Ecuaciones Diferenciales

1. Ecuaciones Diferenciales
Universidad Autónoma del Estado de Morelos
Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería
Ecuaciones Diferenciales
Grupo B
Ejercicios
Leonidez Sánchez Mateo
Leonidez Sánchez Mateo Página 1

2. Ecuaciones Diferenciales
ECUACION DIFERENCIALES
1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
EJERCICIOS:
Del ejerció 1 al 16, establezca si la ecuación es ordinaria o parcial, lineal o no lineal, y de su
orden.
1. . Segundo orden, no lineal, parcial.
2. . Segundo orden, no lineal, parcial.
3. . Primer Orden, no lineal, ordinaria.
4. . Primer orden, lineal, ordinaria
5. . Tercer orden, lineal, ordinaria.
6. . Segundo orden, no lineal, ordinaria.
7. .Segundo orden, no lineal, parcial.
8. . Cuarto orden, no lineal, parcial.
9. x . Segundo orden, no lineal, parcial.
10. . Primer orden, lineal, parcial.
11. . Primer orden, lineal, ordinaria.
12. . Segundo orden, no lineal, ordinaria
13. . Cuarto orden, no lineal, parcial.
14. . Primer orden, no lineal, ordinaria.
15. . Segundo orden, lineal, ordinaria.
16. . Primer orden, no lineal, ordinaria.
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales del 1 al 5.
1. .
2. .
Leonidez Sánchez Mateo Página 2

3. Ecuaciones Diferenciales
3. .
4. .
5. .
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales 6 a la 10.
6. .
7. .
=
=
8. .
= =
=
9. .
10. .
Leonidez Sánchez Mateo Página 3

4. Ecuaciones Diferenciales
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN:
Obtenga la solución particular que satisfaga la condición inicial dada.
1.
2.
3.
=
=
4.
= = =
=
En siguientes ejercicios obtenga la solución general.
1.
Se resuelve por variables separables:
Donde:
.
Simplificando:
Leonidez Sánchez Mateo Página 4

5. Ecuaciones Diferenciales
Se divide en ambos lados :
Se integra en ambos lados con respecto a x:
Se evalúan las dos integrales:
Se resuelve para y(x):
Se simplifica la constante arbitraria:
Respuesta:
2.
Se resuelve por variables separables :
Se resuelve para
Se divide en ambos lados por :
Se integran ambas partes con respecto a x:
Leonidez Sánchez Mateo Página 5

6. Ecuaciones Diferenciales
Igualando las integrales:
Resolviendo por f(x):
Simplificando la constante arbitraria:
La respuesta es: .
3.
Resolviendo por variables separables
Se resuelve para :
Se divide en ambos lados por :
Integrando ambas partes con x:
Igualando las integrales:
Resolviendo por y(x):
Leonidez Sánchez Mateo Página 6

7. Ecuaciones Diferenciales
Simplificando arbitrariamente las constantes:
La respuesta es:
4.
Se resuelve para :
Integrando ambas partes con respecto a x:
La respuesta es:
5.
Resolviendo por variables separables :
Resolviendo para :
Se dividen ambas partes por :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando ambas integrales:
Resolviendo por f(x):
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8. Ecuaciones Diferenciales
Simplificando la constante arbitraria:
La respuesta es:
6.
Resolviendo por variables separables la ecuación
Y dividiendo ambas partes por :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando ambas integrales:
Resolviendo por y(x):
Simplificando la constante arbitraria:
La respuesta es:
7.
Resolviendo la ecuación por variables separables :
Dividiendo ambas partes por V (P):
Leonidez Sánchez Mateo Página 8

9. Ecuaciones Diferenciales
Integrando ambas partes con respecto a P:
Igualando ambas integrales:
Resolviendo por V (P):
Simplificando la constante arbitraria:
La respuesta es:
8.
Resolviendo por variables separables la ecuación :
Resolviendo para :
Dividiendo ambas partes por y(x):
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Leonidez Sánchez Mateo Página 9

10. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo por y(x):
Simplificando la constante arbitraria:
La respuesta es:
9.
Resolviendo por variables separables la ecuación
Resolviendo por :
Simplificando:
Dividiendo ambas partes con :
Integrando ambas partes con respecto a r:
Igualando las integrales:
Resolviendo con :
Leonidez Sánchez Mateo Página 10

11. Ecuaciones Diferenciales
Simplificando la constante arbitraria:
La respuesta es:
10.
Resolviendo:
Factorizando:
Resolviendo y y separándola:
Se resuelve por variables separables la ecuación :
Se resuelve con :
Integrando ambas partes con respecto a x:
11.
Resolviendo por variables separables la ecuación .
Resolviendo con
Integrando ambas partes con respecto a x:
Leonidez Sánchez Mateo Página 11

12. Ecuaciones Diferenciales
Simplificando la constante arbitraria:
La respuesta es:
12.
Se resuelve por variables separables la ecuación
Resolviendo con :
Resolviendo ambas partes con :
Integrando ambas partes con respecto a r:
Igualando ambas integrales:
Resolviendo con :
Simplificando las constantes arbitrarias:
La respuesta es:
13.
Resolviendo por variables separable :
Leonidez Sánchez Mateo Página 12

13. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo con :
Factorizando:
Dividiendo ambas partes con
Integrando ambas partes con respecto x:
Igualando las integrales:
La respuesta es:
14.
Resolviendo por variables separable la ecuación .
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Resolviendo con y(x):
Leonidez Sánchez Mateo Página 13

14. Ecuaciones Diferenciales
Simplificando las constantes arbitrarias:
La respuesta es:
15.
Resolviendo por variables separable la ecuación .
Resolviendo con :
Dividiendo ambas partes con :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Resolviendo con y(x):
La respuesta es:
16.
Leonidez Sánchez Mateo Página 14

15. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo por variables separable la siguiente ecuación .
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando ambas integrales:
La repuesta es:
17.
Resolviendo por variables separable la ecuación .
Dividiendo ambas partes con :
Integrando ambas partes con respecto x:
Igualando ambas integrales:
La respuesta es:
18.
Resolviendo por variables separable la ecuación .
Dividiendo ambas partes con y(x):
Leonidez Sánchez Mateo Página 15

16. Ecuaciones Diferenciales
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando ambas integrales:
Resolviendo con y(x):
Igualando ambas integrales:
La respuesta es:
19.
Resolviendo por variables separables la ecuación .
Dividiendo ambas partes por :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando ambas integrales:
La respuesta es:
20.
Resolviendo por variables separables la ecuación
Resolviendo con :
Leonidez Sánchez Mateo Página 16

17. Ecuaciones Diferenciales
Dividiendo ambas partes con y(x):
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando ambas integrales:
Resolviendo con y(x):
Simplificando la constante arbitraria:
La respuesta es:
21.
Resolviendo con :
Dividiendo ambas partes por la constante arbitraria la ecuación se simplifica.
Dividiendo ambas partes por :
Resolviendo cada termino por separado.
Leonidez Sánchez Mateo Página 17

18. Ecuaciones Diferenciales
Divididas en dos ecuaciones:
Viendo la segunda ecuación y resolviendo con :
Restando 3 en ambas partes:
La respuesta es:
22.
Resolviendo por variables separables la ecuación
Resolviendo con :
Multiplicando ambas lados por :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando ambas integrales:
Resolviendo con respecto a y(x):
La respuesta es:
23.
Resolviendo por variables separables la ecuación
Leonidez Sánchez Mateo Página 18

19. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo con :
Integrando ambas partes con respecto a x:
24.
Resolviendo por variables separables la ecuación
Resolviendo con :
Integrando ambas partes con respecto a x:
La respuesta es: -
25.
Resolviendo por variables separables la ecuación
Resolviendo con :
Integrando ambas partes con respecto a x:
La respuesta es:
26.
Leonidez Sánchez Mateo Página 19

20. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo por variables separables la ecuación
Resolviendo con :
Dividiendo ambas partes con :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando ambas integrales:
Resolviendo con respecto a y(x):
Simplificando la constante arbitraria:
La respuesta es:
Determine en cada ejercicio si la función es o no homogénea.
FUNCIONES HOMOGENEAS
1.
Función Homogénea 2do grado
2.
Leonidez Sánchez Mateo Página 20

21. Ecuaciones Diferenciales
)
Función no homogénea
3.
Función homogénea 1er grado
4.
Función no homogénea
5.
Función no homogénea
En las siguientes ecuaciones encuentre la solución.
1.
Solución de la ecuación diferencial:
Resolviendo:
Dejando , queda :
Leonidez Sánchez Mateo Página 21

22. Ecuaciones Diferenciales
Se simplifica a:
Resolviendo con :
Dividiendo ambas partes con :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando ambas integrales:
Sustituyen con :
2.
Resolviendo por la ecuación de Bernoulli .
Reescribiendo la ecuación:
Leonidez Sánchez Mateo Página 22

23. Ecuaciones Diferenciales
Dividiendo ambas partes con
Dejando ,quedando como :
Dejando
Multiplicando ambas partes por
Sustituyendo :
Aplicando la regla de la inversa del producto donde la parte de la
izquierda queda:
Integrando ambas partes con respectó x:
Igualando las integrales:
Leonidez Sánchez Mateo Página 23

24. Ecuaciones Diferenciales
Dividiendo ambas partes con :
Resolviendo con y(x) en :
3.
Resolviendo .
Dejando y(x)= , quedando .
Simplificando:
Resolviendo con
Dividiendo ambas partes con :
Integrando ambas integrales con respecto a x:
Igualando las integrales:
Leonidez Sánchez Mateo Página 24

25. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo con v(x):
Simplificando las constantes arbitrarias:
Regresando y sustituyendo con y(x)=
4. .
Resolviendo
Dejando y(x)=xv(x), quedando :
Simplificando:
Resolviendo con
Dividiendo ambas partes con :
Leonidez Sánchez Mateo Página 25

26. Ecuaciones Diferenciales
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Resolviendo por v(x):
Sustituyendo antes por y(x)= :
5.
Resolviendo :
Dando y(x)=xv(x), quedando :
Simplificando:
Resolviendo por :
Leonidez Sánchez Mateo Página 26

27. Ecuaciones Diferenciales
Dividiendo ambas partes con :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Sustituyendo antes por y(x)=xv(x):
6.
Resolviendo .
Dando y(x)=xv(x), quedando :
Simplificando:
Resolviendo por
Dividiendo ambas partes por :
Leonidez Sánchez Mateo Página 27

28. Ecuaciones Diferenciales
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Resolviendo por
Sustituyendo antes por y(x)=
7.
Resolviendo .
Dando v(u)=uw(u), quedando :
Leonidez Sánchez Mateo Página 28

29. Ecuaciones Diferenciales
Simplificando:
Resolviendo por :
Dividiendo ambas partes por :
Integrando ambas partes con respecto a u:
Igualando las integrales:
Resolviendo por w(v):
Sustituyendo por v(u)=uw(u):
Leonidez Sánchez Mateo Página 29

30. Ecuaciones Diferenciales
8.
Resolviendo
Dejando y(x)= , quedando :
Simplificando:
Resolviendo por :
Dividiendo ambas partes por :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Resolviendo por v(x):
Leonidez Sánchez Mateo Página 30

31. Ecuaciones Diferenciales
Sustituyendo antes por y(x)=
Resolviendo por la ecuación de Bernoulli .
Empleando en ambas partes
Dividiendo en ambas partes por :
Empleando , quedando :
Dando :
Multiplicando en ambas partes por :
Leonidez Sánchez Mateo Página 31

32. Ecuaciones Diferenciales
Sustituyendo 2x= :
Aplicando la inversa del producto en la izquierda:
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Dividiendo ambas partes por :
Resolviendo por y(x) en :
9.
Resolviendo :
Dejando y(x)= , quedando :
Leonidez Sánchez Mateo Página 32

33. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo por :
Factorizando:
Dividiendo ambas partes por :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Sustituyendo antes con y(x)=
10.
Resolviendo la ecuación .
Dejando y(x)= , quedando :
Leonidez Sánchez Mateo Página 33

34. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo por :
Factorizando:
Dividiendo ambas partes por :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Sustituyendo antes con y(x)= :
11.
Resolviendo
Dejando y(x)= , quedando :
Leonidez Sánchez Mateo Página 34

35. Ecuaciones Diferenciales
Simplificando:
Resolviendo por :
Dividiendo ambas partes por :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Resolviendo por v(x):
Simplificando las constantes arbitrarías:
Sustituyendo antes por y(x)=
12.
Resolviendo
.
Dejando y(x)= , quedando :
Leonidez Sánchez Mateo Página 35

36. Ecuaciones Diferenciales
Simplificando:
Resolviendo por :
Multiplicando ambas partes por :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Resolviendo por v(x):
Sustituyendo antes con y(x)= :
13.
Resolviendo :
Dejando y(x)= , quedando :
Leonidez Sánchez Mateo Página 36

37. Ecuaciones Diferenciales
Simplificando:
Resolviendo por :
Multiplicando ambos partes por :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Sustituyendo antes por y(x)= :
14.
Resolviendo .
Dejando y(x)= , quedando :
Resolviendo por :
Factorizando:
Leonidez Sánchez Mateo Página 37

38. Ecuaciones Diferenciales
Dividiendo ambas partes por :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Sustituyendo antes por y(x)=
15.
Resolviendo :
Dando t(s)= , quedando :
Simplificando:
Leonidez Sánchez Mateo Página 38

39. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo por :
Dividiendo ambas partes por :
Integrando ambas partes con respecto s:
Igualando las integrales:
Resolviendo por v(s):
Simplificando la constante arbitraria:
Sustituyendo antes por t(s)= :
Leonidez Sánchez Mateo Página 39

40. Ecuaciones Diferenciales
Analice cada una de las ecuaciones siguientes para saber si son exactas y resuélvalas. Las
que no lo sean podrán resolverse con los métodos estudiados en las secciones anteriores.
1. .
Resolviendo .
Dando ,y .
Esta es una ecuación exacta, por que ;y :
Se define f(x,y),por lo tanto ,y
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integramos con respecto a x en un orden para encontrar :
, cuando g(y) es arbitraria función de y.
Se deriva , con respecto a y para encontrar g(y):
Sustituyendo en :
Resolviendo por :
Integrando , con respecto a y:
g(y)=
Leonidez Sánchez Mateo Página 40

41. Ecuaciones Diferenciales
Sustituyendog(y) en f(x,y):
La solución es f(x,y)= .
Resolviendo para y:
Simplificando la constante arbitraria:
2. .
Resolviendo .
Dando ,y .
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x .
, cuando es arbitraria con la función
y.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en .
Leonidez Sánchez Mateo Página 41

42. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo con :
Integrando , con respecto a :
Sustituyendo :
La solución en f(x,y)
3. −3
Resolviendo .
Dando y .
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x .
, cuando es arbitraria con la
función y.
Se deriva con respecto a :
Leonidez Sánchez Mateo Página 42

43. Ecuaciones Diferenciales
Sustituyendo en :
Sustituyendo en .
Resolviendo con :
Integrando , con respecto a :
Sustituyendo :
La solución en f(x,y) :
Resolviendo por y:
Simplificando la constante arbitraria:
Leonidez Sánchez Mateo Página 43

44. Ecuaciones Diferenciales
4.
Resolviendo por variables separable .
Resolviendo con
Simplificando:
Dividiendo ambas partes con y(x):
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Resolviendo por y(x):
Simplificando la constante arbitraria:
Leonidez Sánchez Mateo Página 44

45. Ecuaciones Diferenciales
5.
Resolviendo .
Dando y .
Esta es una ecuación exacta, por que .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x .
, cuando es arbitraria con la función
y.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en :
Resolviendo por :
Integrando , con respecto a :
Sustituyendo :
Leonidez Sánchez Mateo Página 45

46. Ecuaciones Diferenciales
La solución en f(x,y) :
Resolviendo por y:
6.
Resolviendo .
Esta es una ecuación exacta, por que .
Dando ,y .
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x .
, cuando es arbitraria con la función
y.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en :
Leonidez Sánchez Mateo Página 46

47. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo por :
Integrando , con respecto a :
Sustituyendo :
La solución en f(x,y) :
Resolviendo por y:
Simplificando la constante arbitraria:
7.
Resolviendo .
Rescribiendo la ecuación:
Dando ,y .
Esta es una ecuación exacta, por que .
Leonidez Sánchez Mateo Página 47

48. Ecuaciones Diferenciales
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
, cuando es
arbitraria con la función y.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en :
Resolviendo por :
Integrando , con respecto a :
Sustituyendo :
La solución en f(x,y) :
Resolviendo por y:
Leonidez Sánchez Mateo Página 48

49. Ecuaciones Diferenciales
Simplificando la constante arbitraria:
8.
Resolviendo .
Dando ,y .
Esta es una ecuación exacta, por lo tanto .
Definiendo , por lo tanto ,y :
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
, cuando g(v) , es una constante
arbitraria de v.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en :
Resolviendo con :
Leonidez Sánchez Mateo Página 49

50. Ecuaciones Diferenciales
Integrando , con respecto a v:
Sustituyendo g(v) en :
La solución es :
9.
10.
Resolviendo por variables separables .
Resolviendo por :
Dividiendo ambas partes con :
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Resolviendo con y(x):
Leonidez Sánchez Mateo Página 50

51. Ecuaciones Diferenciales
Simplificando la constante arbitraria:
11.
Resolviendo con la ecuación de Bernoulli
Rescribiendo la ecuación:
Dividiendo ambas partes con :
Dando v(x)= , que da :
Dando :
Multiplicando ambas partes por :
Sustituyendo :
Aplicando la inversa del producto en la izquierda.
Leonidez Sánchez Mateo Página 51

52. Ecuaciones Diferenciales
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Dividiendo ambas partes :
Resolviendo con y(x) en :
12.
Resolviendo .
Dando ,y .
Esta ecuación es exacta, por que .
Definiendo , por lo tanto y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
Se deriva con respecto a :
Leonidez Sánchez Mateo Página 52

53. Ecuaciones Diferenciales
Sustituyendo en :
Resolviendo con :
Integrando con respecto a z:
Sustituyendo con en :
La solución es :
13.
Resolviendo .
Dando ,y .
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
Leonidez Sánchez Mateo Página 53

54. Ecuaciones Diferenciales
, cuando es arbitraria
con la función y.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en :
Resolviendo con
Integrando , con respecto a x:
Sustituyendo
La solución es :
14.
Resolviendo .
Dando y .
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Leonidez Sánchez Mateo Página 54

55. Ecuaciones Diferenciales
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
,
cuando es arbitraria con la función y.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en :
Resolviendo con :
Integrando con respecto a x:
Sustituyendo
La solución es :
Resolviendo con y:
Leonidez Sánchez Mateo Página 55

56. Ecuaciones Diferenciales
15.
Resolviendo .
Dando ,y .
Esta ecuación es exacta, por que .
Definiendo , por lo tanto ,y :
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a r en un orden de .
, cuando
es arbitraria con la función .
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en
Resolviendo con :
Integrando , con respecto
Sustituyendo
Leonidez Sánchez Mateo Página 56

57. Ecuaciones Diferenciales
La solución en :
Resolviendo por :
16.
Resolviendo
Dando ,y
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
, cuando es
arbitraria con la función y.
Se deriva con respecto a :
Leonidez Sánchez Mateo Página 57

58. Ecuaciones Diferenciales
Sustituyendo en :
Resolviendo con
Integrando
Sustituyendo
La solución es :
17.
Resolviendo .
Dando ,y .
Esta ecuación es exacta, por que .
Definiendo , por lo tanto ,y :
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a r en un orden de .
, cuando
es arbitraria con la función .
Leonidez Sánchez Mateo Página 58

59. Ecuaciones Diferenciales
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en
Resolviendo con :
Integrando , con respecto
Sustituyendo
La solución en :
Resolviendo con
Leonidez Sánchez Mateo Página 59

60. Ecuaciones Diferenciales
18.
Resolviendo
Dando ,y
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
, cuando es arbitraria con
la función y.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en :
Resolviendo con :
Integrando
Leonidez Sánchez Mateo Página 60

61. Ecuaciones Diferenciales
Sustituyendo , en
La solución
Resolviendo con y:
Simplificando la constante arbitraria:
19.
Resolviendo .
Dando ,y .
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
, cuando es arbitraria con la función y.
Se deriva con respecto a :
Leonidez Sánchez Mateo Página 61

62. Ecuaciones Diferenciales
Sustituyendo en :
Resolviendo con :
Integrando
Sustituyendo , en
La solución es :
20.
Resolviendo .
Dando , quedando :
Simplificando:
Leonidez Sánchez Mateo Página 62

63. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo con :
–
Dividiendo ambas partes con
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Resolviendo con
Sustituyendo antes con y(x)=
21.
Resolviendo
Dando ,y .
Leonidez Sánchez Mateo Página 63

64. Ecuaciones Diferenciales
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
, cuando es arbitraria
con la función y.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en :
Resolviendo con :
Integrando
Sustituyendo , en
La solución es :
Leonidez Sánchez Mateo Página 64

65. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo con y:
Simplificando las constantes arbitrarias:
22.
Resolviendo .
Dando ,y .
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
, cuando es arbitraria con la
función y.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en :
Leonidez Sánchez Mateo Página 65

66. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo con
Integrando con respecto a y:
Sustituyendo , en
La solución es :
Resolviendo con y:
Simplificando las constantes arbitrarias:
23.
Resolviendo .
Dando ,y .
Leonidez Sánchez Mateo Página 66

67. Ecuaciones Diferenciales
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
,
cuando es arbitraria con la función y.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en :
Resolviendo con
Integrando con respecto a y:
Sustituyendo , en
Leonidez Sánchez Mateo Página 67

68. Ecuaciones Diferenciales
La solución es :
Resolviendo con y:
24.
Resolviendo .
Dando ,y .
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
, cuando
es arbitraria con la función y.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en :
Leonidez Sánchez Mateo Página 68

69. Ecuaciones Diferenciales
Resolviendo con
Integrando con respecto a y:
Sustituyendo , en
La solución es :
25.
Resolviendo .
Rescribiendo la ecuación:
Dando ,y .
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
Leonidez Sánchez Mateo Página 69

70. Ecuaciones Diferenciales
, cuando es
arbitraria con la función y.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en :
Resolviendo con
Integrando con respecto a y:
La solución es :
Resolviendo con y:
Simplificando las constantes arbitrarias:
Leonidez Sánchez Mateo Página 70

71. Ecuaciones Diferenciales
Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones.
1. .
Resolviendo la ecuación lineal .
Sustrayendo de ambas partes y dividiendo con –x:
Dando :
Y multiplicando ambas partes por :
Sustituyendo :
Aplicando la inversa del producto , en la parte izquierda:
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando ambas integrales:
Leonidez Sánchez Mateo Página 71

72. Ecuaciones Diferenciales
Dividiendo ambas partes con :
2. y'=x-2y
Resolviendo la ecuación lineal :
Añadiendo en ambas partes:
Dando
Y multiplicando ambas partes por :
Sustituyendo :
Aplicando la inversa del producto , en la parte izquierda:
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando ambas integrales:
Leonidez Sánchez Mateo Página 72

73. Ecuaciones Diferenciales
Dividiendo ambas partes con :
3. (y+1)dx+(4x-y)dy=0.
Resolviendo
Dando ,y .
Esta no es una ecuación exacta, por que .
Encontrando un factor integrante por lo tanto
es exacta.
Esto significa
Quedando solo de la parte izquierda:
Integrando ambas partes con respecto a y:
Tomando la exponencial de ambas partes:
Y multiplicando ambas partes por con :
Leonidez Sánchez Mateo Página 73

74. Ecuaciones Diferenciales
Dando ,y .
Esta es una ecuación exacta, por que .
Se define f(x,y),por lo tanto ,y .
Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria.
Integrando con respecto a x en un orden de .
, cuando es arbitraria con la función y.
Se deriva con respecto a :
Sustituyendo en :
Resolviendo con
Integrando respecto a y:
Sustituyendo en f(x, y):
La solución es :
Leonidez Sánchez Mateo Página 74

75. Ecuaciones Diferenciales
4. y'=x-4xy.
Resolviendo por variables separables :
Simplificando:
Dividiendo ambas partes con
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Resolviendo con :
Simplificando las constantes arbitrarias:
5. y'=cscx+ycot x
Resolviendo la ecuación lineal :
Extrayendo en ambas partes:
Dando :
Leonidez Sánchez Mateo Página 75

76. Ecuaciones Diferenciales
Multiplicando ambas partes con :
Sustituyendo :
Aplicando la inversa del producto , con la parte de la izquierda:
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Dividiendo ambas partes con :
6. y'=csc x-y cot x
Resolviendo la ecuación lineal .
Añadiendo en ambas partes:
Dando :
Multiplicando en ambas partes:
Leonidez Sánchez Mateo Página 76

77. Ecuaciones Diferenciales
Sustituyendo :
Aplicando la inversa del producto , en la parte de la izquierda:
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Dividiendo ambas partes con
7. (y-cos2 x)dx+cos x dy=0.
Resolviendo la ecuación lineal .
Extrayendo ) en ambas partes y dividiendo con
Dando :
Multiplicando en ambas partes:
Sustituyendo
Leonidez Sánchez Mateo Página 77

78. Ecuaciones Diferenciales
Aplicando la inversa del producto en la parte de la izquierda:
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Dividiendo ambas partes con :
8. .
Resolviendo por variables separables
Simplificando:
Dividiendo ambas partes con
Integrando ambas partes con respecto a x:
Leonidez Sánchez Mateo Página 78

79. Ecuaciones Diferenciales
Igualando las integrales:
Resolviendo con y(x):
Simplificando las constantes arbitrarias.
9. (y-x+xycot x)dx+ x dy=0.
Resolviendo la ecuación lineal .
Añadiendo x en ambas partes y dividiéndolo con x:
Dando
Multiplicando ambas partes con :
Sustituyendo
Aplicando la propiedad de la inversa , en la parte de la izquierda:
Leonidez Sánchez Mateo Página 79

80. Ecuaciones Diferenciales
Integrando ambas partes con respecto a x:
Igualando las integrales:
Dividiendo ambas parte con :
10. .
Resolviendo la ecuación lineal
Rescribiendo la ecuación:
Dando .
Multiplicando ambas partes con
Sustituyendo :
Aplicando la propiedad de la inversa , en la parte de la izquierda:
Integrando ambas partes con respecto a x:
Leonidez Sánchez Mateo Página 80

81. Ecuaciones Diferenciales
Dividiendo ambas parte con :
11. .
Resolviendo la ecuación lineal .
Rescribiendo la ecuación:
Dando .
Multiplicando ambas partes con :
Sustituyendo
Aplicando la propiedad de la inversa , en la parte de la izquierda:
Integrando ambas partes con respecto a x:
Leonidez Sánchez Mateo Página 81

82. Ecuaciones Diferenciales
Igualando las integrales:
Dividiendo ambas partes con :
Factor integrante
1.-
Se resuelve por Bernoulli
Rescribiendo:
Dividiendo por
Dejando: nos queda:
Dejando:
Y multiplicando por
Sustituyendo:
Leonidez Sánchez Mateo Página 82

83. Ecuaciones Diferenciales
Integrando:
2.-
Como:
La ecuación no es exacta
Encontrando el factor integral:
Tomando el exponentes en ambos lados
Y multiplicando por quedando
Asiéndola exacta:
Integrando:
Derivando:
Leonidez Sánchez Mateo Página 83

84. Ecuaciones Diferenciales
Igualando:
Integrando:
Sustituyendo:
=
3.-
Por lo que no es exacta. Encontrando el
factor:
Multiplicándolo:
Es exacta:
Integrando:
Derivando:
Sustituyendo:
Sustituyendo:
4.-
Leonidez Sánchez Mateo Página 84

85. Ecuaciones Diferenciales
Por lo tanto es exacta: integrando y diferenciando
Sustituyendo:
Resolviendo:
Sustituyendo:
5.-
no es exacta
Encontrando el factor integrante:
Multiplicando:
Leonidez Sánchez Mateo Página 85

86. Ecuaciones Diferenciales
es exacta
Integrando:
Derivando:
Sustituyendo:
Sustituyendo:
La solución es:
6.-
Como:
No es exacta
Encontrando el factor integrante:
Se hace exacta:
Leonidez Sánchez Mateo Página 86

87. Ecuaciones Diferenciales
Integrando:
derivando:
Sustituyendo:
Sustituyendo:
Solución:
7.-
No es exacta por:
Sacando el factor integrante:
Multlipicandolo
.
Se integra:
Se deriva:
Leonidez Sánchez Mateo Página 87

88. Ecuaciones Diferenciales
Sustituye:
Integrando:
Sustituyendo:
Solución
8.-
Haciendo que:
Simplificando
x resolviendo
El factor: y dividiendo:
Leonidez Sánchez Mateo Página 88

89. Ecuaciones Diferenciales
9.-
Encontrando el factor:
Multiplicándolo:
Integrando:
Derivando:
Sustituyendo:
Sustituyendo:
10.-
no es exacta: encontrando el factor
integrante.
Multiplicándolo
es exacta:
Leonidez Sánchez Mateo Página 89

90. Ecuaciones Diferenciales
Integrando:
Derivando:
Sustituyendo: y resolviendo:
Sustituyendo:
Respuesta:
11.-
Dejando:
Simplificando:
resolviendo
Dividiendo
Integrando: evaluando:
Resolviendo:
Simplificándolo:
Leonidez Sánchez Mateo Página 90

91. Ecuaciones Diferenciales
12.-
No es exacta. Encontrando el factor integrante
Multiplicando:
Integrando:
Derivando:
Sustituyendo:
Encontrando: ,
Sustituyendo
Leonidez Sánchez Mateo Página 91

92. Ecuaciones Diferenciales
13.-
Dejando:
Resolviendo:
Integrando:
14.-
No es exacta
Factor integrante
Multiplicando:
Es exacta:
Integrando:
Derivando:
Leonidez Sánchez Mateo Página 92

93. Ecuaciones Diferenciales
Sus.
Encontrando:
15.-
No es exacta. Encontrando factor integral:
Multiplicándolo:
Se hace exacta:
Integrando:
Derivando:
Sustituyendo:
Encontrando
Leonidez Sánchez Mateo Página 93

94. Ecuaciones Diferenciales
Sustituyendo:
16.-
No es exacta: Encontrando factor integrante
Multiplicándolo:
Es exacta Integramos:
Derivando:
Sustituyendo:
Encontrando
Sustituyendo:
17.-
Resolviendo:
Dividiendo por: : Sea queda:
Dejando que
Multiplicando da:
Leonidez Sánchez Mateo Página 94

95. Ecuaciones Diferenciales
Sustituyendo:
Integrando
Dividiendo:
Resolviendo:
18.-
Dividiendo entre:
Dejando: queda:
Sustituyendo:
Integrando:
Dividiendo entre:
19.-
Leonidez Sánchez Mateo Página 95

96. Ecuaciones Diferenciales
Dividiendo entre:
Integrando.
20.-
Como:
No es exacta por lo que se encuentra el factor integrante: ;
Multiplicando: se convierten una exacta:
Integramos una de las funciones:
Después derivamos:
Leonidez Sánchez Mateo Página 96

97. Ecuaciones Diferenciales
Sustituimos:
Encontrando la cte:
Sustituyendo:
21.-
Rescribiendo:
Dividiendo por:
Dejar queda:
Dejar: y multiplicando:
Sustituyendo: queda:
Integrando: Y dividiendo por:
22.-
Rescribiendo la ecuación:
Dividiendo por:
Leonidez Sánchez Mateo Página 97

98. Ecuaciones Diferenciales
Dejando: nos queda:
Dejando a u como: y multiplicando queda:
Sustituyendo:
Integrando:
Dividiendo por:
23.- como: no es exacta
Encontrando el factor;
Y multiplicándolo queda:
Se hace exacta:
Leonidez Sánchez Mateo Página 98

99. Ecuaciones Diferenciales
Integrando una de las funciones:
Derivando:
Sustituyendo:
Y encontrando
Sustituyendo en la ecuación: =
24.-
Rescribiendo:
Dividiendo por: queda
Dejando:
Dejando:
Multiplicándolo:
Sustituyendo:
Leonidez Sánchez Mateo Página 99

100. Ecuaciones Diferenciales
Integrando:
25.-
Rescribiendo:
Dividiendo por:
Dejando: queda:
Como: multiplicándolo:
Sustituyendo:
Leonidez Sánchez Mateo Página 100

101. Ecuaciones Diferenciales
Integrando:
Dividiendo entre:
26.-
Como:
Esta ecuación es exacta
Integramos:
+x
Derivando:
Sustituyendo
Integrando:
Leonidez Sánchez Mateo Página 101

102. Ecuaciones Diferenciales
Sustituyendo:
Leonidez Sánchez Mateo Página 102