Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica que las ecuaciones diferenciales relacionan variables dependientes, sus derivadas e independientes. Clasifica las ecuaciones diferenciales en ordinarias y parciales. Luego, describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden, como variables separables, factor integrante, exactas y variación de constantes. Finalmente, introduce conceptos sobre ecuaciones de segundo orden como problemas de valores iniciales y homogéneas.
2. Unidad 1 introducción a las Ec
diferenciales
• Es una ecuación que relaciona variables
dependientes, sus derivadas y variables
independientes.
3. Clasificacion:
• Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
• Presentan una sola variable dependiente e
independiente
• Ecuaciones diferenciales parciales (EDP)
• Presentan 2 o mas variables dependientes e
independientes
4. • Linealidad
• Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si
tiene forma
• 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 𝑛
+ 𝑎 𝑛+1 𝑥 𝑦 𝑛−1
….
5. Ecuaciones diferenciales de 1er orden
• Ecuacion diferencial de variables separables
• Dada la ED
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 si 𝑓 𝑥, 𝑦 se puede
separar en dos fatores g(x) y h(y), entonces se
habla de una ED de variables separables.
6. Método del factor integrante
• U(X) factor integrante
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑢 ∗ 𝑔 = 𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑦
• Procedimiento:
• Escribir la ED en su forma estándar
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥
• Encontrar el factor integrante 𝑈 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑎𝑥
• Escribir 𝑢 ∗ 𝑔 = 𝑢𝑓 𝑥 𝑑𝑥
• Resolver, integrar, despejar, etc.
7.
8. Ecuaciones diferenciales exactas
• Una ED 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0, es exacta si existe una
funcion 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 tal que:
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 𝑀(𝑥, 𝑦) y
𝑑𝑓
𝑑𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Procedimiento para EDO 1er orden exacta
1. Verificar que 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0es exacta
𝑑𝑀
𝑑𝑦
=
𝑑𝑁
𝑑𝑥
2. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦(𝑔)
3.
𝑑
𝑑𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑑
𝑑𝑦
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔′(𝑦)
4. Despejar g(y)
5. Reemplazar en (2) f(x,y)=c
19. Existencia y unicidad de un PVI (n simo
orden)
• Sean 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑎 𝑛−1 𝑥 , … , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥)
funciones continuos en un intervalo I y
𝑎 𝑛(𝑥) ≠ 0 en todo el intervalo I entonces
existe una única solución g(x)
20. Ecuaciones diferenciales homogéneas
• Dadas las soluciones 𝑦1 = 𝑥2
y 𝑦2 = 𝑥2
𝑙𝑛𝑥 de
la ED homogénea 𝑥3
𝑦′′′
− 2𝑥𝑦′
+ 4𝑦 = 0
encuentre dos soluciones mas de (i) y
demuestre que satisfacen la ED.
21. Wronskiano
• Dadas las funciones 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … , 𝑓𝑛(𝑥) el
wronskiano asociado se define como :
• Si w=0 entonces: 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … , 𝑓𝑛 son
linealmente independientes
• Si 𝑤 ≠ 0 entonces 𝑓1 𝑥 , 𝑓2(𝑥) son
linealmente independientes
22. Solución general Ec no homogénea
• Sea 𝑦𝑝 solucion de (1) y 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 un
conjunto fundamental de soluciones de (2)
entonces la solucion general de (1) es:
• 𝑦 𝑔 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐1 𝑦2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑦𝑛 + 𝑦𝑝
