
UNIDAD 3 Y 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE
ORDEN SUPERIOR.

26. UNIDAD 3 Y 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE
ORDEN SUPERIOR.
Método del Anulador
Yp
Solución general

27. • Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas.
• Método Variación del Parámetro
1. Pasar a
2. Las Constantes C1 y C2 ahora son funciones U1 y U2.
3. Aplicamos la fórmula y encontramos U1
4. Aplicamos la fórmula y encontramos U2
5. Encontramos la solución General o yg.
EJM
A) Resolver la siguiente Ecuación diferencial no homogénea por el método de Variación del Parámetro
(ver siguiente diapositiva)
UNIDAD 3 Y 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE
ORDEN SUPERIOR.

28. UNIDAD 3 Y 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE
ORDEN SUPERIOR.
Método Variación del Parámetro
Solución general

29. GRACIAS POR SU ATENCIÓN